Các bài toán ứng dụng vectơ trong thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Các bài toán ứng dụng vectơ trong thực tế lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Các bài toán ứng dụng vectơ trong thực tế.

Các bài toán ứng dụng vectơ trong thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Vận dụng linh hoạt kiến thức về vectơ vào giải các bài tập có liên quan đến thực tiễn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho biết A (đơn vị: J) sinh bởi lực $\overrightarrow{F}$ tác dụng lên một vật được tính bằng công thức $A=\overrightarrow{F}.\overrightarrow{d}$ trong đó $\overrightarrow{d}$ là vectơ biểu thị độ dịch chuyển của vật (đơn vị: mét) khi chịu tác dụng của lực $\overrightarrow{F}$. Một chiếc xe có khối lượng 1,5 tấn đang đi xuống trên một đoạn đường dốc có góc nghiêng 5° so với phương ngang. Tính công sinh ra bởi trọng lực $\overrightarrow{P}$ khi xe đi hết đoạn đường dốc dài 30 m, biết rằng trọng lực $\overrightarrow{P}$ được xác định bởi công thức $\overrightarrow{P}=m.\overrightarrow{g}$ với m (đơn vị: kg) là khối lượng của vật và $\overrightarrow{g}$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn g = 9,8 m/s².

Hướng dẫn giải:

Ta có 1,5 tấn = 1500kg.

Độ lớn của trọng lực tác dụng lên xe là $\left|\overrightarrow{P}\right|=m.\left|\overrightarrow{g}\right|=\mathrm{1500.9,8}=14700N$.

Vectơ $\overrightarrow{d}$ biểu thị độ dịch chuyển của xe có độ dài là $\left|\overrightarrow{d}\right|=30m$ và $\left(\overrightarrow{P},\overrightarrow{d}\right)=90°-5°=85°$.

Công sinh ra bởi trọng lực khi xe đi hết đoạn đường dốc là: $A=\overrightarrow{P}.\overrightarrow{d}=\left|\overrightarrow{P}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|.\cos \left(\overrightarrow{P},\overrightarrow{d}\right)$ = $\mathrm{14700.30.}\cos 85°\approx 38436\left(J\right)$.

Ví dụ 2. Một chất điểm chịu tác động bởi 3 lực $\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{F_2};\overrightarrow{F_3}$ có chung điểm đặt A và có giá vuông góc nhau từng đôi một. Biết cường độ của các lực $\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{F_2};\overrightarrow{F_3}$ lần lượt là 10N, 8N và 5N. Xác định hợp lực của 3 lực và tính cường độ của hợp lực (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải:

Tổng hợp lực của 3 lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ là lực $\overrightarrow{F}$ được dựng theo qui tắc hình hộp chữ nhật.

Vậy cường độ tổng hợp lực là $\left|\overrightarrow{F}\right|=\sqrt{{10}^2+8^2+5^2}=3\sqrt{21}\approx 14N$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Theo định luật II Newton: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$, trong đó $\overrightarrow{a}$ là vectơ gia tốc (m/s²), $\overrightarrow{F}$ là vectơ lực (N) tác dụng lên vật, m (kg) là khối lượng của vật. Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5 kg một gia tốc 20 m/s² thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

A. 100 N;

B. 20 N;

C. 25 N;

D. 10 N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}\Rightarrow \left|\overrightarrow{F}\right|=m\left|\overrightarrow{a}\right|=\mathrm{0,5.20}=10N$.

Vậy muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5 kg một gia tốc 20 m/s² thì cần một lực đá có độ lớn là 10 N.

Bài 2. Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5 m (như trong hình dưới đây). Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là 30°. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

1) Với gia tốc rơi tự do $\overrightarrow{g}$ có độ lớn là g = 9,8 (m/s²) thì độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là 245 N;

2) Góc giữa độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ so với trọng lực $\overrightarrow{P}$ là 30°.

3) Công A(J) sinh bởi một lực $\overrightarrow{F}$ có độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ được tính bởi công thức $A=\left|\overrightarrow{F}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|.\cos \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{d}\right)$ thì công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là 428,75 J.

