Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng

Bài viết Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng.

Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

+ Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng Δ: u_Δ→

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và ( Q): n_P→; n_Q→

+ Trong cả hai trường hợp ta đều có một vecto chỉ phương của đường thẳng d là :

+ Khi đó, đường thẳng d: đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u→

=> phương trình đường thẳng d

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z+ 10 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 1; -1; 1); nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: .

=> Phương trình đường thẳng d cần tìm:

Chọn B.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ 2y – 3z+ 4= 0. Phương trình tham số của đường thẳng d nằm trong (P) , cắt và vuông góc đường thẳng Δ là:

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Lời giải:

+ Tìm giao điểm M của Δ và mặt phẳng ( P):

Điểm M( - 2+ t; 2+ t;- t) thuộc Δ.

Thay tọa độ M vào phương trình ( P) ta được: - 2+ t+ 2(2+ t) – 3( - t) + 4= 0 ⇔ - 2+ t + 4 + 2t + 3t + 4= 0 ⇔ 6t+ 6= 0 nên t= -1 => M ( - 3; 1; 1)

+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)và vuông góc với đường thẳng Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là :

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( -3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn B.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x+ y- 2z + 9= 0 . Gọi A là giao điểm của d và (P). Phương trình tham số của đường thẳng Δ nằm trong (P), đi qua điểm A và vuông góc với d là

A.

B.

C.

D.Tất cả sai

Lời giải:

+ Điểm A là giao điểm của đường thẳng d và (P).

=> Tọa độ A( 1- t; - 3+ 2t; 3+ t)

Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được : 2( 1- t) + ( -3+ 2t) – 2( 3+ t) + 9= 0 ⇔ 2- 2t- 3+ 2t – 6 – 2t + 9= 0 ⇔ - 2t+ 2= 0 ⇔ t= 1 nên A(0; -1; 4)

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

+ Do đường thẳng Δ nằm trong (P) và vuông góc với d nên một vecto chỉ phương của Δ là:

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A(0; - 1; 4) và có vectơ chỉ phương là ( 1; 0;1)

Vậy phương trình tham số của Δ là

Chọn C.

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng Δnằm trong mặt phẳng (P): 2x- y – z + 4= 0 và vuông góc với đường thẳng Đường thẳng Δ đi qua điểm M(0; 1; 3) có phương trình là

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Ta có mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Do

Đường thẳng Δ đi qua M( 0; 1; 3) và nhận vecto là vecto chỉ phương

=> Phương trình Δ:

Chọn B

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(1;1; 2) và B( -1; 2; 1). Mặt phẳng (P): 2x- y- 1= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( -1; 2; 2) nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên nhận làm vecto chỉ phương .

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Do đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d nên một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

=> Phương trình đường thẳng Δ:

Chọn C.

Ví dụ 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 0; 1; 2); B(-2;1; 0) và C(-2; -1; 2). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua trung điểm của AB; nằm trong mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Gọi M là trung điểm của AB tọa độ M( -1;1; 1)

+ đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Ta có: ( => Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

+ Do đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với d nên một vecto chỉ

phương của Δ là:

=> Phương trình Δ:

Chọn A.

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho ba điểm A( -1; 2; 1); B( -2; 1; 1) và C( -3; 2; 2). Mặt phẳng (P): 2x- y= 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( 2;1;3) nằm trong mặt phẳng ( P) và song song với mặt phẳng ( ABC)

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ ta có:

=> Mặt phẳng ( ABC) có một vecto pháp tuyến là : .

+Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là :

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và song song với mặt phẳng (ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng là:

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn D.

Ví dụ 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( -1; -1; -1) và B(1;2;0). Mặt phẳng (P): 3x- 2y+ z- 10= 0 . Đường thẳng d đi qua M( -1; 2;2) nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng AB. Trong các đường thẳng sau đường thẳng nào song song với đường thẳng d?

A.

B.

C.

D.

Giaỉ

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phăng (P) và vuông góc với đường thẳng AB nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là :

=> Phương trình đường thẳng d:

=> Đường thẳng d’: song song với đường thẳng d( có cùng vecto chỉ phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’) .

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 4x- y+ z+ 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(-2; 1; 3); nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương

Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến .

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ nên một

vecto chỉ phương của đường thẳng d là: .

=> Phương trình đường thẳng d cần tìm:

Chọn C.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ y – 3z+ 8= 0. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(1;2; 1) nằm trong (P) , vuông góc đường thẳng Δ là:

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)và vuông góc với đường thẳng Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là :

+ Đường thẳng d đi qua điểm A( 1; 2; 1) và có vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình tham số của d là:

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt phẳng (P): x+ y- z + 6= 0 . Gọi A là giao điểm của d và (P). Phương trình tham số của đường thẳng Δ nằm trong (P), đi qua điểm A và vuông góc với d là

A.

B.

C.

D.Tất cả sai

Lời giải:

+ Điểm A là giao điểm của đường thẳng d và (P).

=>Tọa độ A( t; 1- t; 2+ t)

Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được : t+1- t – 2- t+ 6= 0 ⇔ t= 5 => A( 5; - 4;7)

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

+ Do đường thẳng Δ nằm trong (P) và vuông góc với d nên một vecto chỉ phương của Δ là: chọn (0; 1;1)

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm A( 5; -4; 7) và có vectơ chỉ phương là (0; 1;1)

Vậy phương trình tham số của Δ là

Chọn B.

Câu 4:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P): 3x+ 2y – z + 4= 0 và song song với mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng d đi qua điểm M( -1; 2; 1) có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là:

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình: z= 0 vecto chỉ phương

Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng ( P) và song song với mặt phẳng (Oxy) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

Đường thẳng d đi qua M( - 1; 2; 1) và nhận vecto là vecto chỉ phuowg

=> Phương trình d:

Chọn B

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(0; 0; 1) và B(1;1; 3). Mặt phẳng (P): 2x- y- z+ 1= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( - 2; -3; - 1) nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên nhận làm vecto chỉ phương .

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Do đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d nên một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là

=>> Phương trình đường thẳng Δ:

Chọn C.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(-2; 1; 2); B(1; 1; 1) và C( 1;3; -1). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua trung điểm của BC; nằm trong mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Gọi M là trung điểm của BC tọa độ M( 1; 2; 0)

+ đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Ta có:

=> Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

+ Do đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với d nên một vecto chỉ phương của Δ là:

=> Phương trình Δ:

Chọn B.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho ba điểm A( -2; 1; -1); B(0; 0; 1) và C(1; 1; 1). Mặt phẳng (P): 2x- y + 2z – 1= 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M( - 1; 2; 2) nằm trong mặt phẳng ( P) và song song với mặt phẳng ( ABC)

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ ta có:

=> Mặt phẳng ( ABC) có một vecto pháp tuyến là : .

+Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là :

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và song song với mặt phẳng (ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng là:

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn D.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(0; -2; 1) và B(1;2;3). Mặt phẳng (P): x+ y+ 3z- 10= 0 . Đường thẳng d đi qua M(2; 2; 3) nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng AB. Trong các đường thẳng sau đường thẳng nào song song với đường thẳng d?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến .

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phăng (P) và vuông góc với đường thẳng AB nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là :

=> Phương trình đường thẳng d:

=> Đường thẳng d’: song song với đường thẳng d( có cùng vecto chỉ phương và điểm M không thuộc đường thẳng d’) .

Chọn B.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm I(1;-3;0), đường thẳng d: $\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) vuông góc với d đồng thời cách I một khoảng bằng $\sqrt{42}.$

Bài 2.  Cho (P): x + 2y + z – 4 = 0 và đường thẳng d: $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{3}$. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P) đồng thời cắt và vuông góc với d.

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ: $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng (P): x - 2y + 3z + 10 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1; -1; 1); nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ?

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm E(-1; -1; -1) và F(1;2;0). Mặt phẳng (P): 3x - 2y + z – 10 = 0. Đường thẳng d đi qua M(-1; 2; 2) nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng EF. Viết phương trình đường thẳng d?

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ: $\frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng (α): x + y – 3z + 8 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(1;2;1) nằm trong (α) , vuông góc đường thẳng Δ.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

---