Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị cực hay, có lời giải

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị cực hay, có lời giải

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Xét hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0)

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2

Thực hiện phép chia f(x) cho f'(x) ta được f(x) = Q(x).f'(x) + ax + b

Gọi (x1;y1) và (x2;y2) là các điểm cực trị thì f'(x1) = f'(x2) = 0

Do đó, ta có Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực  trị cực hay, có lời giải

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y = ax + b.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số y = x3 - 2x2 - x + 1

Lời giải

Ta có y' = 3x2 - 4x - 1, y' = 0 có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có 2 điểm cực trị

Thực hiện phép chia y cho y' ta được Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực  trị cực hay, có lời giải

Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực  trị cực hay, có lời giải

Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x - m3 có hai điểm cực trị A và B. Viết phương trình đường thẳng AB.

Lời giải

Thực hiện phép chia y cho y' ta được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là

AB: y = (-m2 + 6m - 9)x - m2 + 3m - 3

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1 song song với đường thẳng y = -4x + 1.

Lời giải

Ta có y' = 6x2 + 6(m - 1)x + 6(m - 2)

Hàm số có cực trị ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ' > 0 ⇔ 9(m - 1)2 - 36(m - 2) > 0 ⇔ 9(m - 3)2 > 0 ⇔ m ≠ 3

Thực hiện phép chia y cho y' ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

d: y = (-m2 + 6m - 9)x - m2 + 3m - 3

Khi đó d song song với đường thẳng y = -4x + 1

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực  trị cực hay, có lời giải

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + mx có hai điểm cực trị Avà B đối xứng nhau qua đường thẳng x - 2y - 5 = 0

Lời giải

Ta có: y' = 3x2 - 6x + m; y' = 0 ⇔ 3x2-6x + m = 0

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi Δ' = 9 - 3m > 0 ⇔ m < 3(*)

Thực hiện phép chia y cho y', suy ra phương trình AB: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực  trị cực hay, có lời giải

Đường thẳng d: x - 2y - 5 = 0 được viết lại Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực  trị cực hay, có lời giải

Do A,B đối xứng nhau qua dthì thỏa mãn điều kiên cần là Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực  trị cực hay, có lời giải (thỏa mãn (*))

Với m = 0 hàm số có dạng y = x3 - 3x2 có hai điểm cực trị A(0;0), B(2;-4)

Khi đó trung điểm AB là I(1;-2) ∈ d (thỏa mãn điều kiện đủ)

Vậy giá trị m = 0 là đáp số của bài toán.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác