Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M

=> Tọa độ của M( ..) ( theo tham số t; dựa vào phương trình đường thẳng d) .

=> Đường thẳng Δ nhận vecto ( ....) làm vecto chỉ phương.

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→

+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( P) nên ta có:

n→ .u→ = 0 => Phương trình ẩn t

=> t=...=> tọa độ điểm M

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 2; -1 ) và đường thẳng . Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt d và song song với mặt phẳng (Q): x+ y- z+ 3= 0 là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và Δ là B .

Do B thuộc d nên B( 3+ t; 3+ 3t; 2t)=>

+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến

+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( Q) nên :

=>> ⇔ 1( 2+ t)+ 1( 1+ 3t)- 1( 2t+ 1) = 0 ⇔ 2+ t+1+ 3t – 2t- 1= 0 ⇔ 2t + 2= 0 ⇔ t= - 1

+ Đường thẳng Δ đi qua A( 1; 2; -1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình của Δ là:

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho hai điểm A( 1;1;0) và B( 2; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;0;0) cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng (P): 2x+ y+ z- 1= 0.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1;0); nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H(1+ t; 1-2t;2t)

+ đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

.

+ Mặt phẳng (P) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên

⇔ 2t+ 1= 0 ⇔ t= 1/2 => H(3/2;0;1)

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 0;0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương; chọn vecto ( 1; 0; 2)

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho đường thẳng ; ba điểm A(1;1;1); B( -2; 1; -1) và C( 1; 0;2). Viết phương trình đường thẳng Δ qua O cắt d và song song với mặt phẳng (ABC)

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Ta có: (AB) ⃗( -3;0;-2); (BC) ⃗(3; -1;3)

Mặt phẳng (ABC) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M( 1-t; 2t; 2+ t)

Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (ABC) nên: n→ .OM→=0

⇔ -2(1- t) + 3.2t + 3.( 2+ t) = 0 ⇔ - 2+ 2t+ 6t+ 6+ 3t = 0

⇔ 11t+ 4= 0 ⇔ t= (- 4)/11

+ đường thẳng OM: qua O nhận vecto làm vecto chỉ phương chọn (15; - 8;18)

=> Phương trình OM:

Chọn B.

Ví dụ 4. Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x- 3y- 1= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( -2; 1; 3) cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P).

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là A( 1+2t; - 2+ t;1- t).

+ Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương.

Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (P) nên: (MA→ .n→=0 ⇔ 2( 3+ 2t) – 3( - 3+ t) + 0( - 2- t) = 0 ⇔ 6+ 4t+ 9 – 3t = 0 ⇔ t= -15

+ Đường thẳng Δ: đi qua M( -2; 1; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương nên phương trình Δ:

Chọn A.

Ví dụ 5. Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với . Đường thẳng d có phương trình: . Gọi đường thẳng Δ đi qua M( 0; -1; 1); cắt d và song song với (P). Tìm giao điểm của đường thẳng d và Δ?

A. ( - 4; 2; -6)

B. (1; 2; - 1)

C. ( 0; 2; - 2)

D. (6; 2; 4)

Lời giải:

+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương và đi qua A(-1; 2; 2)

+ Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương

=> Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi giao điểm của d và Δ là H( 3- t; 2; 1- t )

Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng Δ song song với (P) nên:n→ .MH→=0 ⇔ 4(3- t)+ 3. 3 – 1( -t) = 0 ⇔ 12- 4t +9 + t= 0 ⇔ 21- 3t= 0 ⇔t= 7

=> Giao điểm của đường thẳng d và Δ là H( - 4; 2; - 6)

Chọn A.

Ví dụ 6. Cho điểm A( -2; 1; 3) và mặt phẳng (P): 2x+2y+ z+ 10= 0. Viết phương trình đường thẳng d qua M( -1; -1; 0) cắt đường thẳng OA và song song với (P)?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng OA: qua O(0; 0;0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình OA:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng OA và d là H( -2t; t; 3t)

Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Do đường thẳng d song song với (P) nên: MH→ .n→=0 ⇔ 2( 1- 2t) +2( t+1) +1.3t= 0 ⇔ 2- 4t+2t+ 2+ 3t = 0 ⇔ t +4= 0 ⇔ t= -4

+ Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình d:

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-2;2;2) và đường thẳng . Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt d và song song với mặt phẳng (Q): 2x+ y + z+ 30= 0 là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi Δ là đường thẳng cần tìm

+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và Δ là B .