A. 2;

B. 1;

C. 3;

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

+) Với gia tốc rơi tự do $\overrightarrow{g}$ có độ lớn là g = 9,8 (m/s²) thì độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là $\left|\overrightarrow{P}\right|=m\left|\overrightarrow{g}\right|=\mathrm{25.9,8}=245\left(N\right)$.

+) Em nhỏ trượt từ điểm A tới điểm B nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển $\overrightarrow{d}$ so với trọng lực $\overrightarrow{P}$ là $\left(\overrightarrow{d},\overrightarrow{P}\right)=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{P}\right)=60°$.

+) Ta có độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là $\left|\overrightarrow{P}\right|=m\left|\overrightarrow{g}\right|=\mathrm{25.9,8}=245N$ nên công sinh bởi trọng lực $\overrightarrow{P}$ khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là $A=\left|\overrightarrow{P}\right|.\left|\overrightarrow{d}\right|.\cos \left(\overrightarrow{P},\overrightarrow{d}\right)=\mathrm{245.3,5.}\cos 60°=\mathrm{428,75}\left(J\right)$.

Bài 3. Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ lần lượt trên mối dây OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|=15\left(N\right)$. Tính trọng lượng của chiếc đèn tròn đó.

A. $14\sqrt{3}N$;

B. $15\sqrt{3}N$;

C. $17\sqrt{3}N$;

D. $16\sqrt{3}N$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi A₁,B₁, C₁ lần lượt là các điểm sao cho $\overrightarrow{O{A}_1}=\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{O{B}_1}=\overrightarrow{F_2};\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{F_3}$.

Lấy các điểm D₁, A'₁,B'₁,D'₁ sao cho OA₁D₁B₁.C₁A'₁D'₁B'₁ là hình hộp (như hình vẽ).

Khi đó, áp dụng quy tắc hình hộp ta có $\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{B}_1}+\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{O{D^{\text{'}}}_1}$.

Mặt khác, do các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ đôi một vuông góc và $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|=15\left(N\right)$ nên hình hộp OA₁D₁B₁.C₁A'₁D'₁B'₁ có ba cạnh OA₁;OB₁; OC₁ đôi một vuông góc và bằng nhau.

Vì thế hình hộp là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15. Suy ra độ dài đường chéo OD'₁ của hình lập phương đó là $15\sqrt{3}$.

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{P}$, ở đó $\overrightarrow{P}$ là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Suy ra trọng lượng của chiếc đèn là $\left|\overrightarrow{P}\right|=\left|\overrightarrow{O{D^{\text{'}}}_1}\right|=15\sqrt{3}\left(N\right)$.

Bài 4. Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng m = 5 kg được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có $\widehat{ASC}=60°$. Tìm độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích, lấy g = 10 m/s².

A. $\frac{15\sqrt{3}}{3}N$;

B. $\frac{20\sqrt{3}}{3}N$;

C. $\frac{25\sqrt{3}}{3}N$;

D. $\frac{30\sqrt{3}}{3}N$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ nên $\left|\overrightarrow{P}\right|=m\left|\overrightarrow{g}\right|=5.10=50$ (N).

Vậy độ lớn của trọng lực $\overrightarrow{P}$ tác động lên chiếc đèn chùm là 50 N.

Gọi O là trọng tâm của chiếc đèn chùm cũng là chân đường cao hình chóp đều S.ABCD.

Vẽ $\overrightarrow{OP}$ biểu diễn trọng lực tác động lên đèn chùm với OP ⊥ (ABCD).

Khi đó lực căng mỗi sợi xích sẽ là $\overrightarrow{AS},\overrightarrow{BS},\overrightarrow{CS},\overrightarrow{DS}$.

Chiếc đèn chùm đứng yên nên $\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{BS}+\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{DS}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{0}$.

Suy ra $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}=4\overrightarrow{SO}$ => $SO=\frac{1}{4}OP=\frac{50}{4}=\frac{25}{2}$.

Tam giác SAC cân tại S có $\cos OSA=\frac{SO}{SA}$.

Suy ra lực căng của mỗi sợi dây xích là $SA=\frac{SO}{\cos 30°}=\frac{\frac{25}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{25\sqrt{3}}{3}N$.

