(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian

Chuyên đề Góc, khoảng cách trong không gian trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Góc trong không gian

1.1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b, kí hiệu (a, b) hoặc $\widehat{\left(a,b\right)}$.

Ta có: (a, b) = (a', b').

Nhận xét: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian có số đo từ 0^o đến 90^o.

1.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta có định nghĩa sau:

– Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa d và (P) bằng 90^o.

– Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và hình chiếu d' của đường thẳng d trên (P), kí hiệu (d, (P) ).

Nhận xét: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ 0^o đến 90^o.

1.3. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy các đường thẳng a, b tương ứng vuông góc với (P), (Q). Khi đó, góc giữa a và b không phụ thuộc vào vị trí của a, b được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)). Ta có: ((P), (Q)) = (a, b) với a $\perp$ (P), b $\perp$ (Q).

Nhận xét: Góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ 0^o đến 90^o.

1.4. Góc nhị diện

– Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ; kí hiệu [P, d, Q] hoặc [M, d, N], trong đó (P), (Q) là hai nửa mặt phẳng có chung bờ là đường thẳng d và M, N là các điểm lần lượt thuộc hai nửa mặt phẳng (P), (Q). Đường thẳng d gọi là cạnh của góc nhị diện, mỗi nửa mặt phẳng (P), (Q) gọi là một mặt của góc nhị diện.

– Cho góc nhị diện. Một góc có đỉnh thuộc cạnh của góc nhị diện, hai cạnh của góc đó lần lượt thuộc hai mặt nhị diện và cùng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, được gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho.

– Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.

– Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng 90^o thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông.

Nhận xét: Góc nhị diện có số đo từ 0^o đến 180^o.

2. Khoảng cách trong không gian

2.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $∆$ là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu vuông góc H của M trên $∆$, kí hiệu d (M, $∆$).

2.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu vuông góc H của M trên (P), kí hiệu d (M, (P)).

2.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $∆$ và $∆$' là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu d ($∆$, $∆$').

2.4. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng $∆$ song song với mặt phẳng (P). Khoảng cách giữa đường thẳng $∆$ và mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng $∆$ đến mặt phẳng (P), kí hiệu d ($∆$, (P)).

2.5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí hiệu d ((P), (Q)).

2.6. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau.

– Có và chỉ có một đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng a, b, gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

– Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng c với hai đường thẳng a, b gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

– Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó, kí hiệu d (a, b).

Nhận xét:

– Gọi (P) là mặt phẳng chứa b và song song với a, hình chiếu của a trên (P) là a', giao điểm của a' và b là K, hình chiếu của K trên a là H. Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của a và b.

Ngoài ra, d (a, b) = HK = d (a, (P)).

– Trong trường hợp đặc biệt a $\perp$ b, ta có thể xác định như sau: Gọi (P) là mặt phẳng chứa b và vuông góc với a, giao điểm của a và (P) là H, hình chiếu của H trên b là K. Khi đó, HK là đoạn vuông góc chung của a và b.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Xác định góc giữa hai đường thẳng

1.1. Phương pháp giải

Tính góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ trong không gian:

Cách 1: Chọn điểm O thích hợp (O có thể nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ O dựng ${d^{\text{'}}}_1\text{//}{d}_1,{d^{\text{'}}}_2\text{//}{d}_2.$

Khi đó $\left({d^{\text{'}}}_1,{d^{\text{'}}}_2\right)=\left(d_1,d_2\right).$

Cách 2: Tìm hai vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2$ của hai đường thẳng d₁, d₂.

Khi đó góc giữa hai đường thẳng d₁, d₂ xác định bởi $\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|{\overrightarrow{u}}_1\cdot {\overrightarrow{u}}_2\right|}{\left|{\overrightarrow{u}}_1\right|\left|{\overrightarrow{u}}_2\right|}.$

Lưu ý: Có thể sử dụng định lí côsin trong tam giác để xác định góc giữa hai đường thẳng.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC.

Hướng dẫn giải

Do BC // AD nên (SA, BC) = (SA, AD). Tam giác SAD đều nên (SA, AD) = 60^o.

Vậy (SA, BC) = 60^o.

Ví dụ 2. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC. Gọi M là trung điểm của BC. Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi N là trung điểm của AC, ta có MN // AB $\Rightarrow$ (OM, AB) = (OM, MN) = $\widehat{OMN}.$

Do $\Delta OAB=\Delta OCB=\Delta OAC$ (c.g.v-c.g.v).

