Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Sơ đồ khảo sát hàm số y = f(x):

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

- Tính đạo hàm y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

- Xét dấu y' để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

- Tìm cực trị của hàm số.

- Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

- Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x³ – 3x² + 4.

Hướng dẫn giải:

1) Tập xác định: ℝ.

2) Sự biến thiên

Ta có y' = 3x² – 6x; y' = 0 ⇔ 3x² – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 0) và (2; +∞), nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y_CĐ = 4 ; hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y_CT = 0.

Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty$.

Bảng biến thiên:

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; 4).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành:

Xét phương trình x³ – 3x² + 4 = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 2.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục hoành tại hai điểm (−1; 0) và (2; 0).

- Đồ thị hàm số đi qua các điểm (−1; 0), (2; 0), (0; 4) và (1; 2).

Vậy đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 4 được cho ở Hình.

Quan sát đồ thị ở Hình, ta thấy đồ thị đó có tâm đối xứng là điểm I(1; 2).

Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$.

Hướng dẫn giải:

1) Tập xác định: ℝ\{1}.

2) Sự biến thiên

y' = $\frac{-3}{{(x-1)}^2}$ < 0 với mọi x ≠ 1.

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty$, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty$. Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đổ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=2$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=2$. Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

3) Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: (0; −1).

- Giao điểm của đồ thị với trục hoành: ($-\frac{1}{2}$; 0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-2; 1), (2; 5), ($\frac{5}{2}$; 4) và (4; 3).

Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ được cho ở Hình.

Quan sát đồ thị ở Hình, đồ thị đó nhận giao điểm I(1; 2) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Đồ thị của hàm số y = x³ – 3x + 2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. −2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi M(x₀; y₀) là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Ta có x₀ = 0 $\Rightarrow$ y₀ = 2.

Bài 2. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x³ – 3x + 1 và trục hoành là

A. 3;

B. 0;

C. 2;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: ℝ.

Ta có: y' = 3x² – 3 = 3(x² – 1); y' = 0 ⇔ x = ± 1.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Bài 3. Cho hàm số y = (x – 3)(x² + 2) có đồ thị (C). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. (C) cắt trục hoành tại hai điểm;

B. (C) cắt trục hoành tại một điểm;

C. (C) không cắt trục hoành;

D. (C) cắt trục hoành tại ba điểm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

(x – 3)(x² + 2) = 0 ⇔ x = 3 nghĩa là (C) cắt trục hoành tại một điểm.

Bài 4. Đồ thị hàm số y = x³ – 3x + 2 là hình nào trong 4 hình dưới đây?

A. Hình 1;

B. Hình 2;

C. Hình 3;

D. Hình 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^3-3x+2)=-\infty$ nên loại C và D.

Đồ thị hàm số y = x³ – 3x + 2 đi qua (−1; 4) nên chọn B.

Bài 5. Hàm số y = −x³ + 3x² – 1 là đồ thị nào sau đây?

A. Hình 1;

B. Hình 2;

C. Hình 3;

D. Hình 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }(-x^3+3x^2-1)=+\infty$ suy ra loại đáp án B.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −1). Chọn A.

Bài 6. Hàm số y = x³ + 3x² – 4 có đồ thị là hình nào sau đây?

A. Hình 1;

B. Hình 2;

C. Hình 3;

D. Hình 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có y' = 3x² + 6x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −2.

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (0; +∞) và nghịch biến trên khoảng (−2; 0).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −4).

Bài 7. Hàm số $y=\frac{x-2}{x-1}$ có đồ thị là hình vẽ nào sau đây?

A. Hình 1;

B. Hình 2;

C. Hình 3;

D. Hình 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có y' = $\frac{1}{{(x-1)}^2}$ > 0, ∀x ≠ 1.

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

Đồ thị hàm số nhận x = 1 làm tiệm cận đứng và y = 1 là tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Bài 8. Cho hàm số y = f(x) = $\frac{x^2+3x+1}{x+1}$ có đồ thị (C). Chọn đáp án đúng.

A. Tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ\{−1};

B. Hàm số f(x) nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó;

C. Đường thẳng y = x + 3 là đường tiệm cận xiên của (C);

D. Điểm I(−1; −1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1.

Vậy tập xác định của hàm số f(x) là D = ℝ\{−1}.

Ta có: f'(x) = $\frac{x^2+2x+2}{{(x+1)}^2}$ > 0, ∀x ∈ D.

Vậy hàm số f(x) luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

Ta có: f(x) = $\frac{x^2+3x+1}{x+1}$ = x + 2 - $\frac{1}{x+1}$

Và: $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f\right(x)-(x+2\left)\right]=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-1}{x+1}$ = 0.

Suy ra: đường thẳng y = x + 2 là đường tiệm cận xiên của (C).

Đồ thị hàm số nhận x = −1 là tiệm cận đứng.

Do đó điểm I(−1; 1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.

Bài 9. Cho hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$ có đồ thị (C). Chọn đáp án đúng.

A. Đồ thị hàm số (C) nhận đường thẳng x = 2 là tiệm cận ngang;

B. Đồ thị hàm số (C) nhận I(2; 3) là tâm đối xứng;

C. Tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với Oy có phương trình y = −5x – 3;

D. Tích khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) tới 2 đường tiệm cận của nó luôn bằng 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Tiệm cận ngang của (C) là đường thẳng y = 2 vì $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{2x+3}{x-1}$ = 2.

Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là x = 1 và y = 2 nên tâm đối xứng của (C) là điểm I(1; 2).

Giao điểm của (C) với Oy là điểm A(0; −3).

Ta có $y=\frac{2x+3}{x-1}$ $\Rightarrow y\text{'}=\frac{-5}{{(x-1)}^2}$ $\Rightarrow$ y'(0) = -5.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(0; −3) là y = y'(0)(x − 0) + (−3) ⇔ y = −5x – 3.

Gọi M(x₀; y₀) là một điểm bất kỳ trên (C), suy ra $y_0=\frac{2x_0+3}{x_0-1}$.

Đồ thị (C) có 2 đường tiệm cận là ∆₁: x – 1 = 0 và ∆₂: y – 2 = 0.

Khoảng cách từ M(x₀; y₀) tới ∆₁: x – 1 = 0 là d₁ = |x₀ – 1|.

Khoảng cách từ M(x₀; y₀) tới ∆₂: y – 2 = 0 là

d₂ = |y₀ - 2| = |$\frac{2x_0+3}{x_0-1}$ - 2| = |$\frac{5}{x_0-1}$| = $\frac{5}{|x_0-1|}$.

Suy ra d₁.d₂ = |x₀ - 1|.$\frac{5}{|x_0-1|}$ = 5.

Bài 10. Cho hàm số $y=\frac{x^2+2x-2}{x-1}$. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Tâm đối xứng là I(1; 3);

B. Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1;

C. Tiệm cận xiên là đường thẳng y = x + 3;

D. Đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 6).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là đường thẳng x = 1, y = x + 3 do đó tâm đối xứng là I(1; 4).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số
• Một số bài toán thực tế ứng dụng đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Nhận dạng đồ thị hàm số
• Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

---