Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước (cực hay, có lời giải)

Bài viết Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước.

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước (cực hay, có lời giải)

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Lý thuyết cần nhớ: Cho hàm số y = f(x,m) có tập xác định D, khoảng (a;b)⊂D:

Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ (a;b)

Hàm số đồng biến trên (a;b) ⇔ y' ≥ 0, ∀ x ∈ (a;b)

Ghi nhớ: f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K.

Chú ý: Riêng hàm số thì:

Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ y' < 0, ∀ x ∈ (a;b)

Hàm số đồng biến trên (a;b) ⇔ y' > 0, ∀ x ∈ (a;b)

Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a;b):

Bước 1: Đưa bất phương trình f'(x) ≥ 0 (hoặcf'(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a;b) về dạng g(x) ≥ h(m) (hoặc g(x) ≤ h(m)), ∀ x ∈ (a;b).

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên (a;b).

Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.

Dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức g(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Nếu hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên tập D, thế thì: .

Nếu hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên tập D, thế thì: .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hàm số y = x³ + 3x² + mx + m đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là:

A. m ≤ 1

B. m ≥ 3

C. -1 ≤ m ≤ 3

D. m < 3

Lời giải

Chọn B

Tập xác định D = R

Tính đạo hàm y' = 3x² + 6x + m

Để hàm số đồng biến trên R ⇔ y' ≥ 0 ⇔ 3x² + 6x + m ≥ 0 với mọi x ∈ R (*)

⇔ Δ' ≤ 0 ⇔ 9 - 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị m để hàm số y = mx³ - x² + 3x + m - 2 đồng biến trên (-3;0) là

Lời giải

Chọn A

TXĐ: D = R

Ta có y' = 3mx² - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;0) khi và chỉ khi:

y' ≥ 0, ∀ x ∈ (-3;0) (Dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3;0))

Ví dụ 3: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải

Chọn C

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

y' > 0; ∀ x ∈ D ⇔ -m² - m + 2 > 0 ⇔ -2 < m < 1

C. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đồng biến trên R.

Lời giải:

Chọn A

TXĐ: D = R

Để hàm số y = f(x) đồng biến trên R ⇔ y' ≥ 0 với mọi x ∈ R

Bài 2: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đồng biến trên R.

Lời giải:

Chọn C

TXĐ: D = R

Ta có: y' = x² + 2mx + 4

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y' ≥ 0, ∀ x ∈ R.

⇔ Δ' = m²-4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2.

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên (1;+∞)

A. m > 2.

B. m ≤ 2.

C. m < 1.

D. m ≥ 1.

Lời giải:

Chọn D

TXĐ: D = R

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞) ⇔ y' ≥ 0; ∀ x ∈ (1;+∞)

Ta có y' = x² + 2(m - 1)x + 2m - 3 = (x + 1)(x + 2m - 3) ≥ 0; ∀ x ∈ (1;+∞)

Do x > 1 nên (x + 1) > 0, nên (x + 2m - 3) ≥ 0 với mọi x > 1.

2m - 3 ≥ -x; ∀ x > 1 ⇔ 2m - 3 ≥ -1 ⇔ m ≥ 1.

Bài 4: Cho hàm số . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên R.

Lời giải:

Chọn C

TXĐ: D = R

Ta có y' = -x² + 2mx + 3m + 2.

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi y' ≤ 0, ∀ x ∈ R

Bài 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = -x⁴ + (2m - 3)x² + m nghịch biến trên khoảng (1;2) là tối giản và q > 0. Hỏi tổng p + q là?

A. 5.

B. 9.

C. 7.

D. 3.

Lời giải:

Chọn C

Tập xác định D = R.

Ta có y' = -4x³ + 2(2m - 3)x.

Hàm số nghịch biến trên (1;2) ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ (1;2).

⇔ -4x³ + 2(2m - 3)x ≤ 0, ∀ x ∈ (1;2) ⇔ -4x² + 4m - 6 ≤ 0, ∀ x ∈ (1;2) (do x > 0)

Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1;2). g'(x) = 2x = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên

Vậy p + q = 5 + 2 = 7.

Bài 6: Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

A. 1 < m < 2.

B. 1 ≤ m ≤ 2.

C. m ≥ 2 hoặc m ≤ 1.

D. m > 2 hoặc m < 1.

Lời giải:

Chọn A

Bài 7: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)

Lời giải:

Chọn D

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng

Lời giải:

Chọn A

Do tan⁡x là hàm đồng biến trên khoảng nên ycbt ⇔ hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)

Bài 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên (-1;1).

Lời giải:

Chọn C

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi hàm số đồng biến trên khoảng

Bài 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = (m - 3)x - (2m + 1)cos⁡x luôn nghịch biến trên R?

Lời giải:

Chọn A

Tập xác định: D = R.

Ta có: y' = m - 3 + (2m + 1)sin⁡x

Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ (2m + 1)sin⁡x ≤ 3-m, ∀ x ∈ R

Trường hợp 1: . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R.

Trường hợp 2:

Trường hợp 3:

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = $\frac{\left(m+1\right)x^2-2mx+6m}{x-1}$. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Bài 2. Tìm m để hàm số y = x³ + 3x² + (m – 1)x + 4m nghịch biến trên khoảng (-1; 1).

Bài 3. Tìm m để hàm số y = x³ + (1 – 2m)x² + (2 – m)x + m + 2 đồng biến trên khoảng (0;+∞).

Bài 4. Tìm m để hàm số y = $\frac{mx+4}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).

Bài 5. Tìm m để hàm số y = $\frac{m{x}^2+6x-2}{x+2}$ nghịch biến trên nửa khoảng [1; +∞].

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:

• Cách xét tính đơn điệu của hàm số mũ (cực hay, có lời giải)
• Cách xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức (cực hay, có lời giải)
• Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước (cực hay, có lời giải)
• Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (cực hay, có lời giải)
• Cách tìm cực trị của hàm trùng phương (cực hay, có lời giải)
• Cách tìm cực trị của hàm bậc ba (cực hay, có lời giải)

---