Bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số.

Bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Đối với bài toán chứa tham số, để biện luận số tiệm cận hay tìm điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận thỏa mãn điều kiện nào đó, ta thường thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số không suy biến.

Bước 2. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Bước 3. Giải điều kiện của bài toán để tìm tham số.

Bước 4. Kết luận

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị của hàm số y = $\frac{(2m+1)x+3}{x+1}$ có đường tiệm cận ngang đi qua điểm A(−2; 7).

Hướng dẫn giải:

Nếu m = 1, khi đó ta có hàm số y = $\frac{3x+3}{x+1}$ không có tiệm cận qua điểm A(−2; 7).

Nếu m ≠ 1 thì đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 và tiệm cận ngang là y = 2m + 1.

Đường tiệm cận ngang đi qua điểm A(−2; 7) nên 2m + 1 = 7 ⇔ m =3.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) = $\frac{nx+1}{x+m}$; (mn ≠ 1) xác định trên ℝ\{−1}, liên tục trên từng khoảng xác định và có đồ thị như hình vẽ:

Tính tổng m + n.

Hướng dẫn giải:

Đồ thị hàm số y = f(x) = $\frac{nx+1}{x+m}$; (mn ≠ 1) có hai đường tiệm cận x = −m = −1; y = n = 2 $\Rightarrow$ m + n = 3.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = $\frac{mx-8}{x+2}$ có hai đường tiệm cận.

A. m ≠ 4;

B. m ≠ −4;

C. m = 4;

D. m = −4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Với m = −4 thì y = $\frac{-4x-8}{x+2}$ = -4 không thỏa mãn.

Do đó m ≠ −4 thì hàm số luôn có hai đường tiệm cận x = −2; y = m.

Bài 2. Cho đồ thị hàm số y = f(x) có bảng biến thiên xác định như hình. Biết rằng đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x₀, tiệm cận ngang là y = y₀ và x₀y₀ = 16. Hỏi m bằng?

A. m = 8;

B. m = −16;

C. m = 1;

D. m = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\underset{x\to m^{+}}{\lim }y=-\infty$ nên x₀ = m là tiệm cận đứng.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y$ = 8 nên y₀ = 8 là tiệm cận ngang.

Suy ra 8m = 16 ⇔ m = 2.

Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m ∈ [−4; 4] để hàm số có 4 tiệm cận?

A. 5;

B. 6;

C. 7;

D. 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

+ Ta có $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ nên x = −2 là một tiệm cận đứng.
$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ nên x = 1 là một tiệm cận đứng.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=4$ nên y = 4 là một tiệm cận ngang.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=m^2$ nên y = m² là một tiệm cận ngang.

+ Để hàm số có 4 tiệm cận thì m² ≠ 4 ⇔ m ≠ ±2 mà m ∈ [−4; 4] nên m ∈ {±4; ±3; ±1; 0}. Vậy có 7 giá trị m cần tìm.

Bài 4. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau:

Tìm tổng số các giá trị nguyên dương của tham số m ∈ (−10; 10) để đồ thị hàm số y = f(x) có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là 4.

A. 42;

B. 45;

C. −3;

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$ = (m - 1)(2 - m).

Suy ra tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) là y = 0 và y = (m – 1)(2 – m).

Lại có $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$; $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là x = −2.

Và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$; $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ suy ra tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) là x = 2.

Để đồ thị hàm số có tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang là 4 khi và chỉ khi (m - 1)(2 - m) ≠ 0

Vì m ∈ (−10; 10) và m là số nguyên dương nên m ∈ {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}.

Vậy 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 42.

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Định tham số m để giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là điểm I(−1; 1).

A. Không có m;

B. m = 0;

C. m = −1;

D. m = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Từ bảng biến thiên suy ra tiệm cận đứng là x = −m, tiệm cận ngang là y = m nên giao điểm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là I(−m; m).

Theo đề ta suy ra m = 1.

