Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải các bài toán thực tiễn lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.

Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải các bài toán thực tiễn lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Nếu phương trình chuyển động của vật là s = f(t)

+) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t: v(t) = f'(t).

+) Gia tốc tức thời của chuyển động: a(t) = f"(t).

• Nếu C = C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t, thì C'(t) là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t.

• Nếu P = P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t thì P'(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t.

• Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C'(x) của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.

• Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa:

Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số Q = Q(x).

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số Q = Q(x) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hoá bằng hàm số N(t) = −t³ + 12t², 0 ≤ t ≤ 12, trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).

a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.

b) Đạo hàm N'(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Hướng dẫn giải:

a) Với 0 ≤ t ≤ 12 ta có:

N'(t) = −3t² + 24t, N'(t) = 0 ⇔ −3t² + 24t = 0 ⇔ t = 0 (tm) hoặc t = 8 (tm).

Ta có: N(0) = 0, N(8) = 256; N(12) = 0.

Do đó, số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương là 256 người trong 12 tuần đầu.

b) Hàm số biểu thị tốc độ độ lây lan của virus là: N'(t) = −3t² + 24t.

Đặt f(t) = −3t² + 24t, 0 ≤ t ≤ 12.

Ta có: f'(t) = −6t + 24, f'(t) = 0 ⇔ t = 4 (tm).

Có f(0) = 0, f(4) = −3.4² + 24.4 = 48, f(12) = −3.12² + 14.12 = −144.

Do đó, virus sẽ lây lan nhanh nhất khi t = 4 (tuần thứ 4).

Ví dụ 2. Khối lượng q (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán p (nghìn đồng/kg) theo công thức p = 15 - $\frac{1}{2}$q. Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức R = pq.

a) Viết công thức biểu diễn R theo p.

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: p = 15 - $\frac{1}{2}$q ⇔ q = 2(15 - p).

Thay vào R = pq ta được: R = p.2.(15 – p) = −2p² + 30p.

b) Đặt y = −2p² + 30p.

Tập xác định: D = (0; +∞).

Có y' = −4p + 30 = 0 ⇔ p = 7,5.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{D}{maxy}$ = y(7,5) = 112,5.

Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sẽ đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho chất điểm chuyển động với phương trình s = −t³ + 6t² với t ∈ [0; 6]. Tại thời điểm nào thì vận tốc của chất điểm bằng 0?

A. 1s;

B. 3s;

C. 2s;

D. 4s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có v(t) = s'(t) = −3t² + 12t.

Có v(t) = 0 ⇔ −3t² + 12t = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 4.

Vậy tại thời điểm t = 4 s thì vận tốc của chất điểm bằng 0.

Bài 2. Một vật chuyển động với phương trình S(t) = t³ + 4t², trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu di chuyển, S(t) (mét) là quãng đường vật chuyển động trong t giây. Tính gia tốc của vật tại thời điểm vận tốc bằng 11 m/s.

A. 14 (m/s²);

B. 12 (m/s²);

C. 13 (m/s²);

D. 11 (m/s²);

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có v(t) = S'(t) = 3t² +8t; a(t) = v'(t) = 6t + 8.

Thời điểm vận tốc bằng 11 m/s ứng với 3t² +8t = 11 ⇔ t = 1 (giây).

Gia tốc của vật cần tìm là a(1) = 6 + 8 =14 (m/s²).

Bài 3. Một vật chuyển động theo quy luật s = −2t³ + 24t² + 9t – 3 với t là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 289 m/s.

B. 105 m/s.

C. 111 m/s.

D. 487 m/s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t) = s' = −6t² + 48t +9.

Xét hàm số v(t) = −6t² + 48t +9, t ∈ [0; 10].

Ta có v'(t) = −12t + 48 = 0 ⇔ t = 4 (thỏa mãn).

Ta có v(0) = 9; v(4) = 105; v(10) = −111 $\Rightarrow$ $\underset{[0;10]}{max}v\left(t\right)$ = v(4) = 105.

