Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Cách 1:

- Viết PT mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d₁

- Tìm giao điểm B = (P) ∩ (d₂)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Cách 2:

- Viết PT mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d₁

- Viết PT mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa đường thẳng d₂

- Đường thẳng d cần tìm là d = (P) ∩ (Q)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A( 1; - 1; 3) và hai đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d₁ và cắt đường thẳng d₂.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi ( P) là mặt phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d₁.

Đường thẳng d₁ có vecto chỉ phương là ( 1; 4; -2) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

=> Phương trình mặt phẳng (P) là: 1( x-1) + 4( y+1) – 2( z- 3) =0 .Hay x+ 4y – 2z + 9= 0

+Gọi giao điểm của đường thẳng d₂ và mặt phẳng ( P) là điểm B

Do B thuộc d₂ nên tọa độ B( 2+ t; - 1- t; 1+ t) . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (P) ta được : 2+ t + 4( - 1- t) – 2( 1+ t) + 9= 0 ⇔ 2+ t- 4 – 4t- 2- 2t + 9= 0 ⇔ - 5t+ 5= 0 ⇔ t= 1 => B( 3; -2; 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A(1; -1;3) nhận vecto

=> Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:

Chọn C.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( 1;2; -2) vuông góc với d₁ và cắt d₂ là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của của d và d₂ là B.

Do B thuộc d₂ nên tọa độ B( t; 1+ 2t; t) => .

+ Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương

+ Do đường thẳng d vuông góc với d₁ nên => = 0 ⇔ 2( t-1) + 2( 2t- 1) + 1(t+ 2) = 0 ⇔ 2t – 2 + 4t – 2+ t+ 2= 0 ⇔ 7t- 2= 0 nên t= 2/7

+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 1; 2; - 2) và có vectơ chỉ phương chọn vecto chỉ phương ( 5; 3; - 16)

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng: và điểm A (1; 2; 3). Viết phương trình đường thẳng d đi qua A,vuông góc với d₁ và cắt d₂.

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

- Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) là: 2.(x – 1) – 1 . (y – 2) + 1. (z – 3) = 0 hay 2x – y + z – 3 = 0

-Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng d₂ là B

B thuộc d₂ nên tọa độ B( 1- t; 1+ 2t; - 1+ t)

Thay tọa độ ( B) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 2( 1- t) – ( 1+ 2t) + ( - 1+ t) – 3= 0 ⇔ 2- 2t- 1- 2t- 1+ t- 3= 0 ⇔ -3t – 3= 0 nên t= -1

Suy ra: B (2; -1; -2)

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho hai đường thẳng: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (0; 1; 1), vuông góc với d₁ và cắt d₂.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

- Goi mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là

- Một điểm thuộc d₂ là : M (0; 0; 2) ;

Mặt phẳng (Q) đi qua A và chứa đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là:

=>

- Đường thẳng cần tìm d = (P)∩(Q)

Vectơ chỉ phương của d là

=>

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn B.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm N(1; 1; -2) vuông góc với đường thẳng và cắt trục hoành có phương trình là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Gọi .

Ta có , Khi đó:

Do ⇔ 2m+ 5= 0

⇒

Suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng là:

Phương trình của d đương thẳng d:

Chọn C .

Ví dụ 6.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(1; 2; 3) và B( 3; 0; 1). Gọi M là trung điểm của AB. Đường thẳng d đi qua M vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ M(2; 1; 2)

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ là: H( 2; 1+ t; 2t)=>

Ta có vecto chỉ phương của trục tung là: , Khi đó:

Do ⇔ t= 1 nên tọa độ H( 2; 2; 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng MH: đi qua M( 2; 1; 2) và vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn A.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Gọi d là đường thẳng qua M( 2; 3; 1); cắt d₁ và vuông góc với d₂. Trong các vecto sau; vecto nào là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A. ( 1; 2; 1)

B. ( 1; -2; -2)

C. (1; -1; -2)

D.( 1; 1;-2)

Lời giải:

+ Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là

- Một điểm thuộc d₂ là : N (1; 1; 2);

Mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là:

- Đường thẳng cần tìm d = (P)∩(Q)

Vectơ chỉ phương của d là

Chọn D

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Gọi d là đường thẳng qua A( -1; -1;2) ; cắt d1 và vuông góc với trục hoành. Biết phương trình tham số của đường thẳng d có dạng : . Tính a+ b+ c?