Bài 6. Cho hàm số y = $\frac{ax+1}{bx-2}$. Tìm a, b để đồ thị hàm số có x = 1 là tiệm cận đứng và y = $\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang.

A. a = −1; b = 2;

B. a = 4; b = 4;

C. a = 1; b = 2;

D. a = −1; b = −2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

+) b = 0 $\Rightarrow$ đồ thị hàm số y = $\frac{ax+1}{-2}$ không có tiệm cận.

+) b ≠ 0, tập xác định của hàm số y = $\frac{ax+1}{bx-2}$ là D = ℝ \ {$\frac{2}{b}$} .

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y$ = $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{ax+1}{bx-2}$ = $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{a+\frac{1}{x}}{b-\frac{2}{x}}$ = $\frac{a}{b}$.

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số y = $\frac{ax+1}{bx-2}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng y = $\frac{a}{b}$ $\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{1}{2}$ ⇔ b = 2a.

$\underset{x\to \frac{2^{+}}{b}}{\lim }y$ = $\underset{x\to \frac{2^{+}}{b}}{\lim }\frac{ax+1}{bx-2}$ =

$\Rightarrow$ đồ thị hàm số y = $\frac{ax+1}{bx-2}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng x = $\frac{2}{b}$ $\Rightarrow \frac{2}{b}=1$ ⇔ b = 2 $\Rightarrow$ a = 1.

Vậy a = 1; b = 2.

Bài 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y = $\frac{x^2+m}{x^2-3x+2}$ có đúng hai đường tiệm cận.

A. m = −1;

B. m ∈ {1; 4};

C. m = 4;

D. m ∈ {−1; −4}.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

y = $\frac{x^2+m}{x^2-3x+2}$ = $\frac{x^2+m}{(x-1)(x-2)}$.

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y$ $\Rightarrow$ y = 1 là đường tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số y = $\frac{x^2+m}{x^2-3x+2}$ có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng. Suy ra phương trình x² + m = 0 nhận nghiệm x = 1 hoặc x = 2.

Khi đó: m = −1 hoặc m = −4.

Với m = −1 có một tiệm cận đứng x = 2.

Với m = −4 có một tiệm cận đứng x = 1.

Vậy m ∈ {−1; −4}.

Bài 8. Tìm tất cả giá trị của tham số m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = $2mx+3-\frac{4}{x+1}$ đi qua điểm M(1; 7).

A. m = 1;

B. m = 3;

C. m = 2;

D. m = −2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(y-(2mx+3\left)\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{4}{x+1}=0$ .

Vậy đường tiệm cận xiên có phương trình y = 2mx + 3.

Đường thẳng này qua điểm M(1; 7) nên 2m.1 + 3 = 7 ⇔ m = 2.

Bài 9. Biết rằng đồ thị của hàm số y = $\frac{(n-3)x+n-2017}{x+m+3}$ (m, n là các số thực) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tính tổng m + n.

A. 0;

B. −3;

C. 3;

D. 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số nhận x = −m – 3 làm tiệm cận đứng $\Rightarrow$ −m – 3 = 0 $\Rightarrow$ m = −3.

Đồ thị hàm số nhận y = n – 3 làm tiệm cận ngang $\Rightarrow$ n – 3 = 0 ⇔ n = 3.

Vậy m + n = 0.

Bài 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số y = $\frac{x-1}{x^2-8x+m}$ có 3 đường tiệm cận?

A. 14;

B. 8;

C. 15;

D. 16.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-1}{x^2-8x+m}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-1}{x^2-8x+m}=0$ nên đồ thị hàm số có một tiện cận ngang y = 0.

Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình x² – 8x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Kết hợp với điều kiện m nguyên dương ta có m ∈ {1; 2; 3; …; 6; 8; …; 15}.

Vậy có 14 giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Một số bài toán thực tế ứng dụng đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Nhận dạng đồ thị hàm số
• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
• Vận dụng đạo hàm và khảo sát hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

---