Cách giải bài tập d1 cắt d2

Cách giải bài tập d1 cắt d2 sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 9.

Cách giải bài tập d1 cắt d2

A. Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’ với (a, a’≠ 0).

Khi đó ta có hai đường thẳng cắt nhau ⇔ a ≠ a’.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đường thẳng d: y = 3x + 2 và đường thằng d’: y = – x + 2. Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không?

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d: y = 3x + 2 ứng với a = 3.

Đường thằng d’: y = – x + 2ứng với a’ = – 1.

Vì 3 ≠ – 1 ⇔ a ≠ a’ nên hai đường thẳng cắt nhau.

Ví dụ 2. Cho hàm số bậc nhất sau: y = ax + 3. Hãy xác định a để đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2.

Hướng dẫn giải

Vì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 2x – 1 tại điểm có hoành độ bằng 2 nên x = 2 suy ra y = 2.2 – 1 = 3.

Thay x = 2 và y = 3 vào hàm số, ta được:

y = ax + 3 hay 3 = 2a + 3 suy ra a = 0.

C. Bài tập

Bài 1. Cho hai đường thẳng là đồ thị của các hàm số sau: y = mx + 1 và y = 3x – 2.

a) Tìm m để hai đường thẳng song song;

b) Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Ta thấy rằng: hàm số y = mx + 1 ứng với a = m, b = 1.

Hàm số y = 3x – 2 ứng với a’ = 3, b’ = – 2.

a) Để hai đường thẳng trên song song thì

Vậy m = 3 thì hai đường thẳng song song.

b) Để hai đường thẳng cắt nhau thì a ≠ a’ ⇔ m ≠ 3.

So với điều kiện thì hai đường thẳng cắt nhau khi m ≠ 0 và m ≠ 3.

Bài 2. Cho hai hàm số: y = 2x + 3 và y = (2m + 1) – 3. Tìm điều kiện của m và k đề đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Gọi đồ thị của hàm số y = 2x + 3 là d

đồ thị của hàm số y = (2m + 1) – 3 là d’ và đồng thời hàm số y = (2m + 1) – 3 muốn là hàm bậc nhất thì 2m + 1 ≠ 0$\iff m\ne -\frac{1}{2}$.

Để hai đường thẳng cắt nhau thì $2\ne 2m+1\iff 2m\ne 1\iff m\ne \frac{1}{2}$.

So với điều kiện thì hai đường thẳng cắt nhau khi $m\ne \pm \frac{1}{2}$.

Bài 3. Cho hai đường thẳng là

d₁: y = mx – 2(m + 2) và d₂: y = (2m – 3)x + (m² + 1). Hãy tìm các giá trị của m để:

a) d₁ song song d₂;

b) d₁ trùng với d₂;

c) d₁ cắt d₂.

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng d₁: y = mx – 2(m + 2) ứng với a = m và b = – 2(m + 2)

và d₂: y = (2m – 3)x + (m² + 1) ứng với a’ = 2m – 3 và b’ = m² + 1.

a) Để d₁ song song d₂ thì $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$hay

$\left\{\begin{array}{l}m=2m-3\\ -2\left(2m+2\right)\ne m^2+1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m=3\\ -4m-4\ne m^2+1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m=3\\ m^2+4m+5\ne 0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m=3\\ \forall m\ne 0\end{array}\right.$

Vậy m = 3 thì d₁ song song d₂.

b) Để d₁ trùng với d₂ thì $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b=b\text{'}\end{array}\right.$hay

$\left\{\begin{array}{l}m=2m-3\\ -2\left(2m+2\right)=m^2+1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m=3\\ -4m-4=m^2+1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}m=3\\ m^2+4m+5=0\end{array}\right.$

Ta thấy m² + 4m + 5 = 0 (vô nghiệm)

Vậy không có giá trị m thỏa mãn để d₁ trùng với d₂.

c) Đường thẳng d₁: y = mx – 2(m + 2) và đồng thời là là hàm số y = mx – 2(m + 2)  là hàm bậc nhất thì m ≠ 0.

Đường thẳng d₂: y = (2m – 3)x + (m² + 1) và đồng thời là hàm số y = (2m – 3)x + (m² + 1) là hàm bậc nhất thì 2m - 3 ≠ 0 $\iff m\ne \frac{3}{2}$.

