Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp (Chuyên đề dạy thêm Toán 9)

Tài liệu Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp trong Chuyên đề dạy thêm Toán 9 gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 9.

Chuyên đề Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp (Chuyên đề dạy thêm Toán 9)

Xem thử CĐDT Toán 9 KNTT Xem thử CĐDT Toán 9 CTST Xem thử CĐDT Toán 9 CD

Chỉ từ 300k mua trọn bộ Chuyên đề dạy thêm Toán 9 (cả 3 sách) bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

1. Nhận biết góc nội tiếp

Định nghĩa

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn.

Ví dụ 3. Tìm góc nội tiếp chắn cung AB của đường tròn (O) trong Hình 14.

Lời giải

Trong Hình $\mathrm{14,}\widehat{\text{ACB}}$ là góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{\text{AB}}$ của đường tròn $\left(\text{O}\right)$.

2. Số đo góc nội tiếp

Định lí

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.

Gọi $\widehat{\text{AMB}}$ là góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{\text{AB}}$ trên đường tròn (O). Định lí trên có giả thiết và kết luận như sau:

Chứng minh: Ta xét ba trường hợp:
a) Truờng hợp 1: Tâm O nằm trên một cạnh của $\widehat{\text{AMB}}$, chẳng hạn cạnh MA (Hình 16a).

Ta có tam giác OMB cân tại O, suy ra $\widehat{\text{AMB}}=\widehat{\text{OBM}}$.

Ta có $\widehat{\text{AOB}}={180}^{\circ }-\widehat{\text{MOB}}=$$\widehat{\text{AMB}}+\widehat{\text{OBM}}=2\widehat{\text{AMB}}$, suy ra $\widehat{\text{AMB}}=\frac{\widehat{\text{AOB}}}{2}=\frac{\text{ sđ }\stackrel{⏜}{AB}}{2}$.

Vậy trong Trường hợp 1, ta có $\widehat{\text{AMB}}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{\text{AB}}$.

b) Truờng hợp 2: Tâm O nằm bên trong góc $\widehat{\text{AMB}}$ (Hình 16b).

Vẽ đường kính MC. Ta có $\widehat{\text{AMB}}=\widehat{\text{AMC}}+\widehat{\text{BMC}}$.

Áp dụng kết quả của Trường hợp 1 cho hai góc nội tiếp. Vậy trong Trường hợp 2, ta có $\widehat{\text{AMB}}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{AB}$.

c) Trường hợp 3: Tâm O nằm ngoài góc $\widehat{\text{AMB}}$ (Hình 16c).

Vẽ đường kính MC. Ta có $\widehat{\text{AMB}}=\widehat{\text{CMB}}-\widehat{\text{CMA}}$.

Áp dụng kết quả của Trường hợp 1 cho hai góc nội tiếp $\widehat{\text{CMB}}$ và $\widehat{\text{CMA}}$, ta có $\widehat{\text{CMB}}=\frac{\text{sđ}\stackrel{⏜}{CB}}{2};\widehat{\text{CMA}}=\frac{\text{sđ}\stackrel{⏜}{CA}}{2}$,

Suy ra $\widehat{\text{AMB}}=\widehat{\text{CMB}}-\widehat{\text{CMA}}=$$\frac{s\text{đ}\stackrel{⏜}{CB}-s\text{đ}\stackrel{⏜}{CA}}{2}=\frac{s\text{đ}\stackrel{⏜}{AB}}{2}$.

Vậy trong Trường hợp 3, ta có $\widehat{\text{AMB}}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}$.

Kết luận: Ta luôn có $\widehat{\text{AMB}}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}$.

Ví dụ 4. Tính số đo của $\widehat{\text{AMB}}$ và $\widehat{\text{ANB}}$ trong Hình 17.

Lời giải

Trong Hình 17, ta có $\widehat{\text{AOB}}=90°$ và là góc ở tâm chắn $\stackrel{⏜}{\text{AB}}$ nên $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{\text{AOB}}=90°.$ 

$\widehat{\text{AMB}}$ và $\widehat{\text{ANB}}$ là hai góc nội tiếp chắn $\stackrel{⏜}{\text{AB}}$, suy ra $\widehat{\text{AMB}}=\widehat{\text{ANB}}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{AB}=$$\frac{1}{2}\cdot 90°=45°.$

Chú ý: Trong một đường tròn:

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.

- Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng ${90}^{°}$ có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Ví dụ 5. Cho AB và CD là hai đường kính vuông góc của đường tròn (O). Gọi M, N là hai điểm lần lượt trên hai cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\text{AC}},\stackrel{⏜}{\text{BC}}$ và chia mỗi cung đó thành hai cung bằng nhau (Hình 19). Tìm số đo các góc sau:
a) $\widehat{\text{ACB}},\widehat{\text{ADC}}$;

b) $\widehat{\text{ADM}},\widehat{\text{NCB}}$.

