Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số.

Sử dụng dấu của đạo hàm để tìm điểm cực trị của hàm số lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và (x₀; b). Khi đó

⮚ Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) > 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

⮚ Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và f'(x) < 0 với mọi x ∈ (x₀; b) thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị.

Hướng dẫn giải:

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy đạo hàm đổi dấu qua các điểm -3; -2; 3; 5 .

Vậy hàm số có 4 điểm cực trị.

Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của f'(x) như hình vẽ

Tìm điểm cực đại của hàm số.

Hướng dẫn giải:

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số đạt cực đại tại x = −1.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số là

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng xét dấu, ta có hàm số có 3 điểm cực trị.

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu f'(x) như sau:

Kết luận nào sau đây đúng

A. Hàm số có 4 điểm cực trị;

B. Hàm số có 2 điểm cực đại;

C. Hàm số có 1 điểm cực trị;

D. Hàm số có 2 điểm cực tiểu.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số có hai điểm cực tiểu.

Bài 3. Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3;

B. 2;

C. 0;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Tập xác định D = ℝ\{−1}.

Có y' = $\frac{-1}{{(x+1)}^2}$ < 0, ∀x $\ne$ -1.

Khi đó hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

Vậy hàm số đã cho không có cực trị.

Bài 4. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có f'(x) = (x – 1)²(x² – 5x + 6). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A. 5;

B. 3;

C. 2;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có f'(x) = (x – 1)²(x² – 5x + 6) = (x – 1)²(x −2)(x − 3).

Do f'(x) = 0 có 1 nghiệm kép x = 1 và hai nghiệm đơn x = 2, x = 3 nên f'(x) đổi dấu hai lần khi qua x = 2 và x = 3. Do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Bài 5. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x – 1, ∀x ∈ ℝ . Hỏi f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có f'(x) = 0 ⇔ x = 1, suy ra f'(x) đổi dấu một lần khi x đi qua giá trị x = 1 nên hàm số f(x) có 1 điểm cực trị.

Bài 6. Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như hình bên. Số điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) là

A. 3;

B. 4;

C. 2;

D. 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = −3 và x = 3 nên số điểm cực tiểu của hàm số là 2.

Bài 7. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ.

Hàm số y = f(x) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Từ bảng xét dấu ta suy ra hàm số đã cho có 4 điểm cực trị.

Bài 8. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (1 - x)²(x + 1)³(3 – x), ∀x ∈ ℝ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (−∞; 1);

B. (−∞; −1);

C. (−1; 3);

D. (3; +∞).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: f'(x) = 0 ⇔ (1 - x)²(x + 1)³(3 – x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −1 hoặc x = 3.

Bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 3).

Bài 9. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số đã cho.

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ.

Dựa vào bảng xét dấu của f'(x) ta thấy f'(x) đổi dấu 2 lần.

Vậy số điểm cực trị của hàm số là 2.

Bài 10. Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?

A. y = −x³ + x;

B. y = x⁴;

C. y = $\frac{2x-1}{x+1}$;

D. y = |x|.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số y = $\frac{2x-1}{x+1}$ có y' = $\frac{3}{{(x+1)}^2}$ > 0, ∀x $\ne$ 1 nên không có cực trị.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Sử dụng bảng biến thiên, đồ thị hàm số để tìm điểm cực trị của hàm số
• Sử dụng đồ thị của hàm số f'(x) để tìm cực trị của hàm số f(x)
• Một số bài toán thực tế ứng dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số
• Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị có chứa tham số
• Một số bài toán hàm hợp liên quan đến tính đơn điệu và cực trị

---