Để hai đường thẳng cắt nhau thì m ≠ 2m - 3 ⇔ m ≠ 3.

So với điều kiện thì hai đường thẳng cắt nhau khi m ≠ $\left\{0;\frac{3}{2};3\right\}$.

Bài 4. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = 3x + 1 – m và y = – 2x + m + 3 cắt nhau tại một điểm

a) Trên trục hoành;

b) Trên trục tung.

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số y = 3x + 1 – m cắt trục hoành tại điểm $B\left(\frac{m-1}{3};0\right)$ nên đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì điểm đó là $B\left(\frac{m-1}{3};0\right)$.

Do đó đồ thị hàm số y = – 2x + m + 3 đi qua điểm $B\left(\frac{m-1}{3};0\right)$.

Thay x = $\frac{m-1}{3}$; y = 0 vào hàm số, ta được: 0 = -2.$\frac{m-1}{3}$ + m + 3 ⇔ m = -11

b) Đồ thị hàm số y = 3x + 1 – m cắt trục tung tại điểm A(0; 1 – m) nên đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm trên trục tung thì điểm đó là A(0; 1 – m).

Do đó đồ thị hàm số y = – 2x + m + 3 đi qua điểm A(0; 1 – m).

Thay x = 0; y = 1 – m vào hàm số, ta được: 1 - m = -2.0 + m + 3 ⇔ m = -1.

Bài 5. Cho hai đường thẳng (d₁): y = (2 – m²)x + n – 5 và (d₂): y = mx + 3n – 7. Tìm các giá trị của m và n để

a) Hai đường thẳng song song nhau.

b) Hai đường thẳng cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng (d1): y = (2 – m²)x + n – 5  ứng với a = 2 – m² và b = n – 5

và (d2): y = mx + 3n – 7 ứng với a’ = m và b’ = 3n – 7.

a) Để d₁ song song d₂ thì $\left\{\begin{array}{l}a=a\text{'}\\ b\ne b\text{'}\end{array}\right.$hay

$\left\{\begin{array}{l}2-m^2=m\\ m-5\ne 3n-7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+m-2=0\\ -2n\ne -2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left(m+2\right)\left(m-1\right)=0\\ n\ne 1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m+2=0\\ m-1=0\end{array}\right.\\ n\ne 1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m=-2\\ m=1\end{array}\right.\\ n\ne 1\end{array}\right.$

Vậy m = 1 hoặc m – 2 và n ≠ 1 thì d₁ song song d₂.

b) Để hai đường thẳng cắt nhau thì a ≠ a’ ⇔ 2 – m² ≠ m ⇔ m ≠ 1 hoặc m ≠ – 2.

So với điều kiện thì hai đường thẳng cắt nhau khi m ≠ $\left\{\pm \sqrt{2}\mathrm{,0,1,}-2\right\}$

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho ba đường thẳng y = 3x – 1 và y = – x + 2 và y = – x + 3. Hãy nếu các cặp đường thẳng song song và các cặp đường thẳng cắt nhau.

Bài 2. Tìm a để đường thẳng y = ax + 4 cắt nhau với đường thẳng y = – 3x – 1.

Bài 3. Cho hai hàm số bậc nhất y = 3x – 1 và y = 2mx + 1. Tìm m để đồ thị của chúng cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 2.

Bài 4. Cho đường thẳng d: y = mx + m + 3. Tìm giá trị của m để hàm số:

a) Luôn đồng biến? Luôn nghịch biến?

b) Có đồ thị cắt nhau với đường thẳng y’ = (3 – m)x + 5.

Bài 5. Cho hàm số y = (m – 2)x + m + 3 có đồ thị là đường thẳng d.

a) Chứng minh d luôn di qua một điểm có định với mọi giá trị của tham số m;

b) Tìm m để d cắt Ox, Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 hay khác:

• Bài tập về hình trụ
• Bài tập về hình nón
• Cách giải bài tập d song song d’
• Tìm các căn bậc hai và căn bậc hai số học của các số sau
• So sánh căn bậc ba
• Thể tích hình tròn

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---