Bài toán thực tế ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Một số bài toán thực tế ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số bài toán thực tế ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số.

Bài toán thực tế ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Nếu s = s(t) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v = s'(t) biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: a(t) = v'(t) = s"(t).

• Nếu C = C(t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t, thì C'(t) là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t.

• Nếu P = P(t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t thì P'(t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t.

• Nếu C = C(x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời C'(x) của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một chuyển động thẳng được xác định bởi phương trình S(t) = $\frac{1}{3}$t³ - 3t² + 5t +2 với t > 0, t tính bằng giây và S tính bằng mét. Trong khoảng thời gian nào vận tốc của vật tăng?

Hướng dẫn giải:

Ta có v(t) = S'(t) = t² – 6t + 5, t > 0 , v'(t) = 2t – 6, v'(t) = 0 ⇔ 2t – 6 = 0 ⇔ t = 3.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy vận tốc tăng trong khoảng thời gian (3; +∞).

Ví dụ 2. Xí nghiệp A sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết rằng hàm tổng chi phí sản xuất là TC = x³ – 77x² + 1000x + 4000 và hàm doanh thu là TR = −2x² + 1312x, với x là số sản phẩm. Lợi nhuận của xí nghiệp A được xác định bằng hàm số f(x) = TR - TC, cực đại lợi nhuận của xí nghiệp A khi đó đạt bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số: f(x) = TR – TC = −x³ + 75x² + 312x – 4000.

Tập xác định: D = (0; +∞).

Ta có f'(x) = −3x² + 150x + 312; f'(x) = 0 ⇔ x = 52 (nhận) hoặc x = −2 (loại).

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt giá trị cực đại y_CĐ = 74416 tại x = 52.

Vậy lợi nhuận của công ty đạt cực đại khi số sản phẩm x = 52.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một chất điểm chuyển động theo quy luật S = $-\frac{1}{3}$t³ + 4t² + 9t với t ≥ 0 (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và S (mét) là quãng đường vật chuyển động trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, khoảng thời gian nào vận tốc của vật tăng?

A. (0; 5);

B. (0; 4);

C. (4; 10);

D. (3; 10).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có v = S' = −t² + 8t + 9, t ∈ (0; 10).

Có v'(t) = −2t + 8 ; v'(t) = 0 ⇔ t = 4 ∈ (0; 10).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có trong khoảng thời gian (0; 4) thì vận tốc của vật tăng.

Bài 2. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là f(t) = 45t² – t³, t = 0; 1; 2; ...; 25. Nếu coi f(t) là hàm số xác định trên đoạn [0; 25] thì đạo hàm f'(t) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Xác định khoảng thời gian mà tốc độ truyền bệnh giảm?

A. (0; 15);

B. (0; 10);

C. (15; 25);

D. (10; 25).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có f'(t) = 90t – 3t²; f"(t) = 90 – 6t; f"(t) = 0 ⇔ t = 15.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có khoảng thời gian (15; 25) ngày thì tốc độ truyền bệnh giảm.

Bài 3. Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là v (km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) = cv³t, trong đó c là hằng số và E tính bằng Jun. Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên nằm ở khoảng nào thì năng lượng tiêu hao của cá giảm?

A. (6; 10);

B. (6; 12);

C. (6; 9);

D. (9; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Khi bơi ngược dòng vận tốc của cá là: v – 6 (km/h)

Thời gian để cá vượt khoảng cách 300 km là t = $\frac{300}{v-6}$ (v > 6).

Năng lượng tiêu hao của cá khi vượt khoảng cách 300km là:

E(v) = cv³t = cv³.$\frac{300}{v-6}$ = 300c.$\frac{v^3}{v-6}$.

Có E'(v) = 600cv².$\frac{v-9}{{(v-6)}^2}$; E'(v) = 0 $\Rightarrow$ v = 9 (vì v > 6).

Bảng biến thiên:

Vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên nằm ở khoảng (6; 9) thì năng lượng tiêu hao của cá giảm.

Bài 4. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x) = 0,025x²(30 – x), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân (x được tính bằng miligam). Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân nằm trong khoảng nào để huyết áp bệnh nhân tăng?

A. (0; 20);

B. (0; 30);

C. (20; +∞);

D. (0; 25).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: G(x) = 0,75x² – 0,025x³; G'(x) = 1,5x – 0,075x²; G'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 20.

Bảng biến thiên:

Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân nằm trong khoảng (0; 20) thì huyết áp bệnh nhân tăng.

Bài 5. Để giảm nhiệt độ trong phòng từ 28°C, một hệ thống làm mát được phép hoạt động trong 10 phút. Gọi T (đơn vị °C) là nhiệt độ phòng ở phút thứ t được cho bởi công thức T = −0,008t³ – 0,16t + 28 với t ∈ [1; 10]. Trong thời gian 10 phút kể từ khi hệ thống làm mát bắt đầu hoạt động, nhiệt độ trong phòng tăng hay giảm?

A. Tăng;

B. Giảm;

C. Tăng rồi giảm;

D. Giảm rồi tăng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có T' = −0,024t² – 0,16 < 0, ∀t ∈ [1; 10].

Suy ra hàm số T nghịch biến trên đoạn [1; 10].

