Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

HOT Ra mắt Sách 20 đề THPT quốc gia form 2025 toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ.

Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Quảng cáo

1. Phương pháp giải

• Góc giữa hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ . Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}$ . Khi đó, góc $\hat{A O B}$ ( $0 ° \leq \hat{A O B} \leq 180 °$ ) được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $(\vec{a}, \vec{b})$ .

Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơxac-dinh-goc-giua-hai-vecto-va-tinh-tich-vo-huong-sm-277136.PNG" alt="Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)" width="272" height="251" />

Chú ý:

- Để xác định góc giữa hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ trong không gian ta có thể lấy điểm E sao cho $\vec{A E} = \vec{C D}$ , khi đó $(\vec{A B}, \vec{C D}) = \hat{B A E}$ .

Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơxac-dinh-goc-giua-hai-vecto-va-tinh-tich-vo-huong-sm-277137.PNG" alt="Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)" width="267" height="206" />

- Quy ước góc giữa một vectơ bất kì và $\vec{0}$ có thể nhận một giá trị tùy ý từ 0° đến 180°.

• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số, kí hiệu là $\vec{a} . \vec{b}$ , được xác định bởi công thức: $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ .

Chú ý:

- Quy ước nếu $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $\vec{b} = \vec{0}$ thì $\vec{a} . \vec{b} = 0$ .

- Cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Khi đó: $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} . \vec{b} = 0$ .

- Với mọi vectơ $\vec{a}$ , ta có ${\vec{a}}^{2} = {|\vec{a}|}^{2}$ .

- Nếu $\vec{a}, \vec{b}$ là hai vectơ khác $\vec{0}$ thì $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|}$ .

Quảng cáo

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ

a) $\vec{A B}$ và $\vec{B C}$ .

b) $\vec{C H}$ và $\vec{A C}$ .

Hướng dẫn giải:

Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơxac-dinh-goc-giua-hai-vecto-va-tinh-tich-vo-huong-sm-277138.PNG" alt="Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)" width="206" height="279" />

a) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua B.

Ta có $(\vec{A B}, \vec{B C}) = (\vec{B A^{'}}, \vec{A C}) = \hat{C B A^{'}}$ .

Ta có ∆ABC đều

=> $\hat{A B C} = 60 ° \Rightarrow \hat{A^{'} B C} = 120 ° \Rightarrow (\vec{A B}, \vec{B C}) = 120 °$

b) Gọi M là điểm đối xứng với A qua C.

Ta có $(\vec{A C}, \vec{C H}) = (\vec{C M}, \vec{C H}) = \hat{M C H}$ .

Ta có ∆ABC đều

=> $\hat{A C H} = 30 ° \Rightarrow \hat{M C H} = 150 ° \Rightarrow (\vec{A C}, \vec{C H}) = 150 °$ .

Quảng cáo

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\vec{A S} . \vec{B C}$ .

b) $\vec{A S} . \vec{A C}$ .

Hướng dẫn giải:

Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơxac-dinh-goc-giua-hai-vecto-va-tinh-tich-vo-huong-sm-277139.PNG" alt="Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)" width="261" height="249" />

a) Tam giác SAD có ba cạnh bằng nhau nên tam giác SAD đều suy ra $\hat{S A D} = 60 °$ .

Tứ giác ABCD là hình vuông nên $\vec{A D} = \vec{B C}$ nên $(\vec{A S}, \vec{B C}) = (\vec{A S}, \vec{A D}) = \hat{S A D} = 60 °$ .

Do đó $\vec{A S} . \vec{B C} = |\vec{A S}| . |\vec{B C}| . \cos 60 ° = a . a . \frac{1}{2} = \frac{a^{2}}{2}$ .

b) Tứ giác ABCD là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là a nên độ dài đường chéo AC là $a \sqrt{2}$ .

Tam giác SAC có SA = SC = a và AC = $\sqrt{2} a$ nên tam giác SAC vuông cân tại S.