A. – 3

B. 5

C. 7

D. - 1

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là: H( 2+ 3t; 1- t; 2t)=>

Ta có vecto chỉ phương của trục hoành là: , Khi đó:

Do ⇔ 3+ 3t= 0 nên t= - 1 => tọa độ H( -1; 2; - 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AH: đi qua A(-1; -1;2) và vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Suy ra: a= -1; b=2 và c= 4 nên a+ b+ c= 5

Chọn B.

Ví dụ 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng d vuông góc với (P): 7x+ y- 4z= 0 và cắt hai đường thẳng d₁; d₂ là:

A:

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Gọi giao điểm của đường thẳng d với hai đường thẳng d₁; d₂ lần lượt là A và B.

+ Điểm A∈ d₁ nên tọa độ A( 2a; 1- a; - 2+ a)

Điểm B∈ d₂ nên tọa độ B( - 1+ 2b; 1+ b; 3)

=>

+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P) nên hai vecto AB→  và n_p→ cùng phương ⇔ có một số k thỏa mãn

⇔

+ Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2; -1; 1) và hai đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng d₁ và cắt đường thẳng d₂.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Gọi ( P) là mặt phẳng qua A vuông góc với đương thẳng d₁.

Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là (1; 2; -2) nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

=> Phương trình mặt phẳng (P) là: 1( x+ 2) + 2( y+1) – 2( z- 1) =0 Hay x+ 2y – 2z + 6= 0

+Gọi giao điểm của đường thẳng d₂ và mặt phẳng ( P) là điểm B

Do B thuộc d₂ nên tọa độ B( - 2t; - 1- t; t) . Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (P) ta được : - 2t + 2( - 1- t) - 2t+ 6 = 0 ⇔ - 2t – 2 – 2t- 2t+ 6= 0 ⇔ - 6t +4= 0 ⇔ t= 2/3 => B( (- 4)/3; (- 5)/3; 2/3)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A( -2; -1; 1) nhận vecto chọn ( 2; -2; - 1).

=> Phương trình chính tắc của đường thẳng AB:

Chọn B.

Câu 2:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( -2; 1; -3) vuông góc với d₁ và cắt d₂ là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của của d và d₂ là B.

Do B thuộc d₂ nên tọa độ B( 3- 2t; t; 4+ t ) =>

+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương

+ Do đường thẳng d vuông góc với d1 nên

=> = 0

⇔ 1( 5- 2t) – 3( t- 1) + 1( 7+ t)= 0 ⇔ 5- 2t – 3t + 3+ 7+ t= 0 ⇔ - 4t + 15= 0 nên t= 15/4

+ Đường thẳng d đi qua điểm A (-2; 1; -3) và có vectơ chỉ phương chọn vecto chỉ phương ( -10; 11; 43)

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Câu 3:

Cho hai đường thẳng: và điểm A (0; 0; 1). Đường thẳng d đi qua A,vuông góc với d₁ và cắt d₂. Trong các điểm sau điểm nào thuộc đường thẳng d?