Bài 4. Một vật chuyển động với phương trình s(t) = $-\frac{1}{3}$t³ + 4t² + 9t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Chọn đáp án sai.

A. Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là v(3) = 1 m/s;

B. Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vật đứng yên là 162 m;

C. Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 2 m/s²;

D. Trong 9 giây đầu tiên, vật tăng vận tốc khi t ∈ [0; 4].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

a) Ta có v(t) = s'(t) = −t² + 8t + 9 ⇒ v(3) = 24 m/s.

b) Vật đứng yên khi v(t) = 0 ⇔ −t² + 8t + 9 = 0 ⇔ t = −1 (ktm) hoặc t = 9 (tm).

Quãng đường vật chuyển động được đến thời điểm t = 9 là:

s(9) = $-\frac{1}{3}$9³ + 4.9² + 9.9 = 162 (m).

c) Có a(t) = v'(t) = −2t + 8.

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là a(3) = 2 m/s².

d) Xét hàm v(t) = −t² + 8t + 9; v'(t) = −2t + 8; v'(t) = 0 ⇔ t = 4.

Bảng biến thiên của hàm số v(t) = −t² + 8t + 9 với t ∈ [0; 9].

Trong 9 giây đầu tiên, vật tăng vận tốc khi t Î [0; 4].

Bài 5. Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: N(t) = 100e^0,012t (N(t) được tính bằng triệu người, 0 ≤ t ≤ 50). Chọn đáp án sai.

A. Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: 108,763 (triệu người);

B. Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: 125,488 (triệu người);

C. Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Khi đó hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50];

D. Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/năm). Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

A. Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: N(7) = 100e^0,012.7 = 100e^0,084 ≈ 108,763 (triệu người)

B. Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: N(12) = 100e^0,012.12 = 100e^0,144 ≈ 115,488 (triệu người)

C. Trên đoạn [0; 50] ta có: N'(t) = 0,012.100.e^0,012t = 1,2e^0,012t > 0, ∀t Î [0; 50].

Do đó, hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50].

D. Ta có: N'(t) = 1,2e^0,012t .

Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:

1,6 = 1,2e^0,012t ⇔ e^0,012t = $\frac{4}{3}$ ⇔ t = $\frac{250\ln \frac{4}{3}}{3}$ $\approx$ 23,97.

Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.

Bài 6. Một người bán gạo muốn đóng một thùng tôn đựng gạo có thể tích không đổi bằng 10 m³. Thùng tôn là hình hộp chữ nhật có chiều dài đáy bằng hai lần chiều rộng và không có nắp. Trên thị trường giá tôn làm đáy thùng là 75000 đồng/m² và giá tôn làm thành xung quanh thùng là 55000 đồng/m². Tính chi phí thấp nhất để làm thùng đựng gạo. (Làm tròn đến hàng nghìn)

A. 1418000 đồng.

B. 1403000 đồng.

C. 1402000 đồng.

D. 1417000 đồng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi x là chiều rộng của đáy thùng, x > 0, đơn vị m.

$\Rightarrow$ chiều dài của đáy thùng là: 2x.

Ta có V = x.2x.h = 10 $\Rightarrow$ h = $\frac{5}{x^2}$.

Chi phí làm đáy thùng là: 2x².75 = 150x² (đơn vị nghìn đồng).

Chi phí làm diện tích xung quanh là: (2x.$\frac{5}{x^2}$ + 2.2x.$\frac{5}{x^2}$).55 = $\frac{1650}{x}$ (đơn vị nghìn đồng).

Chi phí làm thùng là: T = 150x² + $\frac{1650}{x}$ (đơn vị nghìn đồng).

Xét hàm số T = 150x² + $\frac{1650}{x}$, với x > 0.

Ta có T'(x) = 300x - $\frac{1650}{x^2}$; T'(x) = 0 ⇔ x = $\sqrt[3]{\frac{11}{2}}$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên T(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = $\sqrt[3]{\frac{11}{2}}$.