$\Rightarrow OM=ON=MN=\frac{AB}{2}$$\Rightarrow \left(OM,AB\right)=\widehat{OMN}=60°.$

Cách 2: Ta có ${\overrightarrow{OA}}^2=a^2,$${\overrightarrow{OB}}^2=a^2,$${\overrightarrow{OC}}^2=a^2,$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0,$$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=0,$$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}=0$, $\left|\overrightarrow{AB}\right|=a\sqrt{2},\left|\overrightarrow{OM}\right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Do M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA};$$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}.$

$\Rightarrow \overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}\right)$$=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$

$\Rightarrow \overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{OB}}^2+\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}\right)=\frac{a^2}{2}$

$\Rightarrow \cos \left(OM,AB\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{AB}\right)\right|$$=\frac{|\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{AB}|}{\left|\overrightarrow{OM}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AB}\right|}=\frac{\frac{a^2}{2}}{a\sqrt{2}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow \left(OM,AB\right)=60°.$

Ví dụ 3. Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và $BC=a\sqrt{2}.$ Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: BC² = AB² + AC² nên tam giác ABC vuông cân tại A.

Và BC² = SB² + SC² nên tam giác SBC vuông cân tại S.

Vẽ hình chữ nhật (cũng là hình vuông) ABDC.

$\Rightarrow$ (AB, SC) = $\widehat{SCD}$ và SC = CD = a.

AM = SM = MD = $\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \Delta SAM$ vuông tại M.

$S{D}^2=S{M}^2+M{D}^2={\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2$$=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}\Rightarrow SD=a.$

Suy ra tam giác SCD đều $\Rightarrow \left(AB,SC\right)=\widehat{SCD}=60°.$

................................

................................

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = $a\sqrt{3}$, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a. Số đo góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong khoảng nào?

A. (30°; 40°).

B. (40°; 50°).

C. (50°; 60°).

D. (60°; 70°).

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có SA $\perp$ (ABCD), ABCD là hình thoi cạnh a, AC = a, SA = $\frac{a}{2}$. Tính số đo của góc nhị diện [S, CD, A].

A. 30°.

B. 60°.

C. 90°.

D. 45°.

Câu 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 1; gọi M là trung điểm của B'C'. Góc giữa hai đường thẳng AM và BC' bằng

A. 45°.

B. 90°.

C. 30°.

D. 60°.

Câu 4. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD 1, $\widehat{BAC}=60°,$$\widehat{BAD}=90°,$ $\widehat{DAC}=120°$. Tính côsin của góc tạo bởi hai đường thẳng AG và CD, trong đó G là trọng tâm tam giác BCD.

A. $\frac{1}{\sqrt{6}}.$

B. $\frac{1}{3}.$

C. $\frac{1}{6}.$

D. $\frac{1}{\sqrt{3}}.$

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều ABCD cạnh a, có SA vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}.$ Tính góc giữa hai mặt (SBC) và (SCD).

A. $\arccos \frac{\sqrt{5}}{10}.$

B. $\arccos \frac{\sqrt{10}}{5}.$

C. $\arccos \frac{\sqrt{8}}{5}.$

D. $\arccos \frac{\sqrt{6}}{5}.$

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD = 2AB = 2BC = 2CD = 2A. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và CD. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$ Côsin góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) là $\frac{\sqrt{m}}{20}.$ Giá trị của m là:

Điền đáp án

Câu 17. Cho hình thoi ABCD có $\widehat{BAD}=60°$, AB = 2a. Gọi H là trung điểm AB, trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại H lấy điểm S thay đổi khác H. Biết rằng góc giữa SC và (SAD) có số đo lớn nhất khi $SH=a\cdot \sqrt[4]{\frac{m}{n}}$ (với m, n là các số tự nhiên và $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản). Khi đó tổng m + n bằng

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AC cắt BD tại O, $SO\perp \left(ABCD\right).$ Tất cả các cạnh của hình chóp bằng a.

a) Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) là 45^o.

b) Khoảng cách giữa SC và AB là $\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

c) Gọi $\alpha$ là số đo của góc nhị diện [S, CD, A] thì $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{3}.$

d) Nếu gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), $\beta$ là số đo của góc nhị diện [A, d, D]. Gọi $\gamma$ là số đo góc nhị diện [B, SC, D] thì |cos [A, d, D]| = |cos [B, SC, D]|.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thống kê và xác suất
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---