Cách biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai lớp 9 (cực hay, có đáp án)

---

---

Bài viết Cách biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai.

Cách biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai lớp 9 (cực hay, có đáp án)

(199k) Xem Khóa học Toán 9 KNTTXem Khóa học Toán 9 CDXem Khóa học Toán 9 CTST

Lý thuyết và Phương pháp giải

    1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

    với B ≥ 0

    2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

    với A ≥ 0; B ≥ 0

    với A < 0; B ≥ 0

    3. Khử mẫu ở biểu thức chứa căn

    với AB ≥ 0; B ≠ 0

    4. Trục căn thức ở mẫu

    (A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B)

    5. Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai

    Bước 1: Dùng các phép biến đổi đơn giản để đưa các căn thức bậc hai phức tạp thành căn thức bậc hai đơn giản.

    Bước 2: Thực hiện các phép tính theo thứ tự đã biết.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần:

Lời giải:

<

    a) Đưa thừa số vào trong dấu căn ta được:

    5√2 = √50; 2√5 = √20; 2√3 = √12; 3√2 = √18

    Mà √12 < √18 < √20 < √50

    ⇒ 2√3 < 3√2 < 2√5 < 5√2

    b) Đưa thừa số vào trong dấu căn ta được:

    6√(1/3) = √12; 2√8 = √32; 5√3 = √75

    Mà √12 < √27 < √32 < √75

    ⇒ 6√(1/3) < √27 < 2√8 < 5√3

    Nhận xét: Khi so sánh các căn thức với nhau, ta nên đưa các thừa số vào trong dấu căn, sau đó mới so sánh.

Ví dụ 2: Tính:

Lời giải:

Ví dụ 3: Chứng minh đẳng thức sau:

Lời giải:

    Biến đổi vế trái, ta được:

    Vế trái bằng vế phải, ta được điều phải chứng minh.

Ví dụ 4:Cho:

    Tính giá trị của biểu thức A = (x⁴ - x³ - x² + 2x - 1)²⁰¹⁸

Lời giải:

    Biến đổi biểu thức ở mẫu của x, ta được:

Ví dụ 5: Cho biểu thức:

    a) Rút gọn P

    b) Tính giá trị của P với x = 14 - 6√5

    c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Lời giải:

    a) ĐKXĐ: x ≥ 0; x ≠ 9. Ta có:

    b) x = 14 - 6√5 = (3 - √5)² thỏa mãn ĐKXĐ. Thay vào ta có:

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm , ta có:

    ⇒ P ≥ 6 - 2 = 4

    Dấu bằng xảy ra khi:

    ⇒ (√x + 1)² = 9 ⇒ √x + 1 = 3 ⇒ x = 4

    Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4, đạt được khi x = 4

Bài tập tự luyện

Bài 1.

a) Khử căn thức ở mẫu số: $A=\frac{59}{\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}}$;

b) Rút gọn các biểu thức sau: $\frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{2-\sqrt{2}}$;

Hướng dẫn giải

b) Cách 1: Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn:

Cách 2: Trục căn thức ở mẫu:

Bài 2. Rút gọn biểu thức:

a) $2\sqrt{\frac{27}{4}}-\sqrt{\frac{48}{9}}-\frac{2}{5}\sqrt{\frac{75}{16}};$

b) $(\sqrt{99}-\sqrt{18}-\sqrt{11}).\sqrt{11}+3\sqrt{22};$

c) $(\sqrt{5}+\sqrt{3}).\sqrt{8-2\sqrt{15}};$

d) $(\sqrt{48}-2\sqrt{3}+2\sqrt{4}).\sqrt{5}-2\sqrt{45}:\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải:

Bài 3. Cho $\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}=\sqrt{2}$. Với $\left(x\right)<1;x\ne 0.$

Chứng minh rằng $\frac{x-1}{x+1}=12\sqrt{2}-17$.