Vậy chi phí ít nhất bằng T = 150(x = $\sqrt[3]{\frac{11}{2}}$)² + $\frac{1650}{\sqrt[3]{\frac{11}{2}}}$ $\approx$ 1402000 đồng.

Bài 7. Một loại vi khuẩn được tiêm một loại thuốc kích thích sự sinh sản. Sau t phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức N(t) = 1000 + 30t² – t³ (0 ≤ t ≤ 30). Hỏi sau bao giây thì số vi khuẩn lớn nhất?

A. 20;

B. 10;

C. 1200;

D. 1100.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số N(t) = 1000 + 30t² – t³ (0 ≤ t ≤ 30).

Có N'(t) = 60t – 3t²; N'(t) = 0 $\Rightarrow$ t = 0 hoặc t = 20.

Ta có bảng biến thiên

Với t = 20 giây thì số vi khuẩn lớn nhất.

Bài 8. Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông 2 km, anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B tọa lạc ven bờ sông, B cách vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là 4 km (hình vẽ). Biết rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc 6 km/h và chạy bộ trên bờ với vận tốc 10 km/h. Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là

A. 40 phút;

B. 44 phút;

C. 30 phút;

D. 38 phút.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đặt OP = x (0 < x < 4) $\Rightarrow$ BP = 4 – x; AP = $\sqrt{4+x^2}$.

Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là:

t_(x) = t_AP + t_PB = $\frac{\sqrt{4+x^2}}{6}+\frac{4-x}{10}$(h) $\Rightarrow$ t'_(x) = $\frac{x}{6\sqrt{4+x^2}}-\frac{1}{10}$.

t'_(x) = 0 ⇔ $\frac{x}{6\sqrt{4+x^2}}-\frac{1}{10}$ = 0 ⇔ 3$\sqrt{4+x^2}$ = 5x

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là: t_min = $\frac{2}{3}$(h) = $\frac{2}{3}$.60 (phút) = 40 phút.

Bài 9. Sự ảnh hưởng khi sử dụng một loại độc tố với vi khuẩn X được một nhà sinh học mô tả bởi hàm số P(t) = $\frac{t+1}{t^2+t+4}$, trong đó P(t) là số lượng vi khuẩn sau t giờ sử dụng độc tố. Vào thời điểm nào thì số lượng vi khuẩn X bắt đầu giảm?

A. Ngay từ lúc bắt đầu sử dụng độc tố;

B. Sau 0,5 giờ;

C. Sau 2 giờ;

D. Sau 1 giờ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét P'(t) = $\frac{-t^2-2t+3}{{(t^2+t+4)}^2}$ = $\frac{(t-1)(-t-3)}{{(t^2+t+4)}^2}$.

Ta thấy hàm số đạt cực đại tại t = 1 và P'(t) < 0,∀t ∈ (1; +∞) nên sau 1 giờ thì vi khuẩn bắt đầu giảm.

Bài 10. Một đợt xuất khẩu gạo của tỉnh A thường kéo dài trong 60 ngày. Người ta nhận thấy lượng gạo xuất khẩu tính theo ngày thứ t được xác định bởi công thức S(t) = $\frac{2}{5}$t³ - 63t² + 3240t - 3100 (tấn) (1 ≤ t ≤ 60). Hỏi trong 60 ngày đó, ngày thứ mấy có lượng gạo xuất khẩu cao nhất?

A. 60;

B. 45;

C. 30;

D. 25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có S'(t) = $\frac{6}{5}$t² - 126t + 3240 ; S'(t) = 0 ⇔ t = 45 (tm) hoặc t = 60 (tm).

Có S(1) = 77,4; S(45) = 51575; S(60) = 50900.

Vậy ngày thứ 45 có lượng gạo xuất khẩu cao nhất.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số
• Một số bài toán thực tế ứng dụng đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Nhận dạng đồ thị hàm số
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

---