Lời giải

a) Ta có $\widehat{\text{ACB}}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, suy ra $\widehat{\text{ACB}}=90°$.

Ta có $\widehat{\text{ADC}}$ và $\widehat{\text{AOC}}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AC, suy ra $\widehat{\text{ADC}}=\frac{\widehat{\text{AOC}}}{2}=\frac{{90}^{\circ }}{2}={45}^{\circ }$.
b) Do hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau tại tâm O của (O) nên $\widehat{\text{AOC}}=\widehat{\text{COB}}=$$\widehat{\text{BOD}}=\widehat{\text{DOA}}=90°$, suy ra $sđ\stackrel{⏜}{AC}=\text{sđ}\stackrel{⏜}{CB}=$$s\text{đ}\stackrel{⏜}{BD}=\text{sđ}\stackrel{⏜}{DA}=90°$.

Vì M, N lần lượt chia $\stackrel{⏜}{AC},\stackrel{⏜}{CB}$ thành hai cung có số đo bằng nhau nên $sđ\stackrel{⏜}{AM}=sđ\stackrel{⏜}{MC}=\frac{sđ\stackrel{⏜}{AC}}{2}=45°;$$sđ\stackrel{⏜}{CN}=sđ\stackrel{⏜}{NB}=\frac{sđ\stackrel{⏜}{CB}}{2}=45°$.

Ta có $\widehat{\text{ADM}}$ là góc nội tiếp chắn cung AM, suy ra $\widehat{\text{ADM}}=\frac{\text{sđ}\stackrel{⏜}{AM}}{2}=\frac{45°}{2}=\mathrm{22,5}°.$

Ta có $\widehat{\text{NCB}}$ là góc nội tiếp chắn cung NB, suy ra $\widehat{\text{NCB}}=\frac{\text{sđ\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\stackrel{⏜}{\text{BN}}}{2}=\frac{45°}{2}=\mathrm{22,5}°.$

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1. Chứng minh hai cung bằng nhau. So sánh các cung

Phương pháp giải

Để chứng minh hai cung (của một đường tròn) bằng nhau, ta chứng minh hai cung này có cùng một số đo.

Ví dụ 1: Cho hai đường tròn cùng tâm O với bán kính khác nhau. Hai đường thẳng đi qua O cắt hai đường tròn đó tại các điểm A, B, C, D, M, N, P, Q (h.10).

a) Em có nhận xét gì về số đo của các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ?

b) Hãy nêu tên các cung nhỏ bằng nhau.

c) Hãy nêu tên các cung lớn bằng nhau.

Hướng dẫn (h.10)

a) Các cung nhỏ AM, CP, BN, DQ có số đo bằng nhau vì chúng có các góc ở tâm tương ứng bằng nhau.

b) Các cặp cung nhỏ bằng nhau là:

- Xét đường tròn nhỏ có $\stackrel{⏜}{\text{BN}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{CP}}$ ; $\stackrel{⏜}{\text{BP}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{CN}}$.

- Xét đường tròn lớn có $\stackrel{⏜}{\text{AM}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{DQ}}$ ; $\stackrel{⏜}{\text{AQ}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{DM}}$.

c) Các cặp cung lớn bằng nhau là:

- Xét đường tròn nhỏ có $\stackrel{⏜}{\text{BPCN}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{CNBP}}$ ; $\stackrel{⏜}{\text{BNCP}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{CPBN}}$.

- Xét đường tròn lớn có $\stackrel{⏜}{\text{AQDM}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{DMAQ}}$ ; $\stackrel{⏜}{\text{AMDQ}}\text{ = }\stackrel{⏜}{\text{DQAM}}$.

Ví dụ 2: Mỗi khẳng định sao đúng hay sai? Vì sao?

a) Hai cung bằn nhau thì sóc số đo bằng nhau.

b) Hai cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.

c) Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn là cung lớn hơn.

d) Trong hai cung trên một đường tròn, cung nào có số đo nhỏ hơn thì nhỏ hơn.

Hướng dẫn

a) Đúng.

b) Sai, vì không rõ hai cung có cùng nằm trên một đường tròn (hay hai đường tròn bằng nhau) hay không?

c) Sai (như trên).

d) Đúng.

................................

................................

................................

Xem thử CĐDT Toán 9 KNTT Xem thử CĐDT Toán 9 CTST Xem thử CĐDT Toán 9 CD

Xem thêm các chuyên đề dạy thêm Toán lớp 9 hay khác:

• Chuyên đề Đường tròn

• Chuyên đề Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

• Chuyên đề Tần số và tần số tương đối

• Chuyên đề Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

• Chuyên đề Một số hình khối trong thực tiễn

• Chuyên đề Một số yếu tố thống kê

• Chuyên đề Một số yếu tố xác suất

• Chuyên đề Tứ giác nội tiếp. Đa giác đều

• Chuyên đề Một số yếu tố thống kê và xác suất

• Chuyên đề Đa giác đều

• Chuyên đề Hình học trực quan

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---