Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M

=> Tọa độ của M( ..) ( theo tham số t; dựa vào phương trình đường thẳng d) .

=> Đường thẳng Δ nhận vecto ( ....) làm vecto chỉ phương.

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→

+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( P) nên ta có:

n→ .u→ = 0 => Phương trình ẩn t

=> t=...=> tọa độ điểm M

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 2; -1 ) và đường thẳng . Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt d và song song với mặt phẳng (Q): x+ y- z+ 3= 0 là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và Δ là B .

Do B thuộc d nên B( 3+ t; 3+ 3t; 2t)=>

+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến

+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( Q) nên :

=>> ⇔ 1( 2+ t)+ 1( 1+ 3t)- 1( 2t+ 1) = 0 ⇔ 2+ t+1+ 3t – 2t- 1= 0 ⇔ 2t + 2= 0 ⇔ t= - 1

+ Đường thẳng Δ đi qua A( 1; 2; -1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình của Δ là:

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho hai điểm A( 1;1;0) và B( 2; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;0;0) cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng (P): 2x+ y+ z- 1= 0.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1;0); nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H(1+ t; 1-2t;2t)

+ đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

.

+ Mặt phẳng (P) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên

⇔ 2t+ 1= 0 ⇔ t= 1/2 => H(3/2;0;1)

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 0;0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương; chọn vecto ( 1; 0; 2)

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho đường thẳng ; ba điểm A(1;1;1); B( -2; 1; -1) và C( 1; 0;2). Viết phương trình đường thẳng Δ qua O cắt d và song song với mặt phẳng (ABC)

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Ta có: (AB) ⃗( -3;0;-2); (BC) ⃗(3; -1;3)

Mặt phẳng (ABC) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M( 1-t; 2t; 2+ t)

Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (ABC) nên: n→ .OM→=0

⇔ -2(1- t) + 3.2t + 3.( 2+ t) = 0 ⇔ - 2+ 2t+ 6t+ 6+ 3t = 0

⇔ 11t+ 4= 0 ⇔ t= (- 4)/11

+ đường thẳng OM: qua O nhận vecto làm vecto chỉ phương chọn (15; - 8;18)

=> Phương trình OM:

Chọn B.

Ví dụ 4. Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x- 3y- 1= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( -2; 1; 3) cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P).

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là A( 1+2t; - 2+ t;1- t).

+ Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương.

Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (P) nên: (MA→ .n→=0 ⇔ 2( 3+ 2t) – 3( - 3+ t) + 0( - 2- t) = 0 ⇔ 6+ 4t+ 9 – 3t = 0 ⇔ t= -15

+ Đường thẳng Δ: đi qua M( -2; 1; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình Δ:

Chọn A.

Ví dụ 5. Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với . Đường thẳng d có phương trình: . Gọi đường thẳng Δ đi qua M( 0; -1; 1); cắt d và song song với (P). Tìm giao điểm của đường thẳng d và Δ?

A. ( - 4; 2; -6)

B. (1; 2; - 1)

C. ( 0; 2; - 2)

D. (6; 2; 4)

Lời giải:

+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương và đi qua A(-1; 2; 2)

+ Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương

=> Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi giao điểm của d và Δ là H( 3- t; 2; 1- t )

Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng Δ song song với (P) nên:n→ .MH→=0 ⇔ 4(3- t)+ 3. 3 – 1( -t) = 0 ⇔ 12- 4t +9 + t= 0 ⇔ 21- 3t= 0 ⇔t= 7

=> Giao điểm của đường thẳng d và Δ là H( - 4; 2; - 6)

Chọn A.

Ví dụ 6. Cho điểm A( -2; 1; 3) và mặt phẳng (P): 2x+2y+ z+ 10= 0. Viết phương trình đường thẳng d qua M( -1; -1; 0) cắt đường thẳng OA và song song với (P)?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng OA: qua O(0; 0;0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình OA:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng OA và d là H( -2t; t; 3t)

Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Do đường thẳng d song song với (P) nên: MH→ .n→=0 ⇔ 2( 1- 2t) +2( t+1) +1.3t= 0 ⇔ 2- 4t+2t+ 2+ 3t = 0 ⇔ t +4= 0 ⇔ t= -4

+ Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình d:

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-2;2;2) và đường thẳng . Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt d và song song với mặt phẳng (Q): 2x+ y + z+ 30= 0 là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và Δ là B .