Bài 5. Nếu một vật có khối lượng m (kg) thì lực hấp dẫn $\overrightarrow{P}$ của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$, trong đó $\overrightarrow{g}$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn g = 9,8 m/s². Tính độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên một quả táo có khối lượng 105 gam.

A. 1,029 N;

B. 1,433 N;

C. 2,096 N;

D. 1,477 N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đổi 105 g = 0,105 kg.

Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên quả táo là:

$\left|\overrightarrow{P}\right|=m\left|\overrightarrow{g}\right|=\mathrm{0,105.9,8}=\mathrm{1,029}N$.

Bài 6. Người ta treo một bóng đèn có khối lượng m = $\sqrt{3}$ kg bằng cách luồn sợi dây qua một cái móc của đèn và hai đầu dây được gắn chặt trên trần nhà. Hai nửa sợi dây có chiều dài bằng nhau và hợp với nhau một góc bằng 60°. Lực căng của mỗi nửa sợi dây là bao nhiêu? (Lấy g = 10 m/s²).

A. 10 N;

B. 5 N;

C. 20 N;

D. $10\sqrt{2}$N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ nên $P=\left|\overrightarrow{P}\right|=m.\left|\overrightarrow{g}\right|=10\sqrt{3}\left(N\right)$.

Bóng đèn ở vị trí cân bằng nên $\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}=\overrightarrow{0}$ hay $\overrightarrow{P}=-\overrightarrow{T^{\text{'}}}$ với $\overrightarrow{T_1}+\overrightarrow{T_2}=\overrightarrow{T^{\text{'}}}$.

Suy ra $T^{\text{'}}=P=10\sqrt{3}\left(N\right)$.

Khi đó ${\left|\overrightarrow{T^{\text{'}}}\right|}^2={\left|\overrightarrow{T_1}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{T_2}\right|}^2+2\left|\overrightarrow{T_1}\right|\left|\overrightarrow{T_2}\right|.\cos \left(\overrightarrow{T_1},\overrightarrow{T_2}\right)$ mà $\left|\overrightarrow{T_1}\right|=\left|\overrightarrow{T_2}\right|$ và $\left(\overrightarrow{T_1},\overrightarrow{T_2}\right)=60°$.

=> ${\left|\overrightarrow{T^{\text{'}}}\right|}^2=2{\left|\overrightarrow{T_1}\right|}^2+2{\left|\overrightarrow{T_1}\right|}^2.\cos 60°=3{\left|\overrightarrow{T_1}\right|}^2$.

=> $\left|\overrightarrow{T_1}\right|=\sqrt{\frac{1}{3}{\left|\overrightarrow{T^{\text{'}}}\right|}^2}=\sqrt{\frac{1}{3}.{\left(10\sqrt{3}\right)}^2}=10\left(N\right)=\left|\overrightarrow{T_2}\right|$.

Bài 7. Để kéo một khúc gỗ trượt trên mặt phẳng sân từ vị trí này đến vị trí khác theo đường thẳng, hai bạn Sơn và Minh gắn hai sợi dây thừng vào vị trí A của khúc gỗ và kéo với hai lực lần lượt là $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ cùng nằm trong mặt phẳng chứa điểm A và song song với mặt phẳng sân (quan sát hình mô tả). Tính độ lớn lực tổng hợp từ hai lực của Sơn và Minh tác động vào vị trí A để di chuyển khúc gỗ, biết góc tạo bởi sợi dây thừng của hai bạn so với phương chuyển động của khúc gỗ lần lượt là 30° và 20°, độ lớn lực kéo của Sơn và Minh lần lượt là 50 N và 40 N (kết quả được làm tròn đến phần chục).

A.  N;

B. 81,7 N;

C.  N;

D.  N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mô hình hóa lại bài toán đã cho ta được:

Ta có AD² = AB² + BD² - 2AB.BD.cos130° = 50² + 40² - 2.50.40.cos130°

=> AD ≈ 81,7.

Vậy tổng lực của Sơn và Minh tác động làm di chuyển khúc gỗ là $\left|\overrightarrow{F}\right|\approx \mathrm{81,7}$N.

