Bài toán hàm hợp về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Một số bài toán hàm hợp liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số bài toán hàm hợp liên quan đến giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Bài toán hàm hợp về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = M.

Kí hiệu M = $\underset{x_0\in D}{max}$ f(x) hoặc M = $\underset{D}{max}$ f(x).

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ≥ m với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = m.

Kí hiệu m = $\underset{x\in D}{min}$ f(x) hoặc m = $\underset{D}{min}$ f(x).

• Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b]:

Bước 1: Tìm các điểm x₁, x₂, …, x_n ∈ (a; b), tại đó f'(x) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2: Tính f(x₁), f(x₂), …, f(x_n), f(a) và f(b).

Bước 3: Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có: M = $\underset{[a;b]}{max}$ f(x); m = $\underset{[a;b]}{min}$ f(x).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = x³ – 3x – 2.

a) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−1; 1].

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(2x) trên đoạn [$-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$] .

Hướng dẫn giải:

a) Ta có y' = 3x² – 3; y' = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [−1; 1] bằng 0.

b) Ta có x ∈ [$-\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$] $\Rightarrow$ 2x ∈ [−1; 1].

Đặt t = 2x, t ∈ [−1; 1], f(t) = t³ – 3t – 2.

Theo câu a, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1; 1] bằng −4.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ. Đồ thị của hàm số y = f'(x) được cho trong hình vẽ dưới đây.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) = f(sinx) trên đoạn [0; π].

Hướng dẫn giải:

Đặt sinx = t. Vì x ∈ [0; π] nên t ∈ [0; 1].

Suy ra $\underset{[0;\pi ]}{min}$ g(x) = $\underset{[0;1]}{min}$ f(t).

Ta thấy f'(t) ≤ 0, ∀t ∈ [0; 1] nên hàm số f(t) nghịch biến trên [0; 1].

Do vậy $\underset{[0;1]}{min}$ f(t) = f(1).

Vậy $\underset{[0;\pi ]}{min}$ g(x) = f(1).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [−2; 3] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(2cos5x + 1). Giá trị của M – 2m bằng bao nhiêu?

A. M – 2m = 5;

B. M – 2m = 3;

C. M – 2m = 6;

D. M – 2m = 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có −1 ≤ cos5x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ 2cos5x + 1 ≤ 3.

Đặt t = 2cos5x + 1 với x ∈ [−2; 3] thì t ∈ [−1; 3].

Khi đó, y = f(2cos5x + 1) = f(t) với t ∈ [−1; 3].

Suy ra: M = 5; m = 0 $\Rightarrow$ M – 2m = 5.

Bài 2. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = |x³ – 3x² – 1| trên đoạn [−1; 3] là

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số g(x) = x³ – 3x² – 1; g'(x) = 3x² – 6x.

Có g'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 (đều thuộc (−1; 3)).

Ta có f(−1) = |g(−1)| = 5; f(0) = |g(0)| = 1; f(2) = |g(2)| = 5; f(3) = |g(3)| = 1.

Vậy $\underset{[-1;3]}{max}$ f(x) = 5.

Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm của hàm số như sau: f'(x) = (x – 3)(x + 3)(x – 1)². Gọi g(x) = f(−2x + 3). Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [0; 3] là:

A. g(1);

B. g(2);

C. g(3);

D. g(0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

Ta có: g'(x) = −2f'(−2x + 3).

Có g'(x) = 0

Ta có x = 1 là nghiệm bội chẵn nên ta có bảng biến thiên của hàm số g(x).

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [0; 3] là g(0).

Bài 4. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập ℝ và có bảng biến thiên như sau

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x² – 2x) trên đoạn [$-\frac{3}{2}$; $\frac{7}{2}$]. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.

A. M.m > 10;

B. $\frac{M}{m}$ < 2;

C. M – m > 3;

D. M + m > 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đặt t = x² – 2x. Ta có x ∈ [$-\frac{3}{2}$; $\frac{7}{2}$] ⇔ $-\frac{5}{2}$ ≤ x - 1 ≤ $\frac{5}{2}$ ⇔ 0 ≤ (x - 1)² ≤ $\frac{25}{4}$

⇔ -1 ≤ (x - 1)² - 1 ≤ $\frac{21}{4}$ nên t ∈ [-1; $\frac{21}{4}$].

Xét hàm số y = f(t), t ∈ [-1; $\frac{21}{4}$].

Từ bảng biến thiên suy ra:

m = $\underset{t\in [-1;\frac{21}{4}]}{max}$ f(t) = f(1) = 2, M = $\underset{t\in [-1;\frac{21}{4}]}{max}$ f(t) = f($\frac{21}{4}$) = 5 $\Rightarrow$ $\frac{M}{m}$ > 2.

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m là các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = $\sqrt{2x-x^2}$. Giá trị của 2M – m bằng

A. −1;

B. −2;

C. −3;

D. −5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đặt t = $\sqrt{2x-x^2}$, ta có 0 ≤ t ≤ 1.

Hàm số y = $\sqrt{2x-x^2}$ trở thành y = f(t) với 0 ≤ t ≤ 1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra M = −3; m = −5.

Vậy 2M – m = −1.

Bài 6. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ

Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(1 − cosx) trên [0; $\frac{3\pi }{2}$]. Giá trị của M + m bằng

A. 1;

B. 2;

C. $\frac{1}{2}$;

D. $\frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đặt t = 1 – cosx $\Rightarrow$ t ∈ [0; 2].

Dựa vào đồ thị ta thấy $\underset{[0;2]}{max}$ f(t) = 2; $\underset{[0;2]}{min}$ f(t) = -$\frac{3}{2}$ $\Rightarrow$ M + n = $\frac{1}{2}$.

Bài 7. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [−2; 4] như hình vẽ bên. Tìm $\underset{[-2;4]}{max}$ |f(x)| .

A. |f(0)|;

B. 2;

C. 3;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị ta có: $\underset{[-2;4]}{max}$ f(x) = 2 khi x = 2 và $\underset{[-2;4]}{min}$ f(x) = -3 khi x = −1.

Vậy $\underset{[-2;4]}{max}$ |f(x)| = 3 khi x = −1.

Bài 8. Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ.

Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [−1; 1] lần lượt là M, m. Tính giá trị của biểu thức T = 673M – 2019m.

A. T = 2019;

B. T = 0;

C. T = 4038;

D. T = 2692.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

• Vẽ đồ thị của hàm số y = |f(x)| bằng cách giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y = f(x) ở phía trên trục hoành, lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số y = f(x) ở phía đưới trục hoành qua trục hoành, xóa bỏ phần đồ thị phía dưới trục hoành.

• Từ đó suy ra phần đồ thị của hàm số y = |f(x)| trên đoạn [−1; 1].

Dựa vào phần đồ thị đó, ta được M = 3; m = 0 nên T = 2019.

Bài 9. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số như hình vẽ

Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = |f(2x – 1)| trên đoạn [0; $\frac{1}{2}$]. Tính giá trị M – m.

A. 3;

B. 0;

C. 1;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đặt t = 2x – 1.

Với x ∈ [0; $\frac{1}{2}$] $\Rightarrow$ t ∈ [−1; 0].

Đồ thị hàm số y = |f(x)| có dạng

Suy ra với t ∈ [−1; 0] ta có m = 0, M = 1.

Vậy M – m = 1.

Bài 10. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(|x|) trên đoạn [−2; 4] bằng

A. f(2);

B. f(0);

C. f(4);

D. Không xác định được.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Từ yêu cầu bài toán ta có bảng biến thiên cho hàm số y = f(|x|) như sau

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy $\underset{[-2;4]}{min}$ f(|x|) = f(4).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Sử dụng đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên xác định các đường tiệm cận
• Tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Một số bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có chứa tham số
• Một số bài toán thực tế ứng dụng đường tiệm cận của đồ thị hàm số
• Nhận dạng đồ thị hàm số

---