Chuyên đề Đa giác đều (Chuyên đề dạy thêm Toán 9)

Tài liệu Chuyên đề Đa giác đều trong Chuyên đề dạy thêm Toán 9 gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 9.

Chuyên đề Đa giác đều (Chuyên đề dạy thêm Toán 9)

Xem thử CĐDT Toán 9 KNTT Xem thử CĐDT Toán 9 CTST Xem thử CĐDT Toán 9 CD

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 9 (cả 3 sách) bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Đa giác đều

- Những hình như Hình 9.38 được gọi chung là các đa giác.

- Đa giác ABCDE (H.9.38a) là hình gồm năm đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào có một điểm chung cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. Đa giác ABCDE có năm đỉnh là các điểm A, B, C, D, E; năm cạnh là các đoạn thẳng AB, BC, CD, DE, EA và năm góc là các góc EAB, ABC, BCD, CDE, DEA.

- Nếu với một cạnh bất kì của đa giác, các đỉnh không thuộc cạnh đó đều nằm về một phía đối với đường thẳng chứa cạnh đó thì đa giác được gọi là đa giác lồi. Các đa giác trong Hình 9.38 a, b, d là các đa giác lồi. Đa giác trong Hình 9.38c không phải đa giác lồi.

Định nghĩa: Đa giác đều là một đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Người ta chứng minh được rằng các đỉnh của mỗi đa giác đều luôn cùng nằm trên một đường tròn, được gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác, tâm đường tròn được gọi là tâm của đa giác và đa giác được gọi là nội tiếp đường tròn đó.

Ví dụ 1. a) Dưới đây là hình các đa giác đều thường gặp trong hình học (H.9.41).

b) Trong nghệ thuật, kiến trúc, công nghệ chế tạo và thế giới tự nhiên có nhiểu hình phẳng có dạng đa giác đều. Những hình phẳng này không chỉ đẹp vì sự cân đối hài hoà mà còn tối ưu trong việc sắp xếp và sử dụng (H.9.42).

Ví dụ 2. Trong các hình phẳng dưới đây, hình phẳng nào có dạng là một đa giác đều?

Lời giải

Ta thấy đa giác trong hình a không phải đa giác lồi, đa giác trong hình b là hình thoi có các góc không bằng nhau, đa giác trong hình c là bát giác có các cạnh không bằng nhau, đa giác trong hình d là hình vuông. Do vậy chỉ có hình phẳng trong hình d có dạng đa giác đều.

Ví dụ 3. Cho tam giác đều ABC có cạnh 6 cm. Trên cạnh AB lấy các điểm M, N; trên cạnh BC lấy các điểm P; Q trên cạnh CA lấy các điểm E,F sao cho các đoạn thẳng AM, MN, NB, BP, PQ, QC, CE, EF, FA đều bằng 2 cm như Hình 9.43. Hỏi MNPQEF có là một lục giác đều hay không?

Lời giải

Theo Hình 9.43, ta thấy MNPQEF là một đa giác lồi. Ta có $\frac{AM}{AB}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$.

Theo định lí Thalès đảo cho tam giác ABC và đường thẳng MF thì MF // BC.

Suy ra $\frac{MF}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3}$. Do đó $MF=\frac{BC}{3}=2 \text{cm}$. Tương tự, NP = QE = 2cm.

Vậy lục giác MNPQEF có tất cả các cạnh bằng nhau.

Mặt khác, tam giác AMF là tam giác đều vì AM = MF = FA = 2cm nên $\widehat{FMA}=60°$ và $\widehat{FMN}=180°-\widehat{FMA}=120°.$

Tương tự các góc tại các đỉnh N, P, Q, E, F của lục giác MNPQEF đều bằng nhau và bằng $120°$. Vậy lục giác MNPQEF có các cạnh và các góc bằng nhau. Do đó MNPQEF là lục giác đều.

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Nhận dạng đa giác đều

Ví dụ 1. Tìm các đa giác lồi trong hình vẽ và giải thích.

Lời giải

Các đa giác trong hình a, c, e là các đa giác lồi vì đa giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa một cạnh bất kì của đa giác.

Đa giác ở hình b không phải là đa giác lồi vì không cùng nằm về một phía so với đường thẳng AD  hoặc BC.

Ở hình d cũng không phải là đa giác lồi vì không cùng nằm về một phía so với đường thẳng BC hoặc DC.

Ví dụ 2. Trong các hình phẳng sau, hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều?

Lời giải

Hình phẳng có dạng đa giác đều là hình b và d.