Bài 8. Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc 100° và có độ lớn lần lượt là 25 N và 12 N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tọa bởi hai lực đã cho và có độ lớn 4 N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên (làm tròn đến hàng đơn vị).

A.  27N;

B. 26 N;

C.  680 N;

D.  681 N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O lần lượt có độ lớn là 25 N, 12 N, 4 N.

Vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{F_3}$.

Dựng hình bình hành OADB và hình bình hành ODEC.

Hợp lực tác động vào vật là $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác OBD ta có:

$O{D}^2=B{D}^2+O{B}^2-2BD.OB.\cos OBD$ = $O{A}^2+O{B}^2+2OA.OB.\cos 100°$.

Vì OC ⊥ (OADB) nên OC ⊥ OD suy ra ODEC là hình chữ nhật.

Do đó tam giác ODE vuông tại D.

Ta có $O{E}^2=O{C}^2+O{D}^2=O{C}^2+O{A}^2+O{B}^2+2.OA.OB.\cos 100°$.

Suy ra $OE=\sqrt{O{C}^2+O{A}^2+O{B}^2+2.OA.OB.\cos 100°}$

OE = $\sqrt{4^2+{25}^2+{12}^2+\mathrm{2.25.12.}\cos 100°}\approx \mathrm{26,092}$.

Vậy độ lớn của hợp lực là F = OE = 26N.

Bài 9. Một vật có khối lượng m (kg) thì lực hấp dẫn $\overrightarrow{P}$ của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức $\overrightarrow{P}=m.\overrightarrow{g}$, trong đó $\overrightarrow{g}$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn g = 9,8 m/s². Tính khối lượng của vật khi chịu tác dụng của lực hấp dẫn của Trái Đất là P = 4,9 N.

A.  0,5 kg;

B. 5 kg;

C.  500 kg;

D.  10 kg.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Khối lượng của vật là $m=\frac{P}{g}=\frac{\mathrm{4,9}}{\mathrm{9,8}}=\mathrm{0,5}\left(kg\right)$.

Bài 10. Theo định luật II Newton: Nếu $\overrightarrow{F}$ là vectơ lực (N) tác dụng lên vật, $\overrightarrow{a}$ là vectơ gia tốc của vật (m/s²) và m (kg) là khối lượng của vật thì ta có $\overrightarrow{F}=m.\overrightarrow{a}$. Chọn câu sai.

A. Vectơ $\overrightarrow{F}$ luôn cùng hướng với $\overrightarrow{a}$;

B. Độ lớn của lực tác dụng lên vật luôn tỷ lệ nghịch với độ lớn của gia tốc của vật;

C. Muốn một vật có khối lượng 1 (kg) chuyển động với gia tốc 20 (m/s²) thì độ lớn lực cần tác dụng lên vật là 20 (N);

D. Trọng lực có độ lớn 50 (N) tác dụng lên một vật làm vật rơi với gia tốc tự do 10 (m/s²). Khi đó khối lượng của vật là 5 kg.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có m > 0 nên $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{a}$ cùng hướng.

Ta có $\overrightarrow{F}=m.\overrightarrow{a}\Rightarrow \left|\overrightarrow{F}\right|=m.\left|\overrightarrow{a}\right|$. Suy ra $\left|\overrightarrow{F}\right|$ và $\left|\overrightarrow{a}\right|$ tỷ lệ thuận với nhau.

Ta có m = 1kg; $\left|\overrightarrow{a}\right|=20\left(m/s^2\right)$ => $\left|\overrightarrow{F}\right|=m.\left|\overrightarrow{a}\right|=1.20=20\left(N\right)$.

Ta có $\left|\overrightarrow{F}\right|=m.\left|\overrightarrow{a}\right|\Rightarrow m=\frac{\left|\overrightarrow{F}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{50}{10}$ = 5kg.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Xác định tọa độ điểm, tọa độ vectơ
• Vận dụng tọa độ của vectơ để giải các bài toán thực tế
• Xác định tọa độ các phép toán vectơ, tọa độ điểm, độ dài đoạn thẳng
• Tích vô hướng và ứng dụng
• Vận dụng tọa độ của vectơ để giải các bài toán thực tế

---