Suy ra $\hat{S A C} = 45 °$ . Do đó $\vec{A S} \cdot \vec{A C} = |\vec{A S}| \cdot |\vec{A C}| . \cos \hat{S A C} = a . \sqrt{2} a . \frac{\sqrt{2}}{2} = a^{2}$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khi đó, góc giữa vectơ $\vec{A B}$ và vectơ $\vec{A D}$ là:

Quảng cáo

A. 90°;

B. 60°;

C. 45°;

D. 30°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơxac-dinh-goc-giua-hai-vecto-va-tinh-tich-vo-huong-sm-277140.PNG" alt="Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)" width="312" height="207" />

Ta có $(\vec{A B}, \vec{A D}) = \hat{D A B}$ .

Dễ thấy $A B ⊥ A D \Rightarrow \hat{D A B} = 90 °$ . Vậy $(\vec{A B}, \vec{A D}) = 90 °$ .

Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. Đáy là tam giác ABC vuông tại B. Khi đó góc giữa vectơ $\vec{B A}$ và vectơ $\vec{B^{'} C^{'}}$ bằng bao nhiêu?

A. 45°;

B. 120°;

C. 90°;

D. 30°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\vec{B^{'} C^{'}} = \vec{B C}$ .

Do đó $(\vec{B A}, \vec{B^{'} C^{'}}) = (\vec{B A}, \vec{B C}) = \hat{A B C}$ .

Mà tam giác ABC vuông tại B. Nên $\hat{A B C} = 90 ° \Rightarrow (\vec{B A}, \vec{B^{'} C^{'}}) = 90 °$ .

Bài 3. Cho hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 3, |\vec{v}| = 4$ và góc giữa hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ bằng 60°. Tích vô hướng $\vec{u}, \vec{v}$ bằng

A. 12;

B. 6;

C. −12;

D. −6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

$\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}| . |\vec{v}| . \cos (\vec{u}, \vec{v}) = 3.4. \cos 60 ° = 6$ .

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có AB = 4; $\hat{B A C} = 60 °; \vec{A B} . \vec{A C} = 6$ . Khi đó độ dài $\vec{A C}$ là

A. 3;

B. 6;

C. 4;

D. −12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\vec{A B} . \vec{A C} = |\vec{A B}| . |\vec{A C}| . \cos \hat{B A C}$ ⇔ $6 = 4. |\vec{A C}| . \cos 60 °$ ⇔ $|\vec{A C}| = 3$ .

Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $(\vec{A B}, \vec{A^{'} D^{'}}) = 90 °$ ;

B. $(\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}}) = 45 °$ ;

C. $(\vec{A C}, \vec{B^{'} D^{'}}) = 90 °$ ;

D. $(\vec{A^{'} A}, \vec{C B^{'}}) = 45 °$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơxac-dinh-goc-giua-hai-vecto-va-tinh-tich-vo-huong-sm-277141.PNG" alt="Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)" width="272" height="205" />

Ta có $(\vec{A B}, \vec{A^{'} D^{'}}) = (\vec{A B}, \vec{A D}) = 90 °$ .

$(\vec{A B}, \vec{A^{'} C^{'}}) = (\vec{A B}, \vec{A C}) = 45 °$ .

$(\vec{A C}, \vec{B^{'} D^{'}}) = (\vec{A C}, \vec{B D}) = 90 °$ .

$(\vec{A^{'} A}, \vec{C B^{'}}) = (\vec{C^{'} C}, \vec{C B^{'}}) = (\vec{C E}, \vec{C B^{'}}) = 135 °$ trong đó E là điểm đối xứng với C' qua C.

Bài 6. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính góc $(\vec{A B}, \vec{C D})$ .

A. $(\vec{A B}, \vec{C D}) = 60 °$ ;

B. $(\vec{A B}, \vec{C D}) = 90 °$ ;

C. $(\vec{A B}, \vec{C D}) = 120 °$ ;

D. $(\vec{A B}, \vec{C D}) = 180 °$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơxac-dinh-goc-giua-hai-vecto-va-tinh-tich-vo-huong-sm-277142.PNG" alt="Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)" width="207" height="212" />

Gọi M là trung điểm CD.

Ta có $\vec{A B} . \vec{C D} = (\vec{A M} + \vec{M B}) . \vec{C D} = \vec{A M} . \vec{C D} + \vec{M B} . \vec{C D}$ .

