Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Do đường thẳng song song với mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên

Suy ra

Mà d’ không vuông góc với (P)

=>Véc tơ chỉ phương của d là

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( đã biết) và nhận vecto u_d→ làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; -1), song song với mặt phẳng (P): x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là:

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

d đi qua điểm M (1; 2; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn B.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (0; 1; 2), song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng d':

A .

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Phương trình mặt phẳng ( Oxy) là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là:

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là:

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

d đi qua điểm M (0; 1; 2)

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn C.

Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng (P) : y- 2z- 1= 0 và đường thẳng Δ : . Phương trình chính tắc đường thẳng d đi qua điểm B( 2 ; 2 ; - 2) song song với (P) và vuông góc với Δ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

Gọi u_d→ là vectơ chỉ phương của d.

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

Vậy phương trình chính tắc của d là:

Chọn D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x+ y- 5z+ 1= 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (1;1;1) song song với ( P) và vuông góc với trục tung là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Trục tung Oy có vectơ chỉ phương .

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến .

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với trục tung nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: .

Đường thẳng d đi qua điểm A( 1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình của d là:

Chọn D.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt cầu (S): x² +(y-1)² +(z+ 2)² = 4. Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu (S), song song với mặt phẳng (P): x+ y- 2z= 0 và vuông góc với đường thẳng Δ: là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Tâm của mặt cầu ( S) là I( 0 ;1 ; -2) .

+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương .

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d đi qua điểm I( 0 ; 1 ; -2) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của d là

Chọn A.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 5= 0 và hai điểm A(-3; 0; 1); B( 1; -1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng cần tìm

+ Gọi mặt phẳng (Q) qua A( -3; 0;1) và song song với (P).

Khi đó: (Q) có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0

Thay tọa độ điểm A vào phương trình ( Q) ta được : -3- 2.0+ 2.1+ D= 0 ⇔ D = 1

Vậy phương trình ( Q): x- 2y + 2z +1= 0

+ Gọi K; H lần lượt là hình chiếu của B lên d; (Q).

Ta có: d( B; d) = BK ≥BH

Do đó AH là đường thẳng cần tìm.

+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến

BH qua B và có vectơ chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng BH là:

+ Đường thẳng d đi qua điểm A( -3; 0; 1) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của d là

Chọn A.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 2; 0; 0); B( 0; 3; 0) và C( 0; 0; 1); đường thẳng d: . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M (-1; 2; 0)song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( P):

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm M(-1 ; 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của Δ là

Chọn A.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 1; 2; 1); B( -2; 1; 0) và C( 0; 0; 1) . Đường thẳng d có phương trình : . Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( 0; 0; -3) và song song với (P); vuông góc với đường thẳng d.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Ta tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P)

Ta có:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm M( 0; 0; - 3) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của Δ là

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng ( P): 2x- y+ 9= 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(2;1; 1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng AB biết A( -1; 2; 0) và B( -2; 3; 1)?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 2 ; 1 ; 1) và có vectơ chỉ phương là :

=> Phương trình chính tắc của đường thẳng d là

Chọn C.

Câu 2:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (-1; 1; -1), song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với đường thẳng d^':

A .

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Phương trình mặt phẳng (Oxz) là y= 0 vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là:

+ Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là:

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

d đi qua điểm M ( -1; 1; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn C.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng (P) : 2x+ y+ 2z- 1= 0 và đường thẳng Δ: . Phương trình chính tắc đường thẳng d đi qua điểm B( 2 ; -1 ; 5) song song với (P) và vuông góc với Δ là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến .

Gọi u_d→ là vectơ chỉ phương của d.

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

Vậy phương trình chính tắc của d là:

Chọn A

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x+ 3y+ 1= 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (2; 2; 2) song song với (P)và vuông góc với trục hoành là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Trục hoành Ox có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với trục hoành nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

Đường thẳng d đi qua điểm A( 2;2;2) và có vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình của d là:

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt cầu (S): (x+ 1)² +(y-2)² +z² = 1. Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu (S), song song với mặt phẳng (P): x+ 2z - 2= 0 và vuông góc với đường thẳng là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Tâm của mặt cầu ( S) là I( -1 ; 2 ; 0) .

+ Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương .

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d đi qua điểm I(-1 ; 2 ;0) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của d là

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 5= 0; điểm A(2;1; 1); B( -1; 2; 3) . Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và đi qua A. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;0; 0) đồng thời song song với (P) và vuông góc với đường thẳng OB?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Mặt phẳng (Q) qua A(2; 1;1) và song song với (P).

Khi đó (Q) có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0

Thay tọa độ điểm A vào phương trình ( Q) ta đưọc: 2- 2.1 + 2.1+ D= 0 ⇔ D = - 2

Vậy phương trình ( Q): x- 2y +2z - 2= 0

Mặt phẳng ( Q) có vecto pháp tuyến

+ Đường thẳng OB có vecto chỉ phương là:

+ Đường thẳng d đi qua điểm M(1;0 ; 0) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của d là

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 0;1; 0); B(-2; 0; 0) và C( 0; 0; 3); đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M (-1; -1; -1)song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( P):

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(-1 ; -1 ; -1) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của ∆ là

Chọn A.

Câu 8:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( -1; 2; 0); B( 3;2; 1) và C( 0; 0; - 1) . Đường thẳng d có phương trình : . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M( 0; 1;1) và song song với (P); vuông góc với đường thẳng d.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Ta tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P)

Ta có:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm M( 0; 1 ;1) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của ∆ là

Chọn B.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

---