Bài toán về tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số.

Bài toán về tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x, m) với m là tham số, có tập xác định D.

• Hàm số y = f(x, m) đồng biến trên D ⇔ y' ≥ 0, ∀x ∈ D.

• Hàm số y = f(x, m) nghịch biến trên D ⇔ y' ≤ 0, ∀x ∈ D.

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và (x₀; b). Khi đó

✔ Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) > 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

✔ Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm m để hàm số f(x) = $\frac{1}{3}$x³ + mx² +4x +3 đồng biến trên ℝ.

Hướng dẫn giải:

Ta có f'(x) = x² + 2mx + 4.

Hàm số đã cho đồng biến trên ℝ khi và chỉ khi f'(x) ≥ 0,∀x ∈ ℝ (Dấu ‘=’ xảy ra tại hữu hạn điểm).

Ta có f'(x) ≥ 0,∀x ∈ ℝ ⇔ ∆' ≤ 0 ⇔ ∆' = m² – 4 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2.

Ví dụ 2. Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = $\frac{x^5}{5}-\frac{m{x}^4}{4}+2$ đạt cực đại tại x = 0.

Hướng dẫn giải:

Đặt y = $\frac{x^5}{5}-\frac{m{x}^4}{4}+2.$

Ta có: f'(x) = x⁴ – mx³.

Khi m = 0 thì f'(x) = x⁴ ≥ 0, ∀x ∈ ℝ nên hàm số không có cực trị.

Khi m ≠ 0, xét f'(x) = 0 ⇔ x⁴ – mx³ = 0 ⇔ x³(x – m) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = m.

+ Trường hợp m > 0 ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0.

+ Trường hợp m < 0 ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

Như vậy, để hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì m > 0.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tổng các giá trị nguyên của tham số m ∈ [−10; 10) để hàm số y = x³ − 3x² +3(m + 2)x + 3m – 2025 đồng biến trên trên ℝ là:

A. 27;

B. 35;

C. 44;

D. 54.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

y = x³ − 3x² +3(m + 2)x + 3m – 2025

Hàm số đã cho xác định trên D = ℝ.

Để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y' = 3x² – 6x + 3(m + 2) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

Vậy m ≥ −1 thì hàm số đồng biến trên ℝ.

Do m ∈ [−10; 10), m ∈ ℤ nên tổng các giá trị nguyên của tham số là 44.

Bài 2. Biết giá trị tham số m ∈ $[a;\frac{b}{c}]$ (với a, b, c ∈ ℤ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản) thì hàm số y = x³ – (2m – 1)x² + (2 – m)x + 2 đồng biến trên trên ℝ. Giá trị biểu thức P = $\frac{a^2+b^2}{c}.$

A. P = $\frac{9}{4}$;

B. P = $\frac{13}{2}$;

C. P = 4;

D. P = $\frac{13}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số đã cho xác định trên D = ℝ.

Để hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ y' = 3x² – 2(2m – 1)x + (2 – m) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ .

Vậy -1 ≤ m ≤ $\frac{5}{4}$ thì hàm số đồng biến trên ℝ.

Do m ∈ $[a;\frac{b}{c}]$ nên $\Rightarrow$ P = $\frac{a^2+b^2}{c}$ = $\frac{13}{2}$.

Bài 3. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x³ – 3x² + (4 – m)x đồng biến trên khoảng (2; +∞) là

A. (−∞; 1];

B. (−∞; 4];

C. (−∞; 1);

D. (−∞; 4).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = 3x² – 6x + 4 – m.

Yêu cầu bài toán ⇔ y' ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞)

⇔ 3x² – 6x + 4 – m ≥ 0, ∀x ∈ (2; +∞)

⇔ m ≤ 3x² – 6x + 4, ∀x ∈ (2; +∞)

⇔ m ≤ $\underset{(2;+\infty )}{min}g\left(x\right)$ với g(x) = 3x² – 6x + 4.

Ta có g'(x) = 6x – 6; g'(x) = 0 ⇔ 6x – 6 = 0 ⇔ x = 1.

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m ≤ 4 thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy: m ∈ (−∞; 4] thì hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Bài 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số y = $\frac{-3}{4}$x⁴ + $\frac{9}{2}$x² - (2m+15)x - m + 3 nghịch biến trên khoảng (0; +∞)?

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Yêu cầu bài toán ⇔ y' = −3x³ + 9x – 2m – 15 ≤ 0, ∀x ∈ (0; +∞) và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm thuộc (0; +∞) ⇔ 3x³ − 9x + 15 ≥ – 2m, ∀x ∈ (0; +∞).

