Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = M.

Kí hiệu M = $\underset{x_0\in D}{max}$ f(x) hoặc M = $\underset{D}{max}$ f(x).

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≥ m với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = m.

Kí hiệu m = $\underset{x\in D}{min}$ f(x) hoặc m = $\underset{D}{min}$ f(x).

• Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]:

Bước 1: Tìm các điểm x₁, x₂, …, x_n ∈ (a; b), tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), f(a) và f(b).

Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: M = $\underset{[a;b]}{max}$ f(x); m = $\underset{[a;b]}{min}$ f(x).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ – 6x² + 9x – 1 trên nửa khoảng [−1; +∞).

Hướng dẫn giải:

Ta có: f'(x) = 3x² – 12x + 9; f'(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng [−1; +∞)

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[-1;+\infty ]}{min}$ f(x) = f(-1) = -17 và hàm số không có giá trị lớn nhất trên [−1; +∞).

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số g(x) = $\frac{\ln x}{x}$ trên đoạn [1; 4].

Hướng dẫn giải:

Ta có: g'(x) = $\frac{1-\ln x}{x^2}$; g'(x) = 0 ⇔ x = e (thỏa mãn)

g(1) = 0, g(e) = $\frac{1}{e}$, g(4) = $\frac{\ln 4}{4}$ = $\frac{\ln 2}{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\frac{1}{e}$ khi x = e và giá trị nhỏ nhất là 0 khi x = 1.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x³ – 3x² – 9x +10 trên đoạn [−2; 2] bằng

A. −12;

B. 10;

C. 15;

D. −2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = x³ – 3x² – 9x +10 trên đoạn [−2; 2] , ta có: f'(x) = 3x² – 6x – 9.

Có f'(x) = 0 ⇔ 3x² – 6x – 9 = 0 ⇔ x = −1 ∈ [−2; 2] hoặc x = 3 $\notin$ [−2; 2]

Có f(−2) = 8; f(−1) = 15; f(2) = −12.

Suy ra $\underset{[-2;2]}{max}$f(x) = f(-1) 15.

Bài 2. Trên đoạn [1; 5], hàm số y = x + $\frac{4}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A. x = 5;

B. x = 2;

C. x = 1;

D. x = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = 1 - $\frac{4}{x^2}$ $\Rightarrow$ y' = 0 ⇔ x² = 4 $\Rightarrow$ x = 2 (vì x ∈ (1; 5)).

Khi đó y(1) = 5; y(2) = 4 và y(5) = $\frac{29}{5}$.

Do đó $\underset{[1;5]}{min}$y = 4 tại x = 2.

Bài 3. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = $\frac{x-1}{x+1}$ trên đoạn [0; 3] là:

A. −3;

B. $\frac{1}{2}$;

C. −1;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho liên tục trên [0; 3]

Ta có y' = $\frac{2}{{(x+1)}^2}$ > 0 với ∀x ∈ [0; 3].

Có y (0) = −1; y(3) = $\frac{1}{2}$. Do đó $\underset{[0;3]}{min}$y = y(0) = -1.

Bài 4. Hàm số y = cos2x – 3 đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0; π] bằng:

A. −4;

B. −3;

C. −2;

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: y' = −2sin2x; y' = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = $\frac{k\pi }{2}$ (k ∈ $\mathbb{Z}$).

Vì x ∈ [0; π] $\Rightarrow$ x ∈ {0;$\frac{\pi }{2}$;$\pi$}.

Do đó: y(0) = −2; y($\frac{\pi }{2}$) = -4; y($\pi$) = -2.

Vậy $\underset{[0;\pi ]}{min}$y = -4.

Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x − 3)e^2x.

A. $\underset{ℝ}{min}$f(x) = $-\frac{e^5}{2}$;

B. $\underset{ℝ}{min}$f(x) = $\frac{e^5}{2}$;

C. $\underset{ℝ}{min}$f(x) = $e^5$;

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: f'(x) = (2x – 5)e^2x; f'(x) = 0 ⇔ x = $\frac{5}{2}$.

Bảng biến thiên của hàm số:

Vậy $\underset{ℝ}{min}$f(x) = $-\frac{e^5}{2}$.

Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = $\frac{x}{x^2+1}$ trên nửa khoảng (0; +∞).

A. 2;

B. $\frac{1}{2}$;

C. $\frac{1}{4}$;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

f'(x) = $\frac{-x^2+1}{{(x^2+1)}^2}.$

f'(x) = 0 ⇔ $\frac{-x^2+1}{{(x^2+1)}^2}.$ = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên

Vậy giá trị lớn nhất là $\frac{1}{2}$ khi x = 1.

Bài 7. Cho hàm số y = 2^x – 4xln2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 4] có dạng a – blnc. Tính a + b + c?

A. −2;

B. 14;

C. 34;

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ.

Có y' = 2^xln2 – 4ln2; y' = 0 ⇔ 2^xln2 – 4ln2 = 0 ⇔ x = 2.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 4] bằng 4 – 8ln2 tại x = 2.

Khi đó: a + b + c = 4 + 8 + 2 = 14 .

Bài 8. Hàm số y = $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}$ có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất lần lượt là:

A. $\sqrt{2}$; 1;

B. 1; 0;

C. 2; $\sqrt{2}$;

D. 2; 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Tập xác định: D = [−1; 1].

Ta có: y' = $\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}.$

Có y' = 0 ⇔ $\frac{1}{2\sqrt{1+x}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ = 0 ⇔ $\sqrt{1+x}=\sqrt{1-x}$ ⇔ x = 0.

Khi đó: y(-1) = $\sqrt{2}$; y(0) = 2; y(1) = $\sqrt{2}$.

$\Rightarrow$ Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2, giá trị nhỏ nhất bằng $\sqrt{2}$.

Bài 9. Hàm số y = (x – 1)² + (x + 3)² có giá trị nhỏ nhất bằng:

A. 3;

B. −1;

C. 10;

D. 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y = (x – 1)² + (x + 3)² = 2x² + 4x + 10.

Ta có y' = 4x + 4 ; y' = 0 ⇔ x = −1.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 8.

Bài 10. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = $\frac{x^2-x+1}{x-1}$ trên khoảng (1; +∞) là:

A. −1;

B. 3;

C. 5;

D. $-\frac{7}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hàm số xác định với ∀x ∈ (1; +∞).

Có f'(x) = $\frac{x^2-2x}{{(x-1)}^2}$; f'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có: $\underset{(1;+\infty )}{min}$f(x) = f(2) = 3.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Một số bài toán thực tế ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Một số bài toán hàm hợp liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
• Sử dụng đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên xác định các đường tiệm cận
• Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số

---