Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm cực trị của hàm số f(x) lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm cực trị của hàm số f(x) lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm cực trị của hàm số f(x).

Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm cực trị của hàm số f(x) lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và (x₀; b). Khi đó

✔ Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) > 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

✔Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ:

Hàm số y = f(x) có mấy cực đại.

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị hàm số y = f'(x) ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số có 2 cực đại và 2 cực tiểu.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm f'(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ

Tìm điểm cực đại của hàm số y = f(x).

Hướng dẫn giải:

Từ đồ thị của hàm số y = f'(x), ta suy ra bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên.

Tìm số điểm cực trị của hàm số y = f(x).

A. 3;

B. 1;

C. 0;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), ta thấy hàm số y = f(x) có 1 điểm cực trị.

Bài 2. Cho hàm số f(x) xác định trên ℝ và có đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ bên.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. f(x) đạt cực tiểu tại x = 0;

B. f(x) đạt cực tiểu tại x = −2;

C. f(x) đạt cực đại tại x = −2;

D. Giá trị cực tiểu của f(x) nhỏ hơn giá trị cực đại của f(x).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta có: f(x) đạt cực tiểu tại x = 0, f(x) đạt cực đại tại x = −2.

Bài 3. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên ℝ và có đồ thị của đạo hàm y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực đại của đồ thị hàm số y = f(x).

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đồ thị hàm số y = f'(x) giao với trục hoành tại 4 điểm x₁; x₂; x₃; x₄ .

Nhận thấy f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x₁ và x₃ nên hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x₁ và x₃.

Và f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x₂ nên hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x₂.

f'(x) không đổi dấu khi đi qua x₄ nên x₄ không là điểm cực trị của hàm số.

Vậy hàm số y = f(x) có một điểm cực đại.

Bài 4. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên ℝ và có đạo hàm y = f'(x). Biết rằng hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ.

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x) là

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đồ thị hàm số f'(x) cắt trục hoành tại 3 điểm nên có ba điểm cực trị.

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f'(x) là đường cong trong hình bên.

A. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 2;

B. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 0;

C. Hàm số y = f(x) có 3 cực trị;

D. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = $\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Giá trị của hàm số y = f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x = 2. Do đó hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 2.

Bài 6. Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.

Chọn đáp án đúng.

A. Trên K, hàm số y = f(x) có ba điểm cực trị.

B. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x₃.

C. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x₂.

D. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x₁.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị của hàm số y = f'(x), ta có bảng xét dấu:

Như vậy: trên K, hàm số y = f(x) có điểm cực đại là x₁ và điểm cực tiểu là x₂, x₃ không phải là điểm cực trị của hàm số.

Bài 7. Cho hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên dưới.

Chọn khẳng định sai?

A. Hàm số y = f(x) có 2 cực trị;

B. $f\left(\frac{1}{2}\right)<f\left(\frac{-1}{2}\right)$;

C. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 1) ;

D. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (−∞; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

+) Đồ thị hàm số f'(x) cắt trục hoành tại 2 điểm nên hàm số y = f(x) có 2 điểm cực trị.

+) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 1) nên $f\left(\frac{1}{2}\right)<f\left(\frac{-1}{2}\right)$.

+) Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (−∞; −1).

Bài 8. Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức có đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ

Hàm số y = f(x) có mấy cực trị ?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có giá trị f’(x) đổi dấu 3 lần qua x = a; x = c; x = d nên hàm số y = f(x) có ba cực trị.

Bài 9. Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm f'(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ

Điểm cực đại của hàm số là:

A. x = 4;

B. x = 3;

C. x = 1;

D. x = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị hàm số y = f'(x), ta suy ra bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2.

Bài 10. Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ và có đồ thị hàm số y = f'(x) là đường cong ở hình bên. Hỏi hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6;

B. 5;

C. 4;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x) ta thấy phương trình f'(x) = 0 có 4 nghiệm nhưng giá trị f'(x) chỉ đổi dấu 3 lần. Vậy hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Một số bài toán thực tế ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số
• Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số
• Một số bài toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu và cực trị
• Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số khi biết đồ thị hàm số hoặc bảng biến thiên
• Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn hay nửa khoảng

---