Xét hàm số g(x) = 3x³ − 9x + 15 trên (0; +∞).

Ta có: g'(x) = 9x² – 9; g'(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −1 (loại).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có: -2m ≤ 9 ⇔ m ≥ -$\frac{9}{2}$.

Vậy m ∈ {−4; −3; −2; −1}.

Bài 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = $\frac{x+m^2}{x+4}$ đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ\{−4}.

Ta có y' = $\frac{4-m^2}{{(x+4)}^2}.$

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi y' > 0 ∀x ∈ D ⇔ $\frac{4-m^2}{{(x+4)}^2}$ > 0 ∀x ≠ -4 ⇔ -2 < m < 2.

Vì m ∈ ℤ $\Rightarrow$ m ∈ {−1; 0; 1}.

Vậy có 3 giá trị m nguyên để bài toán thỏa mãn.

Bài 6. Với giá trị tham số m ∈ (a; b)\{c} (với a, b, c ∈ ℤ) thì hàm số y = (m + 2)x³ + 3x² + mx – 6 có 2 cực trị. Giá trị biểu thức P = a + b + c là:

A. P = −4;

B. P = 4;

C. P = −3;

D. P = −5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có y' = 3(m + 2)x² + 6x + m

Hàm số có 2 cực trị ⇔ y' = 0 có hai nghiệm phân biệt

Vậy P = a + b + c = −4.

Bài 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m ∈ [−2020; 2020) để hàm số y = mx³ + 3mx² – (m – 1)x – 1 có cực trị?

A. 2038;

B. 2020;

C. 2018;

D. 2021.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có y' = 3mx² + 6mx – (m – 1)

+ Khi m = 0 $\Rightarrow$ y' = 1 > 0 $\Rightarrow$ hàm số luôn đồng biến $\Rightarrow$ m = 0 không thỏa mãn.

+ Khi m ≠ 0 $\Rightarrow$ y' = 0 ⇔ 3mx² + 6mx – (m – 1) = 0 (1).

Ta có $∆\text{'}$ = 9m² + 3m(m – 1) = 12m² – 3m.

Hàm số có cực trị ⇔ $∆\text{'}$ > 0 ⇔ 12m² – 3m > 0 ⇔ m < 0 hoặc m > $\frac{1}{4}$.

Suy ra có bao nhiêu giá trị nguyên âm.

Bài 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x⁴ – 12x² + (m – 2)x có ba điểm cực trị?

A. 47;

B. 44;

C. 46;

D. 45.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: y' = 4x³ – 24x + m – 2

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình y' = 4x³ – 24x + m – 2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ −4x³ + 24x + 2 = m (*) có 3 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số g(x) = −4x³ + 24x + 2 ta có g'(x) = −12x² + 24 = 0 ⇔ x² = 2 ⇔ x = $\pm \sqrt{2}$

Bảng biến thiên:

Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì -16$\sqrt{2}$ + 2 < m < 16$\sqrt{2}$ + 2.

Mà m là số nguyên $\Rightarrow$ m ∈ {-20; -19; ... ; 23; 24} nên có 45 giá trị m thoả mãn.

Bài 9. Biết rằng hàm số y = (x + a)³ + (x + b)³ – x³ có hai điểm cực trị. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. ab ≤ 0;

B. ab < 0;

C. ab > 0;

D. ab ≥ 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có y = x³ + 3(a + b)x² + 3(a² + b²)x + a³ + b³.

Có y' = 3x² + 6(a + b)x + 3(a² + b²).

Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ $∆\text{'}$ = 18ab > 0 ⇔ ab > 0.

Bài 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số y = mx³ − 2mx² + (m – 2)x + 1 không có cực trị

A. m ∈ (−∞; 6) ∪ (0; +∞);

B. m ∈ (−6; 0);

C. m ∈ [−6; 0);

D. m ∈ [−6; 0].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có y' = 3mx² – 4mx + (m – 2).

+ Nếu m = 0 $\Rightarrow$ y' = −2 < 0 nên hàm số không có cực trị.

Do đó m = 0 (chọn) (1).

+ Nếu m ≠ 0

Hàm số không có cực trị ⇔ y' không đổi dấu

⇔ D' ≤ 0 ⇔ 4m² – 3m(m – 2) ≤ 0 ⇔ m² + 6m ≤ 0 ⇔ −6 ≤ m < 0 (do m ≠ 0) (2).

Kết hợp (1) và (2) ta được −6 ≤ m ≤ 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Một số bài toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu và cực trị
• Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số khi biết đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên
• Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng
• Một số bài toán thực tế ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Một số bài toán hàm hợp liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

---