Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Đường thẳng y = y₀ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = y₀ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = y₀.

• Đường thẳng x = x₀ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to x_{0^{+}}}{\lim }f\left(x\right)$ = +∞; $\underset{x\to x_{0^{-}}}{\lim }f\left(x\right)$ = -∞; $\underset{x\to x_{0^{+}}}{\lim }f\left(x\right)$ = -∞; $\underset{x\to x_{0^{-}}}{\lim }f\left(x\right)$ = +∞.

• Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\right(x)-(ax+b\left)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\right(x)-(ax+b\left)\right]=0$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) = $\frac{x+1}{x-2}$.

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho có tập xác định là ℝ\{2}.

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x+1}{x-2}$ = 1, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+1}{x-2}$ = 1.

Vậy đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x+1}{x-2}$ = $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }(1+\frac{3}{x-2})$ = −∞,

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x+1}{x-2}$ = $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }(1+\frac{3}{x-2})$ = +∞.

Vậy đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Ví dụ 2. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) = $\frac{x^2+3x}{x-2}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: a = $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+3x}{x(x-2)}$ = 1;  b = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\right(x)-x]$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x}{x-2}$ = 5.

Vậy đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → +∞).

Tương tự, do $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ = 1 và $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\right(x)-x]$ = 5 nên đường thẳng y = x + 5 cũng là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho (khi x → −∞).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = 1 và $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = -1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 1 và x = −1.

B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào định nghĩa đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta chọn đáp án D.

Bài 2. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = $\frac{x-2}{x+1}$ là

A. y = −2;                              

B. y = 1;

C. x = −1;                               

D. x = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-2}{x+1}$ = 1 và $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-2}{x+1}$ = 1.

Suy ra y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 3. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = $\frac{5x+2}{x-1}$ là

A. y = 1;

B. y = $\frac{1}{5}$;                                

C. y = -1;                              

D. y = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x+1}{x-1}$ = 5; $\underset{x\to -\infty }{\lim }y$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5x+1}{x-1}$ = 5.

Suy ra y = 5 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 4. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  là y = $\frac{2x+2}{x-1}$

A. x = 2;

B. x = −2;                               

C. x = 1;

D. x = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Tập xác định D = ℝ\{1}.

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y$ = −∞; $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y$ = +∞, suy ra đồ thị có tiệm cận đứng là x = 1.

Bài 5. Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = $\frac{x^2+3x-1}{x+1}$ là:

A. x = 2;

B. x = 0;

C. x = 1;

D. x = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2+3x-1}{x+1}$ = −∞ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+3x-1}{x+1}$ = +∞.

Vậy tiệm cận đứng là: x = −1.

Bài 6. Đồ thị hàm số y = $\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ có tiệm cận xiên là đường thẳng:

A. y = x;                                 

B. y = x – 1;                           

C. y = 2x – 1;                         

D. y = x + 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: y = $\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ = x + 1 + $\frac{1}{x+1}$.

Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }[y-(x+1\left)\right]$ = $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{1}{x+1}$ = 0.

Vậy tiệm cận xiên là: y = x + 1.

Bài 7. Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây có tiệm cận xiên?

A. y = x²;                               

B. y = x³ – 3x + 4;                  

C. y = $\frac{2x+1}{x-1}$;                        

D. y = $\frac{x^2-x+1}{x-1}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số đa thức bậc hai và ba không có tiệm cận nên loại phương án A và B.

Hàm số y = $\frac{ax+b}{cx+d}$ chỉ có tiệm cận đứng và ngang nên loại phương án C.

Ta có: y = $\frac{x^2-x+1}{x-1}$ = x + $\frac{1}{x-1}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }(y-x)$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x-1}\right)$ = 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }(y-x)$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x-1}\right)$ = 0.

Vậy hàm số y = $\frac{x^2-x+1}{x-1}$ có tiệm cận xiên y = x.

Bài 8. Cho hàm số y = $\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$. Tọa độ giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị hàm số là:

A. (−2; 3);

B. (2; 1);

C. (2; −1);

D. (3; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có y = $\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$ = - x + 1 + $\frac{1}{x-2}$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }[y-(-x+1\left)\right]$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x-2}\right)$ = 0, $\underset{x\to -\infty }{\lim }[y-(-x+1\left)\right]$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x-2}\right)$ = 0.

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = −x + 1.

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y$ = $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$ = +∞; $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y$ = $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$ = -∞.

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = 2.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là (2; −1).

Bài 9. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = $\frac{2x^2-3x-2}{x^2-4}$ là

A. 0;

B. 2;                                       

C. 1;                                       

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: y = $\frac{2x^2-3x-2}{x^2-4}$ = $\frac{(x-2).(2x+1)}{(x-2).(x+2)}$ = $\frac{2x+1}{x+2}$

Do $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x^2-3x-2}{x^2-4}$ = $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{(x-2).(2x+1)}{(x-2).(x+2)}$ = $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x+1}{x+2}$ = 2 nên tiệm cận ngang của đồ thi hàm số là đường thẳng y = 2.

Do $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2x^2-3x-2}{x^2-4}$ = $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{(x-2).(2x+1)}{(x-2).(x+2)}$ = $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x+2}$ = -∞ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2x^2-3x-2}{x^2-4}$ = $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{(x-2).(2x+1)}{(x-2).(x+2)}$ = $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x+2}$ = -∞ nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng x = −2. Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận.

Bài 10. Cho đồ thị hàm số y  = $\frac{2x-1}{2x+4}$ có đồ thị (C).

Chọn câu sai?

A. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của (C);

B. Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của (C);

C. Hàm số y  = $\frac{2x-1}{2x+4}$ đồng biến trong khoảng (−∞; −10) và (10; +∞);

D. Đường thẳng x = −2 là tiệm cận đứng của (C).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y$ = $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{2+\frac{4}{x}}$ = $\frac{2}{2}$ = 1.

$\Rightarrow$ y = 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = $\frac{2x-1}{2x+4}$.

$\underset{x\to {(-2)}^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{2x+4}$ = -∞; $\underset{x\to {(-2)}^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{2x+4}$ = +∞ nên x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có y' = $\frac{10}{{(2x+4)}^2}$ > 0, ∀x ≠ -2. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2 ) và (−2 ; +∞). Do đó hàm số y = $\frac{2x-1}{2x+4}$ đồng biến trong khoảng (−∞; −10) và (10; +∞).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số
• Một số bài toán thực tế ứng dụng đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Nhận dạng đồ thị hàm số
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

---