Sử dụng đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên xác định các đường tiệm cận lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Sử dụng đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên xác định các đường tiệm cận lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Sử dụng đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên xác định các đường tiệm cận.

Sử dụng đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên xác định các đường tiệm cận lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Đường thẳng y = y₀ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = y₀ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = y₀.

• Đường thẳng x = x₀ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to x_{0^{+}}}{\lim }f\left(x\right)$ = +∞; $\underset{x\to x_{0^{-}}}{\lim }f\left(x\right)$ = -∞; $\underset{x\to x_{0^{+}}}{\lim }f\left(x\right)$ = -∞; $\underset{x\to x_{0^{-}}}{\lim }f\left(x\right)$ = +∞.

• Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\right(x)-(ax+b\left)\right]$ = 0 hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\right(x)-(ax+b\left)\right]$ = 0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Hướng dẫn giải:

Nhìn bảng biến thiên ta thấy:

$\underset{x\to x_{0^{-}}}{\lim }f\left(x\right)$ = -∞ $\Rightarrow$ x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = 3 $\Rightarrow$ y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = 1 $\Rightarrow$ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị hàm số ta thấy:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = -1 nên đường thẳng y = −1 là một đường tiệm cận ngang.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = 1 nên đường thẳng y = 1 là một đường tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là y = ± 1.

Tương tự

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ = +∞ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ = -∞ nên đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận đứng.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ = +∞ và $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ = -∞ nên đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng.

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng là x = ±2.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1.

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận đứng bằng:

A. x = 1;

B. x = −1;

C. x = 0;

D. y = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Từ đồ thị hàm số ta thấy: hàm số đã cho có một tiệm cận đứng x = 1.

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) là:

A. 4;

B. 3;

C. 2;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f(x) ta có:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = 1 nên đường thẳng y = 1 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x).

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = 3 nên đường thẳng y = 3 là một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x).

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ = +∞ và $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ = +∞ suy ra đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x).

Vậy đồ thị hàm số y = f(x) có tất cả 3 đường tiệm cận.

Bài 3. Đồ thị hàm số y = f(x) có tiệm cận xiên là đường thẳng:

A. y = x;

B. y = x – 1;

C. y = 2x – 1;

D. y = x + 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta thấy tiệm cận xiên là: y = x + 1.

Bài 4. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. x = 1;

B. y = −2;

C. x = −2;

D. y = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Phương trình đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

A. Tiệm cận đứng x = −2, tiệm cận ngang y = 1;

B. Tiệm cận đứng x = 2, tiệm cận ngang y = −1;

C. Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = −2;

D. Tiệm cận đứng x = −1, tiệm cận ngang y = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị ta có

$\underset{x\to {(-2)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ = +∞ và $\underset{x\to {(-2)}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ = -∞ nên đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x).

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = 1 và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = 1 nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang đứng của đồ thị hàm số y = f(x).

Bài 6. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

A. 4;

B. 1;

C. 3;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = f(x) có tập xác định: D = ℝ\{0}.

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = +∞ Không tồn tại tiệm cận ngang khi x → +∞.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = 2 vậy hàm số y = f(x) có tiệm cận ngang y = 2.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ = +∞; $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ = -4.

Đồ thị hàm số y = f(x) có tiệm cận đứng x = 0.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và ngang là 2.

Bài 7. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là:

A. 4;

B. 3;

C. 1;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = 3 ta được tiệm cận ngang y = 3.

$\underset{x\to {(-2)}^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ = +∞ ta được tiệm cận đứng x = −2.

Bài 8. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x)

A. 4;

B. 3;

C. 1;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Do $\underset{x\to +\infty }{\lim }y$ = -1; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y$ = 1 đồ thị có 2 tiệm cận ngang là y = ±1.

Bài 9. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau :

Số tiệm cận ngang của đồ thị hàm số trên là

A. 4;

B. 3;

C. 1;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }y$ = 2 nên hàm số có tiệm cận ngang là y = 2.

Bài 10. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ

Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số bằng

A. 4;

B. 3;

C. 1;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y$ = +∞ và $\underset{x\to 2+}{\lim }y$ = -∞ suy ra đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = −2 và x = 2.

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }y$ = 0 và $\underset{x\to +\infty }{\lim }y$ = 0 suy ra đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng y = 0.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số
• Một số bài toán thực tế ứng dụng đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Nhận dạng đồ thị hàm số
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

---