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: x ≠ 0

Khi đó, (1) $\iff \frac{2+2\sqrt{1-x^2}}{2x}=\sqrt{2}$ $\iff 1+\sqrt{1-x^2}=\sqrt{2}x$ $\iff \sqrt{1-x^2}=\sqrt{2}x-1$

Bình phương hai vế, ta được: $1-x^2=2x^2-2\sqrt{2}x+1\iff 3x^2-2\sqrt{2}x=0$

Vì x ≠ 0 nên $x(3x-2\sqrt{2})=0\iff 3x-2\sqrt{2}=0\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Xét

Điều phải chứng minh

Bài 4. Tính giá trị biểu thức M = x⁵ – 6x³ + x tại $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$ = $\frac{(3+\sqrt{2})(2\sqrt{2}+1)}{8-1}$ = $\frac{7\sqrt{2}+7}{7}=\sqrt{2}+1$

$\Rightarrow x=\sqrt{2}+1\Rightarrow x^2=3+2\sqrt{2}$

Ta có: $x^3=x.x^2=(\sqrt{2}+1)(3+2\sqrt{2})=5\sqrt{2}+7$

$\Rightarrow x^5=x^2.x^3=(3+2\sqrt{2})(5\sqrt{2}+7)=29\sqrt{2}+41$

Thay x⁵, x³ và x vào biểu thức M, ta được:

$M=29\sqrt{2}+41-6(5\sqrt{2}+7)+\sqrt{2}+1=29\sqrt{2}+41-30\sqrt{2}-42+\sqrt{2}+1=0$

Vậy tại $x=\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$ thì giá trị của M là 0

Bài 5. Cho biểu thức $N=\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$

a) Rút gọn biểu thức N;

b) Tính giá trị của N khi $x=11-6\sqrt{2}$;

c) Tìm các giá trị của x nguyên để N nguyên.

Hướng dẫn giải:

a) Rút gọn biểu thức N:

b) Ta có: $x=11-6\sqrt{2}={(3-\sqrt{2})}^2$ $\Rightarrow \sqrt{x}=\sqrt{{(3-\sqrt{2})}^2}=3-\sqrt{2}$

Thay $x=3-\sqrt{2}$ vào biểu thức N, ta được:

$N=\frac{3-\sqrt{2}+1}{3-\sqrt{2}-3}$ = $\frac{4-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}$ = $\frac{-\sqrt{2}(-2\sqrt{2}+1)}{-\sqrt{2}}=-2\sqrt{2}+1$

Giá trị của N khi $x=11-6\sqrt{2}$ là $-2\sqrt{2}+1.$

c) $N=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$ = $\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}$ = $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-3}+\frac{4}{\sqrt{x}-3}$ = $1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}$

Để N nguyên khi $1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow \frac{4}{\sqrt{x}-3}\in \mathbb{Z}$

Suy ra$\sqrt{x}-3\in Ư\left(4\right)=\{\pm 1;\pm 2;\pm 4\}$

$\sqrt{x}-3$	– 1	– 2	– 4	1	2	4
$\sqrt{x}-3$	2	1	– 1	4	5	7
x	4	1	Loại	16	25	49
	(TM)	(TM)		(TM)	(TM)	(TM)

Vậy $x\in \{1;4;16;25;49\}$ để N nguyên

Bài 6. Xác định a, b biết rẳng: $\frac{13}{3\sqrt{7}+\sqrt{11}}+\frac{17}{4\sqrt{7}+2\sqrt{11}}$ = $a\sqrt{7}+b\sqrt{11}$.

Bài 7. Cho $A=\frac{3+\sqrt{5}}{4+\sqrt{2(3+\sqrt{5})}}$ và $B=\frac{3-\sqrt{5}}{4-\sqrt{2(3-\sqrt{5})}}$.

Chứng minh: $A^3-B^3=\frac{4\sqrt{5}}{25}.$

Bài 8. Cho biểu thức:

a) Rút gọn M;

b) Tìm giá trị lớn nhất của M.

Bài 9. Cho biểu thức $P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2(x-1)}{\sqrt{x}-1}$

a) Rút gọn biểu thức P;

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P;

c) Tìm x để biểu thức $Q=\frac{2\sqrt{x}}{P}$ nhận giá trị nguyên.

Bài 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}$

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

• Lý thuyết Chương 1: Căn bậc hai, Căn bậc ba
• Chủ đề: Căn bậc hai
• Chủ đề: Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương
• Chủ đề: Cách biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai cực hay, có đáp án
• Chủ đề: Căn bậc ba
• Chủ đề: Dùng biểu thức liên hợp để giải toán
• Chủ đề: Giải phương trình chứa dấu căn
• Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Căn bậc hai (phần 1 - có đáp án)
• Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Căn bậc hai (phần 2 - có đáp án)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

---

---

---