Chuyên đề Tứ giác nội tiếp. Đa giác đều (Chuyên đề dạy thêm Toán 9)

Tài liệu Chuyên đề Tứ giác nội tiếp. Đa giác đều trong Chuyên đề dạy thêm Toán 9 gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 9.

Chuyên đề Tứ giác nội tiếp. Đa giác đều (Chuyên đề dạy thêm Toán 9)

Xem thử CĐDT Toán 9 KNTT Xem thử CĐDT Toán 9 CTST Xem thử CĐDT Toán 9 CD

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 9 (cả 3 sách) bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

Khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định nghĩa:

Đường tròn ngoại tiếp một tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác đó.

Trong Hình 9.13, đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Ta cunng nói tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hay (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tâm O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 2cm, AC = 4cm. Vẽ đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC và tính bán kính R.

Lời giải

Lấy O là trung điểm của BC và vẽ đường tròn (O) đi qua A.

Khi đó, (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Theo định lí Pythagore, ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ = 4 + 16 = 20 nên $BC=2\sqrt{5}( \text{cm})$

Vậy đường tròn (O) có bán kính $R=\frac{BC}{2}=\sqrt{5} \text{cm}$.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}a$.

Ví dụ 2. Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 3 cm. Vẽ đường tròn (O;R) ngoại tiếp tam giác ABC. Tính bán kính R.

Lời giải

Lấy O là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác ABC và vẽ đường tròn (O) đi qua A. Đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABC  có bán kính $R=\frac{\sqrt{3}}{3}BC=\sqrt{3} \text{cm}$.

2. ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Đường tròn nội tiếp tam giác

Tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác. Tam giác đó được gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác.

Chú ý:

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác nghĩa là tiếp xúc với đường thẳng chứa cạnh đó và có tiếp điểm nằm trên cạnh đó.

Đường tròn nội tiếp tam giác đều

Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm của tam giác đó và bán kính bằng $\frac{\sqrt{3}}{6}a$.

Ví dụ 3.  Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Biết rằng $\widehat{A}=40°,\widehat{B}=60°$. Tính số đo của các góc BIC, CIA và AIB.

Lời giải

Vì tổng ba góc của tam giác ABC bằng $180°$ nên $\widehat{ACB}=180°-\widehat{BAC}-\widehat{ABC}=80°$.

Vì tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) nên I là giao điểm các đường phân giác của tam giác ABC. Do đó, ta có: $\widehat{CAI}=\widehat{BAI}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=20°$; $\widehat{CBI}=\widehat{ABI}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=30°$; $\widehat{ACI}=\widehat{BCI}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=40°$

Vì tổng các góc trong tam giác BIC bằng $180°$ nên $\widehat{BIC}=180°-\widehat{CBI}-\widehat{BCI}$ $=180°-30°-40°=110°$

Tương tự, $\widehat{CIA}=180°-\widehat{ACI}-\widehat{CAI}=120°$ và $\widehat{AIB}=180°-\widehat{ABI}-\widehat{BAI}=130°$.

B. CÁC DẠNG TOÁN

DẠNG 1. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ TÍNH BÁN KÍNH  ĐƯỜNG TRÒN NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP TAM GIÁC

1. Phương pháp

• Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng nửa cạnh huyền của tam giác vuông đó.

• Trong một tam giác đều, trọng tâm của tam giác đồng thời là tâm của đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác đó.

• Tam giác đều cạnh có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $R=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ và bán kính đường tròn nội tiếp là $r=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình vẽ sau:

a) Hình nào có đường tròn (O)  ngoại tiếp tam giác ABC? Giải thích?

b) Hình nào có đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC? Giải thích?

Lời giải

a) Hình a), đường tròn (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vì nó đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác  ABC.

b) Hình d), đường tròn (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC vì nó tiếp xúc ba cạnh AB, BC, CA của tam giác  ABC.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC  vuông tại A, có AB = 10 cm và $AC=\sqrt{21}cm$. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lời giải

Xét ABC vuông tại A, theo pythagore ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

$B{C}^2={10}^2+{\left(\sqrt{21}\right)}^2$

$B{C}^2=121$

$\Rightarrow BC=\sqrt{121}=11\left(cm\right)$

Tam giác ABC  vuông tại A nên bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng nữa cạnh huyền BC hay $R=\frac{BC}{2}=\frac{11}{2}=\mathrm{5,5}\left(cm\right)$

Ví dụ 3. Cho $\Delta ABC$  vuông tại A, có AB = 6cm và AC = 8cm ngoại tiếp đường tròn (I; r). Tính r

Lời giải

Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh AB, AC, BC theo thứ tự M, N, P

Ta có: $S_{AIB}=\frac{1}{2}IM.AB=\frac{1}{2}r.AB\left(1\right)$; $S_{AIC}=\frac{1}{2}IN.AC=\frac{1}{2}r.AC\left(2\right)$; $S_{BIC}=\frac{1}{2}r.BC\left(3\right)$

Cộng (1); (2); (3) vế theo vế, ta được: $\frac{S_{AIB}+S_{AIC}+S_{BIC}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}r.\left(AB+AC+BC\right)$

Mà  $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{6.8}{2}=24\left(c{m}^2\right)$, $BC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\left(cm\right)$

Nên ta có: $24=\frac{1}{2}r\left(6+8+10\right)\Rightarrow r=2\left(cm\right)$.

Ví dụ 4. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a.

Lời giải

Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đều ABC thì O đồng thời cũng là trọng tâm và trực tâm của tam giác. Ta có $\text{OA}=\text{OB}=\text{OC}=\frac{2}{3}\text{AH}$  (H là chân đường cao kẻ từ A) (Xem hình vẽ).

Do đó O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.

Mặt khác, xét tam giác AHB vuông tại H.

Theo định lí Pythagore, ta có: ${\text{AB}}^2={\text{AH}}^2+{\text{HB}}^2$ $\Rightarrow {\text{AH}}^2={\text{AB}}^2-{\text{HB}}^2={\text{a}}^2-{\left(\frac{\text{a}}{2}\right)}^2$

$\Rightarrow \text{AH}=\sqrt{{\text{a}}^2-{\left(\frac{\text{a}}{2}\right)}^2}=\frac{\text{a}\sqrt{9}}{2}$

$\Rightarrow \text{AO}=\frac{2}{3}\text{AH}=\frac{2}{3}\cdot \frac{\text{a}\sqrt{3}}{2}=\frac{\text{a}\sqrt{3}}{3}$(Tính chất trọng tâm)

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a có tâm là trọng tâm tam giác và có bán kính $\frac{\text{a}\sqrt{3}}{3}$

................................

................................

................................

Xem thử CĐDT Toán 9 KNTT Xem thử CĐDT Toán 9 CTST Xem thử CĐDT Toán 9 CD

Xem thêm các chuyên đề dạy thêm Toán lớp 9 hay khác:

• Chuyên đề Đường tròn

• Chuyên đề Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

• Chuyên đề Tần số và tần số tương đối

• Chuyên đề Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

• Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

• Chuyên đề Một số hình khối trong thực tiễn

• Chuyên đề Một số yếu tố thống kê

• Chuyên đề Một số yếu tố xác suất

• Chuyên đề Một số yếu tố thống kê và xác suất

• Chuyên đề Đa giác đều

• Chuyên đề Hình học trực quan

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---