Do tam giác ACD đều nên $A M ⊥ C D \Rightarrow \vec{A M} . \vec{C D} = 0$ .

Và tam giác BCD đều nên BM ⊥ CD => $\vec{B M} . \vec{C D} = 0$ .

Vậy $\vec{A B} . \vec{C D} = (\vec{A M} + \vec{M B}) . \vec{C D} = \vec{A M} . \vec{C D} + \vec{M B} . \vec{C D} = 0$ => $\vec{A B} ⊥ \vec{C D}$ .

Do đó $(\vec{A B}, \vec{C D}) = 90 °$ .

Bài 7. Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ thỏa mãn $|\vec{a}| = 3, |\vec{b}| = 2$ và $\vec{a} . \vec{b} = - 3$ . Xác định góc α giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

A. α = 30°;

B. α = 45°;

C. α = 60°;

D. α = 120°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\vec{a} . \vec{b} = |\vec{a}| . |\vec{b}| . \cos (\vec{a}, \vec{b})$ => $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} . \vec{b}}{|\vec{a}| . |\vec{b}|} = - \frac{1}{2} \Rightarrow (\vec{a}, \vec{b}) = 120 °$ .

Bài 8. Cho tứ diện S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SB vuông góc với đáy và SB = $a \sqrt{3}$ . Góc giữa hai vectơ $(\vec{A B}, \vec{A S})$ là

A. 60°;

B. 45°;

C. 30°;

D. 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơxac-dinh-goc-giua-hai-vecto-va-tinh-tich-vo-huong-sm-277143.PNG" alt="Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)" width="253" height="258" />

Ta có $(\vec{A B}, \vec{A S}) = \hat{S A B}$ .

Xét tam giác SBA vuông tại B ta có $\tan \hat{S A B} = \frac{S B}{A B} = \sqrt{3}$ => $(\vec{A B}, \vec{A S}) = 60 °$ .

Bài 9. Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó $\cos (\vec{A B}, \vec{D M})$ bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ;

C. $\frac{1}{2}$ ;

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơxac-dinh-goc-giua-hai-vecto-va-tinh-tich-vo-huong-sm-277144.PNG" alt="Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)" width="274" height="219" />

Giả sử cạnh của tứ diện là a.

Ta có $\cos (\vec{A B}, \vec{D M}) = \frac{\vec{A B} . \vec{D M}}{|\vec{A B}| . |\vec{D M}|} = \frac{\vec{A B} . \vec{D M}}{a . \frac{a \sqrt{3}}{2}}$ .

Mặt khác $\vec{A B} . \vec{D M} = \vec{A B} . (\vec{A M} - \vec{A D}) = \vec{A B} . \vec{A M} - \vec{A B} . \vec{A D}$

= AB.AM.cos30° - AB.AD.cos60° = $a . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2} - a . a . \frac{1}{2} = \frac{3 a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{4}$ .

Do đó $\cos (\vec{A B}, \vec{D M}) = \frac{\sqrt{3}}{6}$ .

Bài 10. Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Ta có $\vec{A B} . \vec{E G}$ bằng

A. $a^{2} \sqrt{2}$ ;

B. a²;

C. $a^{2} \sqrt{3}$ ;

D. $\frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{A B} . \vec{E G} = \vec{A B} . (\vec{E F} + \vec{E H}) = \vec{A B} . \vec{E F} + \vec{A B} . \vec{E H} = {\vec{A B}}^{2} + \vec{A B} . \vec{A D} = a^{2}$ .

(vì $\vec{E H} = \vec{A D}$ và $\vec{A B} ⊥ \vec{A D}$ nên $\vec{A B} . \vec{A D} = 0$ ).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

HOT 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường ĐH fle word có đáp án (2025).

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho 2k7:

TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

+ Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

500+ đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia form 2025

( 128 tài liệu )

100+ đề thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh...

( 84 tài liệu )

Đề thi giữa kì, cuối kì 12

( 143 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 12....

( 31 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...12

( 104 tài liệu )

Đề thi HSG 12

( 4 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.