Do đó nhiệt độ trong phòng giảm.

Bài 6. Công suất P (đơn vị W) của một mạch điện được cung cấp bởi một nguồn pin 12V được cho bởi công thức P = 12I – 0,5I² với I (đơn vị A) là cường độ dòng điện. Hỏi công suất P tăng trong khoảng cường độ dòng điện nào?

A. (0; 20);

B. (4; 20);

C. (12; +∞);

D. (0; 12).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số P = 12I – 0,5I² với I ≥ 0.

Ta có P' = 12 – I; P' = 0 ⇔ I = 12.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có công suất P tăng trong khoảng cường độ dòng điện (0; 12).

Bài 7. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được đo bởi công thức G(x) = 0,25x²(30 – x) trong đó x (mg) và x > 0 là lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân. Để huyết áp giảm nhiều nhất thì cần tiêm cho bệnh nhân một liều lượng bằng bao nhiêu?

A. 20;

B. 100;

C. 30;

D. 40.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: G(x) = 0,25x²(30 - x) = $\frac{3}{4}$x² - $\frac{1}{40}$x³

G'(x) = $\frac{3}{2}$x - $\frac{3}{40}$x²

G'(x) = 0 ⇔ $\frac{3}{2}$x - $\frac{3}{40}$x² . Vì x > 0 nên x = 20.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên thì bệnh nhân cần tiêm một lượng thuốc 20 mg.

Bài 8. Hằng ngày mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tại thời điểm t (giờ) (0 ≤ t ≤ 24) trong ngày được xác định bởi công thức h = 2cos($\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}$) + 5. Tìm khoảng thời gian trong ngày mà độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần.

A. (0; 8);

B. (8; 20);

C. (20; 24);

D. (8; 24).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có h(t) = 2cos($\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}$) + 5 $\Rightarrow$ h'(t) = -$\frac{\pi }{6}$sin($\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}$).

h'(t) = 0 ⇔ sin($\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}$) = 0 ⇔ $\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}$ = k$\pi$ ⇔ t = -4 + 12k (k ∈ $\mathbb{Z}$).

Mà 0 ≤ t ≤ 24 nên 0 ≤ -4 + 12k ≤ 24 ⇔ $\frac{1}{3}$ ≤ k ≤ $\frac{7}{3}$ $\Rightarrow$ k ∈ {1; 2}.

Do đó h'(t) = 0 ⇔ t = 8 hoặc t = 20.

$\Rightarrow$ h(t) đồng biến trên khoảng (8; 20) hay trong khoảng từ 8 giờ đến 20 giờ độ sâu của mực nước trong kênh tăng dần.

Bài 9. Khi loại thuốc A được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ mg/l của thuốc trong máu sau x phút được xác định bởi công thức: C(x) = $\frac{30x}{x^2+2}$.

Để đưa ra những lời khuyên và cách xử lí phù hợp cho bệnh nhân, ta cần tìm khoảng thời gian mà nồng độ của thuốc trong máu đang tăng. Em hãy cho biết hàm nồng độ thuốc trong máu C(x) đạt giá trị cực đại là bao nhiêu trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm ?

A. $\frac{90}{19}$;

B. $\frac{15\sqrt{2}}{2}$;

C. $\frac{15}{2}$;

D. $\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số y = C(x) = $\frac{30x}{x^2+2}$ trên khoảng x ∈ (0; 6).

Ta có: y' = $\frac{-30x^2+60}{{(x^2+2)}^2}$.

y' = 0 ⇔$\frac{-30x^2+60}{{(x^2+2)}^2}$ = 0 do x ∈ (0; 6) $\Rightarrow$ x = $\sqrt{2}$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra: nồng độ thuốc trong máu C(x) đạt giá trị cực đại là $\frac{15\sqrt{2}}{2}$ (mg/l)trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm.

Bài 10. Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox. Tọa độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số x(t) = t³ – 6t² + 9t với t ≥ 0. Khi đó x'(t) là vận tốc của chất điểm tại thời điểm t, kí hiệu v(t), v'(t) là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm t. Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?

A. Vận tốc tăng trong khoảng thời gian t ∈ (3; 10) và giảm trong khoảng thời gian t ∈ (1; 3);

B. Vận tốc giảm trong khoảng thời gian t ∈ (2; 10) và tăng trong khoảng thời gian t ∈ (0; 2);

C. Vận tốc tăng trong khoảng thời gian t ∈ (1; 2) và giảm trong khoảng thời gian t ∈ (0; 1);

D. Vận tốc tăng trong khoảng thời gian t ∈ (2; 10) và giảm trong khoảng thời gian t ∈ (0; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có v(t) = x'(t) = 3t² – 12t + 9.

Xét v(t) = 3t² – 12t + 9

$\Rightarrow$ v'(t) = 6t – 12 = 0 ⇔ t = 2.

Bảng biến thiên

Vận tốc tăng trong khoảng thời gian t ∈ (2; 10) và giảm trong khoảng thời gian t ∈ (0; 2).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số
• Một số bài toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu và cực trị
• Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số khi biết đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên
• Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng
• Một số bài toán thực tế ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

---