Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị (cực hay, có lời giải)

Bài viết Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị (cực hay, có lời giải)

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Xét hàm số y = ax³ + bx² + cx + d(a ≠ 0)

Hàm số có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂

Thực hiện phép chia f(x) cho f'(x) ta được f(x) = Q(x).f'(x) + ax + b

Gọi (x₁;y₁) và (x₂;y₂) là các điểm cực trị thì f'(x₁) = f'(x₂) = 0

Do đó, ta có

Suy ra phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y = ax + b.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số y = x³ - 2x² - x + 1

Lời giải

Ta có y' = 3x² - 4x - 1, y' = 0 có hai nghiệm phân biệt nên hàm số luôn có 2 điểm cực trị

Thực hiện phép chia y cho y' ta được

Do đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có phương trình

Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y = x³ - 3mx² + 3(m² - 1)x - m³ có hai điểm cực trị A và B. Viết phương trình đường thẳng AB.

Lời giải

Thực hiện phép chia y cho y' ta được phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A và B là

AB: y = (-m² + 6m - 9)x - m² + 3m - 3

Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m - 1)x² + 6(m - 2)x - 1 song song với đường thẳng y = -4x + 1.

Lời giải

Ta có y' = 6x² + 6(m - 1)x + 6(m - 2)

Hàm số có cực trị ⇔ y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ Δ' > 0 ⇔ 9(m - 1)² - 36(m - 2) > 0 ⇔ 9(m - 3)² > 0 ⇔ m ≠ 3

Thực hiện phép chia y cho y' ta có phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là:

d: y = (-m² + 6m - 9)x - m² + 3m - 3

Khi đó d song song với đường thẳng y = -4x + 1

Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + mx có hai điểm cực trị Avà B đối xứng nhau qua đường thẳng x - 2y - 5 = 0

Lời giải

Ta có: y' = 3x² - 6x + m; y' = 0 ⇔ 3x²-6x + m = 0

Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi Δ' = 9 - 3m > 0 ⇔ m < 3(*)

Thực hiện phép chia y cho y', suy ra phương trình AB:

Đường thẳng d: x - 2y - 5 = 0 được viết lại

Do A,B đối xứng nhau qua dthì thỏa mãn điều kiên cần là (thỏa mãn (*))

Với m = 0 hàm số có dạng y = x³ - 3x² có hai điểm cực trị A(0;0), B(2;-4)

Khi đó trung điểm AB là I(1;-2) ∈ d (thỏa mãn điều kiện đủ)

Vậy giá trị m = 0 là đáp số của bài toán.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x³ + 2x² + (m − 3)x + m có hai điểm cực trị và điểm M(9; −5) nằm trên đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị.

Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm P(3; 1) đến đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị của hàm số y = x³ − 3x² − (m² − 2)x + m² sao cho có giá trị lớn nhất?

Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x³ + 3(m − 3)x² − 3m + 11 có hai điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị và điểm N(2; −1) thẳng hàng.

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số y = x³ – 3x² + 1.

Bài 5. Tìm giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = −x³ + 3mx² − 3m − 1 có hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0.

Bài 6. Biết rằng hàm số f(x) = $\frac{x^2-2x+m}{x^2+2}$ có 2 điểm cực trị x₁, x₂. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức $k=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}$.

Bài 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+mx+2m}{x+1}$ có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O. Tính diện tích của S_OAB.

Bài 8. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x³ – 2x² – x + 1;

b) y = 3x² – 2x³.

Bài 9. Cho hàm số y = 2x³ + 3(m – 1)x² + 6(m – 2)x – 1 (1).

Tìm m để hàm số (1) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = – 4x + 1.

Bài 10. Cho hàm số y = x³ + mx² + 7x + 3 (*).

Tìm m để hàm số (*) có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = $\frac{3}{10}$x + 2012.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều (cực hay, có lời giải)
• Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác vuông (cực hay, có lời giải)
• Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích (cực hay, có lời giải)
• Cho bảng biến thiên tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang (cực hay, có lời giải)

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

1000 Đề thi bản word THPT quốc gia cá trường 2023 Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

Đề thi thử DGNL (bản word) các trường 2023

4.5 (243)

799,000đ

199,000 VNĐ

xem tất cả