A. ( - 5; - 6; 9)

B.( 5; - 6; 7)

C. ( -10; 12; 17)

D. ( 1; 1; 2)

Lời giải:

- Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm A (0; 0; 1) và vuông góc với đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng (P) là: -2.(x – 0) – 3 . (y – 0) + 1. (z – 1) = 0 hay - 2x – 3y+ z- 1 = 0 ⇔ 2x+ 3y – z+ 1= 0

-Gọi giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng d₂ là B

B thuộc d₂ nên tọa độ B( 1- t; 3; - 2+ 2t)

Thay tọa độ ( B) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: 2( 1- t) + 3. 3- ( - 2+ 2t) + 1= 0 ⇔ 2- 2t + 9 + 2- 2t + 1= 0 ⇔ - 4t + 14= 0 ⇔ t= 7/2 =>

- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Cho t= 2 ta được điểm I( -10; 12; 17) thuộc đường thẳng d .

Chọn C.

Câu 4:

Cho đường thẳng: và hai điểm M( 1; -2; -1); N(0; 1; 2) . Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 0; 0 ), vuông góc với MN và cắt d₁.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của d và d₁ là B( -2+ 2t; t; 1- t)

+ Khi đó đường thẳng d chính là đường thẳng AB nên đường thẳng d nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng MN

=>

=> - 1( - 3- 2t) + 3. t+ 3( 1- t) = 0 ⇔ 3+ 2t +3t + 3- 3t= 0 ⇔ 2t+ 6= 0 ⇔ t= - 2 => B( - 6; - 2; 3)

+ Đường thẳng d đi qua A (1; 0;0) nhận vecto làm vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d đi qua điểm A( -1; 2; 3) vuông góc với đường thẳng và cắt trục hoành. Hỏi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau

A. 4x+ y- 10= 0

B. 2x+ y- 6z+ 1= 0

C. x+ 2y- z+ 1= 0

D. – x+ 2y- 2z= 0

Lời giải:

Gọi

Ta có , Khi đó:

Do ⇔ - 2m- 2+ 4- 3= 0 ⇔ m=-1/2 ⇒ ⇒

Suy ra một vecto chỉ phương của đường thẳng là:

Phương trình của d đương thẳng d:

+ Xét mặt phẳng (P): 4x + y- 10= 0 có vecto pháp tuyến

=>

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

Chọn A .

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 2; 0); B( 2; 1;1) và C( 2; 3; 2). Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đường thẳng d đi qua G vuông góc với trục tung và cắt đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng d?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên tọa độ G( 1; 2;1) .

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là: H( 1- t; - 2+ 2t; 2)=>

Ta có vecto chỉ phương của trục tung là: , Khi đó:

Do ⇔ 2t- 4= 0 ⇔ t= 2 nên tọa độ H( -1; 2; 2)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng GH: đi qua G( 1; 2; 1) và vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Chọn D.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Gọi d là đường thẳng qua I( 1; 1;1); cắt d₁ và vuông góc với d₂. Trong các vecto sau; vecto nào là vecto chỉ phương của đường thẳng d?

A. (-3; 1; -3)

B. ( -3; -1; 3)

C. (-3; 1; 3)

D.( 3; 1; 3)

Lời giải:

+ Gọi mặt phẳng (P) đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến

là

- Một điểm thuộc d₂ là : O(0; 0;0);

Mặt phẳng (Q) đi qua I và chứa đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là:

- Đường thẳng cần tìm d = (P)∩(Q)

Vectơ chỉ phương của d là

Chọn D

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Gọi d là đường thẳng qua A(3; 2; 2) ; cắt d1 và vuông góc với trục hoành. Biết phương trình tham số của đường thẳng d có dạng : . Tính a.b.c?

A. 8

B. - 12

C. - 8

D. 12

Lời giải:

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và d1 là: H( 3t; -2+ t; 2- t)=>

Ta có vecto chỉ phương của trục hoành là: , Khi đó:

Do ⇔ 3t - 3= 0 nên t= 1 => tọa độ H( 3; - 1; 1)

+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AH: đi qua A( 3; 2; 2) và vecto chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng d:

Suy ra: a= 2; b= - 3 và c= 2 nên abc= - 12

Chọn B.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng

---