Do B thuộc d nên B(-t; -1+ 2t; 2t)=>

+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến

+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( Q) nên :

=> =0 ⇔ 2( 2-t) + 1( 2t- 3) + 1( 2t- 2) = 0 ⇔ 4- 2t+ 2t – 3 + 2t – 2=0 ⇔ 2t – 1= 0 ⇔ t= 1/2

+ Đường thẳng Δ đi qua A( -2; 2; 2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương chọn ( 3; - 4; -2)

nên phương trình của Δ là:

Chọn B.

Câu 2:

Cho hai điểm A(1; -2; 1) và B(0;0;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 2; 2;1) cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng (P): -x+ y+ z +1= 0.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1;-2;1); nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H( 1- t; -2+2t; 1)

+ đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương .

+ Mặt phẳng (P) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên MH→ .n&rarrr;=0 ⇔ - 1( -1- t)+1(2t- 4) + 0.1 = 0 ⇔ 1+ t + 2t - 4= 0 ⇔ t= 1 => H( 0;0; 1)

+ Đường thẳng d đi qua M( 2;2;1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương.

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn C.

Câu 3:

Cho đường thẳng ba điểm A(0;1; 2); B( 2; 1; -1) và C(-1;-1;0). Viết phương trình đường thẳng Δ qua O cắt d và song song với mặt phẳng (ABC)

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Ta có:

Mặt phẳng (ABC) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M(2t; t; - 2+t)

Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (ABC) nên: X→ .OM→=0 ⇔ -6. 2t + 7.t - 4.( -2+ t) = 0 ⇔ -12t + 7t + 8 – 4t= 0 ⇔ -9t+ 8= 0 ⇔ t= 8/9

+ đường thẳng OM: qua O nhận vecto làm vecto chỉ phương chọn ( 8;4;-5).

=> Phương trình OM:

Chọn A.

Câu 4:

Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x- y+z= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( 1;0;2) cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P).

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là A( t; -t; t).

+ Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương.

Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (P) nên: MA→.n→=0 ⇔ 1( t-1) -1(-t) + 1( t- 2) = 0 ⇔ t- 1 + t + t- 2= 0 ⇔ 3t- 3= 0 ⇔ t= 1

+ Đường thẳng Δ: đi qua M(1; 0; 2) và nhận vecto (MA) ⃗(0; -1; -1) làm vecto chỉ phương nên phương trình Δ:

Chọn A.

Câu 5:

Cho đường thẳng ; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với . Đường thẳng Δ đi qua M(1;1;1); cắt d và song song với (P). Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ?

A. (0; 1; -5)

B. ( 0; -1; - 5)

C. ( 2; 0; 7)

D.( -2; 1; -3)

Lời giải:

+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương và đi qua A( - 2; 0; 1)

+ Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương

=> Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi giao điểm của d và Δ là H(-1+ t; -2+2t; -2t )

Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng Δ song song với (P) nên: n→ .MH→=0 ⇔ 5(t-2) - 5( 2t- 3) – 5( -2t- 1) = 0 ⇔ t- 2- ( 2t- 3) – ( -2t- 1)= 0 ⇔ t-2- 2t + 3 + 2t + 1= 0 ⇔ t+ 2= 0 ⇔ t= -2

=> đường thẳng Δ đi qua M( 1; 1;1) nhận vecto làm vecto chỉ phương .

Chọn A.

Câu 6:

Cho điểm A(2; 1; 4) và mặt phẳng (P): -2x+2y - z+ 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d qua M(2;2;0) cắt đường thẳng OA và song song với (P)?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng OA: qua O(0; 0;0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương => Phương trình OA:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng OA và d là H( 2t; t; 4t)

Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Do đường thẳng d song song với (P) nên: MH→ .n→=0 ⇔ -2(2t - 2) +2( t-2) -1.4t= 0 ⇔ -4t + 4+ 2t – 4- 4t = 0 ⇔ -6t= 0 ⇔ t= 0

+ Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình d:

Chọn C.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

---