Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để tìm điểm cực trị của hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để tìm điểm cực trị của hàm số lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để tìm điểm cực trị của hàm số.

Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để tìm điểm cực trị của hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (a có thể là −∞, b có thể là +∞) và điểm x₀ ∈ (a; b).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) $\subset$ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x₀.

- Nếu tồn tại h > 0 sao cho f(x) > f(x₀) với mọi x ∈ (x₀ – h; x₀ + h) $\subset$ (a; b) và x ≠ x₀ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x₀.

• Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và (x₀; b). Khi đó

✔ Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) > 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

✔ Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

• Các bước tìm điểm cực trị của hàm số f(x)

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f(x):

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f'(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 4.Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số y = f(x) có đồ thị được cho ở Hình.

Hướng dẫn giải:

Hàm số y = f(x) có:

+) x = 1 là điểm cực đại vì f(x) < f(1) với mọi x ∈ (0; 2)\{1}, y_CĐ = f(1) = 5.

+) x = 6 là điểm cực đại vì f(x) < f(6) với mọi x ∈ (5; 7)\{6}, y_CĐ = f(6) = 6.

+) x = 4 là điểm cực tiểu vì f(x) > f(4) với mọi x ∈ (3; 5)\{4}, y_CT = f(4) = 1.

Ví dụ 2.Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như sau:

Xác định các cực trị của hàm số y =f(x).

Hướng dẫn giải:

Ta có f'(x) > 0 với mọi x ∈ (−∞; 0) và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (0; 1) nên hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ= f(0) = 2.

Ta có f'(x) < 0 với mọi x ∈ (0; 1) và f'(x) > 0 với mọi x ∈ (1; +∞) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y_CT = f(1) = −3.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

A. −1;

B. 5;

C. −3;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: f'(x) đổi dấu từ (-) sang (+) khi đi qua nghiệm x = −1 nên hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = −1.

Vậy hàm số đã cho có giá trị cực tiểu là y = −3.

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

A. 3;

B. −1;

C. −5;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng 3 tại x = −1.

Bài 3. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. x = −2;

B. x = 2;

C. x = 1;

D. x = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số đạt cực đại tại điểm mà đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm.

Từ bảng biến thiên hàm số đạt cực đại tại x = −1.

Bài 4. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số y = f(x) có điểm cực tiểu là

A. (0; 2);

B. (3; −4);

C. x_CT = 3;

D. y_CT = −4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số y = f(x) có điểm cực tiểu là (3; −4).

Bài 5. Tìm giá trị cực tiểu y_CT của hàm số y = −x³ + 3x – 4.

A. y_CT = −6;

B. y_CT = −1;

C. y_CT = −2;

D. y_CT = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: D = ℝ; y' = −3x² + 3; y' = 0 ⇔ x = ±1.

Bảng biến thiên

Vậy y_CĐ = y(1) = −2; y_CT = y(−1) = −6.

Bài 6. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới.

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ là

A. (1; 3);

B. (3; 1);

C. (−1; −1);

D. (1; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị hàm số bậc ba y = f(x), ta có điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là (−1; −1).

Bài 7. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [−2; 2] và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm

A. x = 1;

B. x = −2;

C. x = 2;

D. x = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số ta có hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x = −1.

Bài 8. Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c có đồ thị như hình vẽ

Điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. x = 0;

B. x = −1;

C. x = 1;

D. x = −2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra điểm cực đại của hàm số là x = 0.

Bài 9. Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình bên dưới

Hàm số có giá trị cực đại bằng

A. 1;

B. 2;

C. −1;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có giá trị cực đại bằng 3.

Bài 10. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x + 1)(x − 4)³, ∀x ∈ ℝ. Số điểm cực đại của hàm số đã cho là

A. 3;

B. 4;

C. 2;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có f'(x) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −1 hoặc x = 4 .

Lập bảng biến thiên của hàm số f(x)

Vậy hàm số đã cho có một điểm cực đại.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm cực trị của hàm số f(x)
• Một số bài toán thực tế ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số
• Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số
• Một số bài toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu và cực trị
• Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số khi biết đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên

---