Nhận dạng đồ thị hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Nhận dạng đồ thị hàm số lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nhận dạng đồ thị hàm số.

Nhận dạng đồ thị hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

Trường hợp	a > 0	a < 0
Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
Phương trình y' = 0 có vô nghiệm
Phương trình y' = 0 nghiệm kép

• Hàm số phân thức y = $\frac{ax+b}{cx+d}$ (c ≠ 0, ad - bc ≠ 0).

• Hàm số phân thức y = $\frac{a{x}^2+bx+c}{px+q}$ (a ≠ 0, p ≠ 0, đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu).

Có y = Ax + B + $\frac{C}{mx+n}$ $\Rightarrow$ y' = A - $\frac{C}{{(mx+n)}^2}$,

Tiệm cận đứng: x = $-\frac{n}{m}$ và tiệm cận xiên y = Ax + B.

Trường hợp	A > 0	A < 0
Phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Phương trình y' = 0 có một nghiệm hoặc vô nghiệm

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình bên. Viết công thức của hàm số.

Hướng dẫn giải:

Hàm số của đồ thị đã cho có dạng y = ax³ + bx² + cx + d.

Mà đồ thị giao với trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 nên d = 1.

Mặt khác y' = 3ax² + 2bx + c có hai nghiệm x = 1 và x = −1 nên

Mặt khác theo định lí Viet: 1.(-1) = $\frac{c}{3a}$ ⇔ c = -3a.

Suy ra hàm số có dạng y = ax³ – 3ax + 1.

Mặt khác đồ thị đi qua điểm (1; −1) nên

a – 3a + 1 = −1 ⇔ −2a = −2 ⇔ a = 1 $\Rightarrow$ c = −3.

Vậy hàm số cần tìm là y = x³ – 3x + 1.

Ví dụ 2. Cho hàm số hữu tỉ y = ax + 2 + $\frac{b}{x+c}$ có đồ thị như hình bên.

Tính P = a + b + c.

Hướng dẫn giải:

Ta có y = ax + 2 + $\frac{b}{x+c}$.

Suy ra hàm số có đường tiệm cận xiên là y = ax + 2 như hình vẽ đường tiệm cận xiên đi qua điểm (1; 1). Suy ra 1 = a.1 + 2 ⇔ a = −1.

Đồ thị của hàm số có đường tiệm cận đứng là x = 1 nên 1 + c = 0 ⇔ c = −1.

Khi đó hàm số đã cho có dạng y = -x + 2 + $\frac{b}{x-1}$.

Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm (0; 3) nên -0 + 2 + $\frac{b}{0-1}$ = 3 ⇔ 2 - b = 3 ⇔ b = -1.

Vậy P = a + b + c = −3.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Đồ thị hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong dưới đây?

A. y = $\frac{2x-1}{x+1}$;

B. y = $\frac{x^2+2x-2}{x-1}$;

C. y = −x³ + 3x + 1;

D. y = x³ – 3x + 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đồ thị trên là đồ thị hàm bậc 3 có a < 0. Suy ra chọn đáp án C.

Bài 2. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. y = $\frac{x+2}{x+1}$;

B. y = $\frac{x-1}{x+1}$;

C. y = $\frac{-2x+1}{x-1}$;

D. y = $\frac{x+1}{x-1}$;

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 1, nên loại A, B.

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 1 nên chọn D.

Vì $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y$ = $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ = −∞ và $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y$ = $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\frac{x+1}{x-1}\right)$ = +∞.

Bài 3. Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

A. y = x³ – 3x;

B. y = −x³ + 3x;

C. y = x³ – 3x² + 1;

D. y = −x³ + 3x².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường cong có dạng của đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a > 0 nên chỉ có hàm số y = x³ – 3x thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 4. Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?

A. y = −x³ + 3x;

B. y = x³ – 3x;

C. y = −x² + 2x;

D. y = x² – 2x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị ta có đây là đồ thị hàm số bậc 3 với hệ số a > 0.

Bài 5. Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Chọn khẳng định đúng về dấu của a, b, c, d?

A. a > 0, b > 0, c > 0, d > 0;

B. a > 0, c > 0 > b, d < 0;

C. a > 0, b > 0, c > 0, d > 0;

D. a > 0, b < 0, c < 0, d > 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị ta có a > 0, đồ thị cắt Oy tại 1 điểm có tung độ dương nên d > 0, đồ thị có 2 cực trị trái dấu nên x₁.x₂ < 0 $\Rightarrow$ $\frac{c}{a}$ < 0 $\Rightarrow$ c < 0.

Bài 6. Đường cong trong hình là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A. $y=\frac{x^2-2x-3}{x-2}$;

B. $y=\frac{x^2-2x}{x-1}$;

C. $y=\frac{x^2-3x}{x-2}$;

D. $y=\frac{x^2+3x}{x+1}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị, ta có tiệm cận đứng x = 2 suy ra loại đáp án B và D.

Đồ thị không đi qua gốc tọa độ suy ra loại đáp án C.

Vậy đáp án A đúng.

Bài 7. Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là

A. (0; −2);

B. (2; 0);

C. (−2; 0);

D. (0; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Từ đồ thị, ta dễ thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (2; 0).

Bài 8. Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị của hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với a, b, c, d là các số thực.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. y' > 0, ∀x ≠ 2;

B. y' > 0, ∀x ≠ 3;

C. y' < 0, ∀x ≠ 2;

D. y' < 0, ∀x ≠ 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị là đường đi xuống từ trái qua phải trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞) nên y' < 0, ∀x ≠ 2.

Bài 9. Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số

A. $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$;

B. $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$;

C. $y=\frac{x^2-4x-1}{x+1}$;

D. $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta thấy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −1) và có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1, tiệm cận xiên là đường thẳng y = x.

Vì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 nên loại đáp án C và D.

Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −1) nên ta loại đáp án A.

Vậy đường cong trên là đồ thị của hàm số $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$.

Bài 10. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Số giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y=\frac{5}{2}$ là?

A. 2;

B. 1;

C. 3;

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) ta thấy số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng $y=\frac{5}{2}$ là 3.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số
• Một số bài toán thực tế ứng dụng đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

---