Do B thuộc d nên B(-t; -1+ 2t; 2t)=>

+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến

+ Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng ( Q) nên :

=> =0 ⇔ 2( 2-t) + 1( 2t- 3) + 1( 2t- 2) = 0 ⇔ 4- 2t+ 2t – 3 + 2t – 2=0 ⇔ 2t – 1= 0 ⇔ t= 1/2

+ Đường thẳng Δ đi qua A( -2; 2; 2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương chọn ( 3; - 4; -2)

nên phương trình của Δ là:

Chọn B.

Câu 2:

Cho hai điểm A(1; -2; 1) và B(0;0;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 2; 2;1) cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng (P): -x+ y+ z +1= 0.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1;-2;1); nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình AB:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H( 1- t; -2+2t; 1)

+ đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương .

+ Mặt phẳng (P) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên MH→ .n&rarrr;=0 ⇔ - 1( -1- t)+1(2t- 4) + 0.1 = 0 ⇔ 1+ t + 2t - 4= 0 ⇔ t= 1 => H( 0;0; 1)

+ Đường thẳng d đi qua M( 2;2;1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương.

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn C.

Câu 3:

Cho đường thẳng ba điểm A(0;1; 2); B( 2; 1; -1) và C(-1;-1;0). Viết phương trình đường thẳng Δ qua O cắt d và song song với mặt phẳng (ABC)

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Ta có:

Mặt phẳng (ABC) nhận vecto làm vecto pháp tuyến.

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là M(2t; t; - 2+t)

Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (ABC) nên: X→ .OM→=0 ⇔ -6. 2t + 7.t - 4.( -2+ t) = 0 ⇔ -12t + 7t + 8 – 4t= 0 ⇔ -9t+ 8= 0 ⇔ t= 8/9

+ đường thẳng OM: qua O nhận vecto làm vecto chỉ phương chọn ( 8;4;-5).

=> Phương trình OM:

Chọn A.

Câu 4:

Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x- y+z= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( 1;0;2) cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P).

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là A( t; -t; t).

+ Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương.

Do đường thẳng Δ song song với mặt phẳng (P) nên: MA→.n→=0 ⇔ 1( t-1) -1(-t) + 1( t- 2) = 0 ⇔ t- 1 + t + t- 2= 0 ⇔ 3t- 3= 0 ⇔ t= 1

+ Đường thẳng Δ: đi qua M(1; 0; 2) và nhận vecto (MA) ⃗(0; -1; -1) làm vecto chỉ phương nên phương trình Δ:

Chọn A.

Câu 5:

Cho đường thẳng ; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với . Đường thẳng Δ đi qua M(1;1;1); cắt d và song song với (P). Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ?

A. (0; 1; -5)

B. ( 0; -1; - 5)

C. ( 2; 0; 7)

D.( -2; 1; -3)

Lời giải:

+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương và đi qua A( - 2; 0; 1)

+ Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương

=> Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Gọi giao điểm của d và Δ là H(-1+ t; -2+2t; -2t )

Đường thẳng Δ nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng Δ song song với (P) nên: n→ .MH→=0 ⇔ 5(t-2) - 5( 2t- 3) – 5( -2t- 1) = 0 ⇔ t- 2- ( 2t- 3) – ( -2t- 1)= 0 ⇔ t-2- 2t + 3 + 2t + 1= 0 ⇔ t+ 2= 0 ⇔ t= -2

=> đường thẳng Δ đi qua M( 1; 1;1) nhận vecto làm vecto chỉ phương .

Chọn A.

Câu 6:

Cho điểm A(2; 1; 4) và mặt phẳng (P): -2x+2y - z+ 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d qua M(2;2;0) cắt đường thẳng OA và song song với (P)?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng OA: qua O(0; 0;0) và nhận vecto làm vecto chỉ phương => Phương trình OA:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng OA và d là H( 2t; t; 4t)

Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

+ Do đường thẳng d song song với (P) nên: MH→ .n→=0 ⇔ -2(2t - 2) +2( t-2) -1.4t= 0 ⇔ -4t + 4+ 2t – 4- 4t = 0 ⇔ -6t= 0 ⇔ t= 0

+ Đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình d:

Chọn C.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

---