Cách giải phương trình chứa dấu căn lớp 9 (cực hay, có đáp án)

---

---

Bài viết Cách giải phương trình chứa dấu căn lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải phương trình chứa dấu căn cực.

Cách giải phương trình chứa dấu căn lớp 9 (cực hay, có đáp án)

Lý thuyết và Phương pháp giải

    Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn có nhiều cách giải, sau đây là một số phương pháp thường dùng:

        + Nâng lên lũy thừa

        + Đặt ẩn phụ

        + Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

        + Sử dụng bất đẳng thức, đánh giá hai vế của phương trình

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

    a) (√x - 2)(5 - √x) = 4 - x

Lời giải:

    a) Dạng 1: Đưa phương trình đã cho về phương trình tích

    ĐK: x ≥ 0

    (√x - 2)(5 - √x) = 4 - x

    ⇔ (√x - 2)(5 - √x) = (2 - √x)(2 + √x)

    ⇔ (√x - 2)(5 - √x + 2 + √x) = 0

    ⇔ 7(√x - 2) = 0

    ⇔ √x - 2 = 0 ⇔ x = 4

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

    b) Dạng 2: Đánh giá điều kiện của phương trình.

    ĐK:

    Thay x = 5 vào phương trình thấy không thỏa mãn

    Vậy phương trình vô nghiệm

    c) Dạng 3: Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

    ⇔ |x - 4| = x + 2

    Vậy phương trình có nghiệm x = 1

    d) Dạng 4: Đánh giá 2 vế của phương trình.

    Vế trái của phương trình

    Vế phải của phương trình 6 - (x + 1)² ≤ 6

    Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = -1

    Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

    Chú ý: Các phương trình trên đều quy về phương trình dạng:

    A + B + C = 0 (*)

    Trong đó: A, B, C ≥ 0 nên phương trình (*) ⇔ A = B = C = 0.

Lời giải:

    ĐK: x ≥ 0; y ≥ 1; z ≥ 2

    Phương trình tương đương với:

    Vậy phương trình có nghiệm x = -3.

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

Lời giải:

    ĐK: x ≠ 0; x ≠ 1; x ≥ (-1)/3

    Do ∀x thỏa mãn ĐK nên

    2x - 1 = 0 ⇔ x = 1/2 (TMĐK)

    Vậy phương trình có nghiệm x = 1/2

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

    Phương pháp giải: Phương trình có dạng:

    Dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa về: m + n = c + mn.

Lời giải:

    Đặt

    Phương trình có dạng: a + b = 1 + ab

    ⇔ a - 1 + b - ab = 0

    ⇔ a - 1 + b(1 - a) = 0

    ⇔ (a - 1)(1 - b) = 0

Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các phương trình

a) $\sqrt{10(x-3)}=\sqrt{26};$

b) $\sqrt{36x-72}-5\sqrt{\frac{x-2}{25}}=4(5+\sqrt{x-2});$

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{10(x-3)}=\sqrt{26};$

Điều kiện: $x-3\ge 0\iff x\ge 3$

$\sqrt{10(x-3)}=\sqrt{26}\iff 10(x-3)=26\iff 10x=56\iff x=\frac{56}{10}$

Vậy phương trình có nghiệm S = $\left\{\frac{56}{10}\right\}$

b) $\sqrt{36x-72}-5\sqrt{\frac{x-2}{25}}=4(5+\sqrt{x-2})$

Điều kiện: $x-2\ge 0\iff x\ge 2$

$\sqrt{36x-72}-5\sqrt{\frac{x-2}{25}}=4(5+\sqrt{x-2})$

$\iff \sqrt{36(x-2)}-5\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{25}}=4.5+4\sqrt{x-2}$

$\iff \sqrt{36}.\sqrt{x-2}-5\frac{\sqrt{x-2}}{5}=20+4\sqrt{x-2}$

$\iff 6\sqrt{x-2}-\sqrt{x-2}-4\sqrt{x-2}=20$

$\iff (6-1-4)\sqrt{x-2}=20\iff x-2=400\iff x=402$

Vậy phương trình có nghiệm S = {402}

Bài 2. Giải phương trình: $\sqrt{x^2+6x+9}=3x-6$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: $3x-6\ge 0\iff 3x\ge 6\iff x\ge 2$

$$\begin{gathered} \sqrt{x^2+6x+9}=3x-6 \\ \iff \sqrt{{(x+3)}^2}=3x-6 \\ \iff \left|x+3\right|=3x-6 \\ \iff [\begin{array}{c}x+3=3x+6\\ x+3=-3x+6\end{array} \\ \iff [\begin{array}{c}-2x=-9\\ 4x=3\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{9}{2}\left(tm\right)\\ x=\frac{3}{4}\left(ktm\right)\end{array} \end{gathered}$$

Vậy phương trình có nghiệm S = {$\frac{9}{2}$}

Bài 3. Phương trình $\sqrt{25x^2-9}=2\sqrt{5x-3}$ có nghiệm $x=\frac{a}{b}$. Hãy tính tổng a + b.

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{25x^2-9}=2\sqrt{5x-3}\iff \sqrt{25x^2-9}=\sqrt{4(5x-3)}\iff \sqrt{25x^2-9}=\sqrt{20x-12}$

Điều kiện: $20x-12\ge 0\iff 20x\ge 12\iff x\ge \frac{3}{5}$

Ta có: $\sqrt{25x^2-9}=\sqrt{20x-12}$

$$\begin{gathered} \iff 25x^2-9=20x-12 \\ \iff 25x^2-20x+3=0 \\ \iff (5x-1)(5x-3)=0 \\ \iff [\begin{array}{c}5x-1=0\\ 5x-3=0\end{array}\iff [\begin{array}{c}5x=1\\ 5x=3\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{1}{5}\left(ktm\right)\\ x=\frac{3}{5}\left(tm\right)\end{array} \end{gathered}$$

Vậy phương trình có nghiệm S = {$\frac{3}{5}$}

Ta thấy x = $\frac{a}{b}=\frac{3}{5}.$ Vậy tổng a + b = 3 + 5 = 8.

Bài 4. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}-\sqrt{x+9-6\sqrt{x}}=1$(*)

Hướng dẫn giải:

- Điều kiện: x$\ge$0

- Mặt khác, ta thấy: $\sqrt{x+4-4\sqrt{x}}-\sqrt{x+9-6\sqrt{x}}=\sqrt{{(\sqrt{x}-2)}^2}-\sqrt{{(\sqrt{x}-3)}^2}$ nên ta có:

(*) $\iff \left|\sqrt{x}-2\right|-\left|\sqrt{x}-3\right|=1$(**)

- Ta xét các trường hợp để phá dấu trị tuyệt đối:

+ Trường hợp 1: Nếu $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-2\ge 0\\ \sqrt{x}-3\ge 0\end{array}\right.\iff \sqrt{x}\ge 3\iff x\ge 9$ ta có:

(**)$\iff \sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3=1\iff 0.\sqrt{x}=0$

⇒ Phương trình có vô số nghiệm $x\ge 9$.

+ Trường hợp 2: Nếu $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-2\ge 0\\ \sqrt{x}-3<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 4\\ x<9\end{array}\right.\iff 4\le x<9$ ta có:

(**) $\iff (\sqrt{x}-2)-(3-\sqrt{x})=1\iff 2\sqrt{x}=6\iff x=9$

⇒ Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 9 không thỏa mãn nên loại.

+ Trường hợp 3: Nếu $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-2<0\\ \sqrt{x}-3\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x<4\\ x\ge 9\end{array}\right.\iff x\in \varnothing$.

+ Trường hợp 4: Nếu $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-2<0\\ \sqrt{x}-3<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x<4\\ x<9\end{array}\right.\iff x<4$ ta có:

(**) $\iff (\sqrt{x}-2)-(3-\sqrt{x})=1\iff 0.\sqrt{x}=0$

⇒ Phương trình có vô nghiệm.

Vậy phương trình có vô số nghiệm khi x$\ge$9.

Bài 5. Giải phương trình: $\sqrt[3]{x-1}=2$

Hướng dẫn giải:

$\sqrt[3]{x-1}=2\iff x-1=2^3\iff x-1=8\iff x=9.$

Bài 6. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2-3}=\sqrt{4x-3};$

b) $\sqrt{x^2-x-6}=\sqrt{x-3};$

c) $\sqrt{x^2-4x+4}=\sqrt{4x^2-12x+9}.$

Bài 7. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2-8x+16}+\left|x+2\right|=0$

Bài 8. Giải các phương trình sau:

a) $\frac{\sqrt{2x-3}}{\sqrt{x-1}}=2;$

b) $\frac{10x-3}{\sqrt{2x+1}}=\sqrt{2x+1};$

c) $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-5}=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-6}.$

Bài 9. Giải các phương sau:

a) $\sqrt[3]{x+1}=\sqrt{x-3};$

b) $3\sqrt[3]{x-3}+4\sqrt[3]{8x-24}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{3}.\sqrt[3]{9x-27}=-20$

Bài 10. Tính tổng số nghiệm của phương trình: $\sqrt[3]{13-x}+\sqrt[3]{22+x}=5.$

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

• Lý thuyết Chương 1: Căn bậc hai, Căn bậc ba
• Chủ đề: Căn bậc hai
• Chủ đề: Liên hệ phép nhân, phép chia với phép khai phương
• Chủ đề: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai
• Chủ đề: Căn bậc ba
• Chủ đề: Dùng biểu thức liên hợp để giải toán
• Chủ đề: Cách giải phương trình chứa dấu căn cực hay, có đáp án
• Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Căn bậc hai (phần 1 - có đáp án)
• Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Căn bậc hai (phần 2 - có đáp án)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---

---

---