Ví dụ 3. Cho đường tròn (O; R). Lấy các điểm A, B, C, D, E, F trên đường tròn (O; R) sao cho số đo các cung $\stackrel{⏜}{AB},\stackrel{⏜}{BC},\stackrel{⏜}{CD},\stackrel{⏜}{DE},\stackrel{⏜}{EF},\stackrel{⏜}{FA}$ bằng nhau. Đa giác ABCDEF có là đa giác đều không?

Lời giải

Ta có $sd\stackrel{⏜}{AB}=sd\stackrel{⏜}{BC}=sd\stackrel{⏜}{CD}=sd\stackrel{⏜}{DE}$ $=sd\stackrel{⏜}{EF}=sd\stackrel{⏜}{FA}=\frac{{360}^{°}}{6}={60}^{°}$.

Xét tam giác AOB cân tại O có $\widehat{\text{AOB}}={60}^{°}$ (vì $sd\stackrel{⏜}{AB}={60}^{°}$)

$\Rightarrow △AOB$ đều nên AB = R và $\widehat{ABO}={60}^{°}$ (1)

Tương tự với tam giác BOC đều $\Rightarrow \widehat{\text{OBC}}={60}^{°}$ và BC = R (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{ABO}}+\widehat{\text{OBC}}={60}^{°}+{60}^{°}={120}^{°}$ và  AB = BC = R.

Chứng minh tương tự với các cạnh và các góc còn lại ta có đa giác ABCD có:

AB = BC = CD = DE = EF = FA = R

Và các góc $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{\text{BCD}}=\widehat{\text{CDE}}$ $=\widehat{\text{DEF}}=\widehat{\text{EFA}}=\widehat{\text{FAB}}=120°$. Do đó ABCDEF là một đa giác đều.

Ví dụ 4. Cho ngũ giác ABCDE có các cạnh bằng nhau và $\widehat{\text{A}}=\widehat{\text{B}}=\widehat{\text{C}}=$$108°$. Ngũ giác ABCDE có phải là ngũ giác đều không?

Hướng dẫn: Để chứng minh ngũ giác ABCDE đều ta phải chứng minh:

* Các cạnh bằng nhau (giả thiết đã cho).

* Các góc bằng nhau: $\widehat{\text{D}}=\widehat{\text{E}}=108°$.

Lời giải

Ta có: AB = BC = CD = DE = EA (gt) (*).

Xét tam giác ABE có AB = AE (gt) nên $△ABE$ cân tại A có $\widehat{\text{A}}={108}^{°}$ (gt).

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{E_1}=\frac{{180}^{°}-\widehat{A}}{2}=\frac{{180}^{°}-{108}^{°}}{2}={36}^{°}$

Tương tự với tam giác BCD , ta có: $\widehat{B_3}=\widehat{D_1}$.

Lại có $\widehat{\text{ABC}}=\widehat{B_1}+\widehat{B_2}+\widehat{B_3}={108}^{°}$ $\Rightarrow \widehat{B_2}={108}^{°}-\left(\widehat{B_1}+\widehat{B_3}\right)$ $\Rightarrow \widehat{B_2}={108}^{°}-\left({36}^{°}+{36}^{°}\right)={36}^{°}$

Dễ thấy $△ABE=△CBD(c.g.c)$ $\Rightarrow BE=BD$ hay tam giác EBD cân tại B có

$\widehat{B_2}={36}^{°}$

$\Rightarrow \widehat{E_2}=\widehat{D_2}=\frac{{180}^{°}-\widehat{B_2}}{2}=\frac{{180}^{°}-{36}^{°}}{2}={72}^{°}$

Khi đó $\widehat{\text{AED}}={\widehat{\text{E}}}_1+{\widehat{\text{E}}}_2={36}^{°}+{72}^{°}={108}^{°}$

Tương tự $\widehat{\text{CDE}}={108}^{°}$. Vậy $\widehat{\text{A}}=\widehat{\text{B}}=\widehat{\text{C}}=\widehat{\text{D}}=\widehat{\text{E}}={108}^{°}$(**)

Từ ${}^{(*)}$  và $\left({}^{(*)}\right)\Rightarrow$ Ngũ giác ABCDE là ngũ giác đều (Các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau).

................................

................................

................................

Xem thử CĐDT Toán 9 KNTT Xem thử CĐDT Toán 9 CTST Xem thử CĐDT Toán 9 CD

Xem thêm các chuyên đề dạy thêm Toán lớp 9 hay khác:

• Chuyên đề Đường tròn

• Chuyên đề Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

• Chuyên đề Tần số và tần số tương đối

• Chuyên đề Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

• Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

• Chuyên đề Một số hình khối trong thực tiễn

• Chuyên đề Một số yếu tố thống kê

• Chuyên đề Một số yếu tố xác suất

• Chuyên đề Tứ giác nội tiếp. Đa giác đều

• Chuyên đề Một số yếu tố thống kê và xác suất

• Chuyên đề Hình học trực quan

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---