Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước (cực hay, có lời giải)

Bài viết Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước.

Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước (cực hay, có lời giải)

Bài giảng: Cách xét tính đơn điệu của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Lý thuyết cần nhớ: Cho hàm số y = f(x,m) có tập xác định D, khoảng (a;b)⊂D:

Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ (a;b)

Hàm số đồng biến trên (a;b) ⇔ y' ≥ 0, ∀ x ∈ (a;b)

Ghi nhớ: f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K.

Chú ý: Riêng hàm số thì:

Hàm số nghịch biến trên (a;b) ⇔ y' < 0, ∀ x ∈ (a;b)

Hàm số đồng biến trên (a;b) ⇔ y' > 0, ∀ x ∈ (a;b)

Nếu gặp bài toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a;b):

Bước 1: Đưa bất phương trình f'(x) ≥ 0 (hoặcf'(x) ≤ 0), ∀ x ∈ (a;b) về dạng g(x) ≥ h(m) (hoặc g(x) ≤ h(m)), ∀ x ∈ (a;b).

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên (a;b).

Bước 3: Từ bảng biến thiên và các điều kiện thích hợp ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.

Dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức g(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0)

Nếu hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên tập D, thế thì: .

Nếu hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên tập D, thế thì: .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Hàm số y = x³ + 3x² + mx + m đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là:

A. m ≤ 1

B. m ≥ 3

C. -1 ≤ m ≤ 3

D. m < 3

Lời giải

Chọn B

Tập xác định D = R

Tính đạo hàm y' = 3x² + 6x + m

Để hàm số đồng biến trên R ⇔ y' ≥ 0 ⇔ 3x² + 6x + m ≥ 0 với mọi x ∈ R (*)

⇔ Δ' ≤ 0 ⇔ 9 - 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3

Ví dụ 2: Tập hợp các giá trị m để hàm số y = mx³ - x² + 3x + m - 2 đồng biến trên (-3;0) là

Lời giải

Chọn A

TXĐ: D = R

Ta có y' = 3mx² - 2x + 3. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;0) khi và chỉ khi:

y' ≥ 0, ∀ x ∈ (-3;0) (Dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm trên (-3;0))

Ví dụ 3: Tìm tất cả giá trị của m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Lời giải

Chọn C

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi

y' > 0; ∀ x ∈ D ⇔ -m² - m + 2 > 0 ⇔ -2 < m < 1

C. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đồng biến trên R.

Lời giải:

Chọn A

TXĐ: D = R

Để hàm số y = f(x) đồng biến trên R ⇔ y' ≥ 0 với mọi x ∈ R

Bài 2: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số đồng biến trên R.

Lời giải:

Chọn C

TXĐ: D = R

Ta có: y' = x² + 2mx + 4

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi y' ≥ 0, ∀ x ∈ R.

⇔ Δ' = m²-4 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ m ≤ 2.

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên (1;+∞)

A. m > 2.

B. m ≤ 2.

C. m < 1.

D. m ≥ 1.

Lời giải:

Chọn D

TXĐ: D = R

Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞) ⇔ y' ≥ 0; ∀ x ∈ (1;+∞)

Ta có y' = x² + 2(m - 1)x + 2m - 3 = (x + 1)(x + 2m - 3) ≥ 0; ∀ x ∈ (1;+∞)

Do x > 1 nên (x + 1) > 0, nên (x + 2m - 3) ≥ 0 với mọi x > 1.

2m - 3 ≥ -x; ∀ x > 1 ⇔ 2m - 3 ≥ -1 ⇔ m ≥ 1.

Bài 4: Cho hàm số . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên R.

Lời giải:

Chọn C

TXĐ: D = R

Ta có y' = -x² + 2mx + 3m + 2.

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi y' ≤ 0, ∀ x ∈ R

Bài 5: Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = -x⁴ + (2m - 3)x² + m nghịch biến trên khoảng (1;2) là tối giản và q > 0. Hỏi tổng p + q là?

A. 5.

B. 9.

C. 7.

D. 3.

Lời giải:

Chọn C

Tập xác định D = R.

Ta có y' = -4x³ + 2(2m - 3)x.

Hàm số nghịch biến trên (1;2) ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ (1;2).

⇔ -4x³ + 2(2m - 3)x ≤ 0, ∀ x ∈ (1;2) ⇔ -4x² + 4m - 6 ≤ 0, ∀ x ∈ (1;2) (do x > 0)

Lập bảng biến thiên của g(x) trên (1;2). g'(x) = 2x = 0 ⇔ x = 0

Bảng biến thiên

Vậy p + q = 5 + 2 = 7.

Bài 6: Tìm m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

A. 1 < m < 2.

B. 1 ≤ m ≤ 2.

C. m ≥ 2 hoặc m ≤ 1.

D. m > 2 hoặc m < 1.

Lời giải:

Chọn A

Bài 7: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞)

Lời giải:

Chọn D

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng

Lời giải:

Chọn A

Do tan⁡x là hàm đồng biến trên khoảng nên ycbt ⇔ hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)

Bài 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số nghịch biến trên (-1;1).

Lời giải:

Chọn C

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;1) khi hàm số đồng biến trên khoảng

Bài 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = (m - 3)x - (2m + 1)cos⁡x luôn nghịch biến trên R?

Lời giải:

Chọn A

Tập xác định: D = R.

Ta có: y' = m - 3 + (2m + 1)sin⁡x

Hàm số nghịch biến trên R ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ (2m + 1)sin⁡x ≤ 3-m, ∀ x ∈ R

Trường hợp 1: . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên R.

Trường hợp 2:

Trường hợp 3:

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số y = $\frac{\left(m+1\right)x^2-2mx+6m}{x-1}$. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Bài 2. Tìm m để hàm số y = x³ + 3x² + (m – 1)x + 4m nghịch biến trên khoảng (-1; 1).

Bài 3. Tìm m để hàm số y = x³ + (1 – 2m)x² + (2 – m)x + m + 2 đồng biến trên khoảng (0;+∞).

Bài 4. Tìm m để hàm số y = $\frac{mx+4}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng (-∞; -1).

Bài 5. Tìm m để hàm số y = $\frac{m{x}^2+6x-2}{x+2}$ nghịch biến trên nửa khoảng [1; +∞].

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Cách xét tính đơn điệu của hàm số mũ (cực hay, có lời giải)
• Cách xét tính đơn điệu của hàm số chứa căn thức (cực hay, có lời giải)
• Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước (cực hay, có lời giải)
• Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (cực hay, có lời giải)
• Cách tìm cực trị của hàm trùng phương (cực hay, có lời giải)
• Cách tìm cực trị của hàm bậc ba (cực hay, có lời giải)

---