Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Toán lớp 12



Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D

Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Kí hiệu: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Kí hiệu: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm các nghiệm của f'(x) và các điểm f'(x)trên K.

Bước 3. Lập bảng biến thiên của f(x) trên K.

Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

3. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên

Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈[a; b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a; b] làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3.Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi).

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a; b)

Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ (a; b) làm cho f'(x) không xác định.

Bước 3. Tính Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 2 trên đoạn [-2; 2].

Hướng dẫn

Ta có: y' = 3x2 - 6x - 9 = 0 ⇔Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Mà y(-2) = 0; y(2) = -20; y(-1) = 7.

Suy ra Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn

Tập xác định: D = [-2; 2]. Ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó y' = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Có y(√2) = 2√2, y(2) = 2 ,y(-2) = -2.

Vậy Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - sin⁡2x trên đoạn [π/2; π]

Hướng dẫn

Ta có y' = 1 - 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = 1/2 = cos π/3 ⇔ x = ±π/6 + kπ.

Xét x ∈[(-π)/2; π] ta được x = ±π/6; x = 5π/6.

f((-π)/2) = -π/2; f(π) = π; f((-π)/6) = -π/6 + √3/2; f(π/6) = π/6 - √3/2; f(5π/6) = 5π/6 + √3/2.

Suy ra Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên đoạn [-4; 4]

Hàm số f(x) liên tục trên [-4; 4]

Ta có f'(x) = 3x2 - 6x - 9; f'(x) = 0 ⇔Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

f(-4) = -41; f(-1) = 40; f(3) = 8;f(4) = 15.

Do đó Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án trên [0; 2]

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [0; 2].

Ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tính y(0) = 1/3; y(2) = -5.

Suy ra Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Câu 3: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án trên đoạn [2; 4]. Tìm m.

Hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án liên tục trên đoạn [2;4].

Ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tính y'(2) = 7; y'(4) = 19/3; y'(3) = 6.

Suy ra m = 6.

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án trên đoạn [-1; 6]

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [-1; 6].

Ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

y' = 0 ⇔ x = 5/2 ∈[-1; 6].

y(-1) = y(6) = 0, y(5/2) = 7/2.

Vậy Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Câu 5: Tìm tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = |x| + 3 trên [-1; 1]

Ta có Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ántrên đoạn [0; 3]

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [0; 3].

Ta có: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

y' = 0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tính y(1) = -5√5; y(0) = -12; y(2) = -8√2; y(3) = -3√13.

Suy ra Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2 x + 2sinx - 1 bằng

TXĐ: D = R . Đặt t = sinx, -1 ≤ t ≤ 1. Khi đó y = f(t) = 2t2 + 2t - 1

Ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(t) trên đoạn [-1; 1]. Đó cũng là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R.

Ta có: f'(t) = 4t + 2; f'(t) = 0 ⇔ t = -1/2 ∈(-1; 1); f(-1) = -1; f(-1/2) = -3/2; f(1) = 3

Do đó Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Câu 8: Cho hàm số Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Tìm M và m.

Đặt t = sinx, -1 ≤ t ≤ 1 ⇒ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


gia-tri-lon-nhat-gia-tri-nho-nhat-cua-ham-so.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác