(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân

Chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Các phương pháp tìm Nguyên hàm - Tích phân

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1.1. Định nghĩa

a) Định nghĩa

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực $ℝ.$

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F' (x) = f(x) với mọi x thuộc K.

b) Nhận xét

• Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

– Với mỗi hằng số C, hàm số F (x) + C là một nguyên hàm của f(x) trên K;

– Nếu G (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G (x) = F (x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số. Ta gọi F (x) + C, C $\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu $\int f\left(x\right)\text{d}x$ và viết: $\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C.$

• Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Ta có $\int F^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C.$

c) Chú ý

Biểu thức f(x) dx gọi là vi phân của nguyên hàm F (x) của f(x), kí hiệu dF (x).

Vậy dF (x) = dF' (x) dx = f(x) dx.

1.2. Tính chất của nguyên hàm

Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K.

• $\int kf\left(x\right)\text{d}x=k\int f\left(x\right)\text{d}x$ với k là hằng số khác 0;

• $\int [f\left(x\right)+g\left(x\right)]\text{d}x=\int f\left(x\right)\text{d}x+\int g\left(x\right)\text{d}x;$

• $\int [f\left(x\right)-g\left(x\right)]\text{d}x=\int f\left(x\right)\text{d}x-\int g\left(x\right)\text{d}x.$

1.3. Bảng công thức nguyên hàm các hàm số cơ bản

BẢNG 1: HÀM ĐƠN VÀ HÀM HỢP

BẢNG 2: HÀM (AX + B)

* Nhận xét: Khi thay x bằng (ax + b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm $\frac{1}{a}.$

* Công thức tính nhanh nguyên hàm liên quan đến căn thức:

$\int \sqrt{ax+b}\text{d}x=$$\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{a}\left(ax+b\right)\sqrt{ax+b}+C;$

$\int \frac{1}{\sqrt{ax+b}}\text{d}x=\frac{2}{a}\sqrt{ax+b}$$+C\left(\int \frac{1}{\sqrt{u}}\text{du}=2\sqrt{u}+C\right)\text{.}$

2. Tích phân

2.1. Định nghĩa

a) Định nghĩa

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F (b) - F (a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$. Do đó, $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)=F(x){|}_a^b$ = F (b) - F (a).

b) Chú ý

– Tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu của biến: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(u\right)\text{d}u=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t=\mathrm{...}$

– Quy ước: $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=0;$ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

c) Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và haiđường thẳng x = a, x = b. Vậy $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

2.2. Tính chất của tích phân

Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f\left(x\right)+g\left(x\right)]\text{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x;$

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f\left(x\right)-g\left(x\right)]\text{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x;$

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)\text{d}x=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ (với k là hằng số);

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ (a < c < b).

2.3. Tích phân một số hàm số sơ cấp cơ bản

• Với $\alpha \ne -1$, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }\text{d}x=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}{|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1};$

• Với hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}\text{d}x=\ln |x|{|}_a^b=\ln |b|-\ln |a|;$

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin x\text{d}x=-\cos x{|}_a^b$ = cos a - cos b;

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cos x\text{d}x=\sin x{|}_a^b$ = sin b - sin a;

• Với hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}\text{d}x=-\cot x{|}_a^b$ = cot a - cot b;

• Với hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}\text{d}x=\tan x{|}_a^b$ = tan b - tan a;

• Với a > 0, a ≠ 1, ta có $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{a}^x\text{d}x=\frac{a^x}{\ln a}{|}_{\alpha }^{\beta }=\frac{a^{\beta }-a^{\alpha }}{\ln a}.$

→ Từ công thức trên, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{e}^x\text{d}x=e^x{|}_{\alpha }^{\beta }=e^{\beta }-e^{\alpha }.$

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Phương pháp đổi vi phân

1.1. Phương pháp giải

Vi phân là gì?

Cho u = u (x), ta có vi phân u (x) là: d[u(x)] = u'(x)dx.

Từ công thức tính vi phân ta có công thức đổi vi phân từ dx sang d[u(x)] như sau $\text{d}x=\frac{\text{d[}u\left(x\right)]}{u^{\text{'}}\left(x\right)}.$

Tư duy giải toán:

Ta dùng công thức đổi vi phân, để thay vì tính nguyên hàm với dx ta chuyển sang tính nguyên hàm với d[u(x)]. Khi đó ta đưa bài toán về vận dụng bảng công thức của nguyên hàm hàm hợp (xem phần lý thuyết cần nhớ).

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm hàm số F (x) biết $F\left(x\right)=\int \frac{x^3}{x^4+1}\text{d}x$ và F (0) = 1.

A. F (x) = ln (x⁴ + 1) + 1.

B. F (x) = $\frac{1}{4}$ln (x⁴ + 1) + $\frac{3}{4}$.

C. F (x) = $\frac{1}{4}$ln (x⁴ + 1) + 1.

D. F (x) = 4 ln (x⁴ + 1) + 1.

Hướng dẫn giải

Ta có $F\left(x\right)=\frac{1}{4}\int \frac{1}{x^4+1}$d (x⁴ + 1) = $\frac{1}{4}$ln (x⁴ + 1) + C.

Do F (0) nên $\frac{1}{4}$ln (0 + 1) + C $\iff$ C = 1.

Vậy F (x) = $\frac{1}{4}$ln (x⁴ + 1) + 1. Chọn C.

Ví dụ 2. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{2x+1}$ là

A. $-\frac{1}{3}\left(2x+1\right)\sqrt{2x+1}+C.$

B. $\frac{1}{2}\sqrt{2x+1}+C.$

C. $\frac{2}{3}\left(2x+1\right)\sqrt{2x+1}+C.$

D. $\frac{1}{3}\left(2x+1\right)\sqrt{2x+1}+C.$

Hướng dẫn giải

Đặt $t=\sqrt{2x+1}\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\text{d}x$$\Rightarrow t\text{d}t=\text{d}x.$

$\Rightarrow \int f\left(x\right)\text{d}x=\int \sqrt{2x+1}\text{d}x=\int t^2\text{d}t$$=\frac{t^3}{3}+C=\frac{1}{3}\left(2x+1\right)\sqrt{2x+1}+C$. Chọn D.

Ví dụ 3. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sin³ x.cos x và F (0) = $\pi$. Tính $F\left(\frac{\pi }{2}\right).$

A. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\pi .$

B. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\pi .$

C. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{4}+\pi .$

D. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{4}+\pi .$

Hướng dẫn giải

$F\left(x\right)=\int f\left(x\right)\text{d}x=\int {\sin }^{3}x\cos x\text{d}x$$=\int {\sin }^{3}x\cos x\frac{\text{d}\left(\sin x\right)}{\cos x}$$=\int {\sin }^{3}x\cdot \text{d}\left(\sin x\right)=\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C.$

$F\left(0\right)=\pi \Rightarrow \frac{{\sin }^4\pi }{4}+C=\pi$$\iff C=\pi \Rightarrow F\left(x\right)=\frac{{\sin }^{4}x}{4}+\pi .$

$F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\sin }^4\frac{\pi }{2}}{4}=\frac{1}{4}+\pi$. Chọn D.

Ví dụ 4. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sin x}{1+3\cos x}$ và $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=2.$ Tính F (0).

A. F (0) = -$\frac{1}{3}$ln 2 + 2.

B. F (0) = -$\frac{2}{3}$ln 2 + 2.

C. F (0) = -$\frac{2}{3}$ln 2 - 2.

D. F (0) = -$\frac{1}{3}$ln 2 - 2.

Hướng dẫn giải

Ta có $F\left(x\right)=\int \frac{\sin x\text{d}x}{1+3\cos x}=-\int \frac{\text{d}\left(\cos x\right)}{3\cos x+1}$$=-\frac{1}{3}\ln |3\cos x+1|+C.$

Mà $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{3}\ln |3\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+1|+C=2\Rightarrow C=2.$

Do đó, $F\left(0\right)=-\frac{1}{3}\ln |3\cos \left(0\right)+1|+2$$=-\frac{1}{3}\ln 4+2=-\frac{2}{3}\ln 2+2.$

Vậy F (0) = -$\frac{2}{3}$ln 2 + 2. Chọn B.

Ví dụ 5. Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{x\sin x+\cos x+2x}{\sin x+2}\text{d}x$$=\frac{{\pi }^2}{a}+\ln \frac{b}{c}$ với a, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính P = abc.

A. P = 24.

B. P = 13.

C. P = 48.

D. P = 96.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{x\sin x+\cos x+2x}{\sin x+2}\text{d}x$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{x\left(\sin x+2\right)+\cos x}{\sin x+2}\text{d}x$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\text{d}x+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\cos x}{\sin x+2}\text{d}x$

$=\frac{x^2}{2}{|}_0^{\frac{\pi }{2}}+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\text{d}\left(\sin x+2\right)}{\sin x+2}$$=\frac{{\pi }^2}{8}+\ln |\sin x+2|{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{{\pi }^2}{8}+\ln 3-\ln 2$$=\frac{{\pi }^2}{8}+\ln \left(\frac{3}{2}\right).$

Suy ra Chọn C.

................................

................................

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2\sqrt{4+x^3}.$

A. $2\sqrt{4+x^3}+C.$

B. $\frac{2}{9}\sqrt{{\left(4+x^3\right)}^3}+C.$

C. $2\sqrt{{\left(4+x^3\right)}^3}+C.$

D. $\frac{1}{9}\sqrt{{\left(4+x^3\right)}^3}+C.$

Câu 2. Cho hàm số f(x) = sin² 2x.sin x. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f(x)?

A. y = $\frac{4}{3}$cos³ x - $\frac{4}{5}$sin⁵ x + C.

B. y = -$\frac{4}{3}$cos³ x + $\frac{4}{5}$cos⁵ x + C.

C. y = $\frac{4}{3}$sin³ x - $\frac{4}{5}$cos⁵ x + C.

D. y = -$\frac{4}{3}$sin³ x - $\frac{4}{5}$sin⁵ x + C.

Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sin x}{1+3\cos x}.$

A. $\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{1}{3}\ln |1+3\cos x|+C.$

B. $\int f\left(x\right)\text{d}x=\ln |1+3\cos x|+C.$

C. $\int f\left(x\right)\text{d}x=3\ln |1+3\cos x|+C.$

D. $\int f\left(x\right)\text{d}x=-\frac{1}{3}\ln |1+3\cos x|+C.$

Câu 4. Tích phân $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{\text{d}x}{x\left(\ln x+2\right)}$ bằng:

A. ln 2.

B. ln $\frac{2}{3}.$

C. 0.

D. ln 3.

Câu 5. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 2 và (x² + 1) f'(x) = [f(x)]² (x² - 1) với mọi $x\in ℝ.$ Giá trị của f(2) bằng

A. $\frac{2}{5}.$

B. $-\frac{2}{5}.$

C. $-\frac{5}{2}.$

D. $\frac{5}{2}.$

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\left(x-1\right)}^2}{x^2+1}\text{d}x=a-\ln b$ trong đó a, b là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a + b.

Điền đáp án

Câu 17. Cho $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{x+\ln \left(x+1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ln 3$ (với $a,c\in \mathbb{Z};b,d\in {\mathbb{N}}^{*};\frac{a}{b}\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản). Tính P = (a + b)(c + d).

Điền đáp án

................................

................................

................................

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tích phân hàm ẩn

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Sử dụng phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần

1.1. Phương pháp giải

• Để đưa từ Nguyên hàm - Tích phân chứa f(x) về Nguyên hàm - Tích phân chứa f'(x) ta làm như sau: Đặt u = f(x), dv là phần còn lại.

• Để đưa từ Nguyên hàm - Tích phân chứa f'(x) về Nguyên hàm - Tích phân chứa f(x) ta làm như sau: Đặt dv = f'(x) dx, u là phần còn lại.

* Lưu ý: Kỹ năng chọn hằng số C trong việc tìm v trong một số tình huống bài toán.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$. Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f(x) e^x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x) e^x là

A. -sin 2x + cos 2x + C.

B. -2sin 2x + cos 2x + C.

C. -2sin 2x - cos 2x + C.

D. 2sin 2x - cos 2x + C.

Hướng dẫn giải

Đi tìm I = $\int$f'(x) .e^x dx → Dùng nguyên hàm từng phần để đưa về nguyên hàm chứa f(x).

Đặt

$\Rightarrow$ I = e^x.f(x) - $\int$f(x)e^x dx = e^x.f(x) - cos 2x + C.

Mà (cos 2x)' = f(x).e^x $\Rightarrow$ -2sin 2x = f(x).e^x $\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{-2\sin 2x}{e^x}.$

$\Rightarrow$ I = -2sin 2x - cos 2x + C. Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) có f(3) = 3 và $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x}{x+1-\sqrt{x+1}},\forall x>0.$ Tính $I=\underset{3}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

Hướng dẫn giải

Cách 1: Tích phân cần tìm chứa f(x):

Đặt

$\Rightarrow I=\left(x+C\right)f\left(x\right){|}_3^8-\underset{3}{\overset{8}{\int }}\left(x+C\right)f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x.$

Chọn C sao cho 8 + C = 0 $\iff$ C = -8.

Cách 2: Tìm f(x):

$f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=\int \frac{x}{\left(x+1\right)-\sqrt{x+1}}\text{d}x$$=\int \frac{x}{\sqrt{x+1}\cdot \left(\sqrt{x+1}-1\right)}\text{d}x$

$=\int \frac{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{\sqrt{x+1}\cdot x}\text{d}x=\int \left(1+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)\text{d}x$$=x+2\sqrt{x+1}+C$

$\stackrel{f\left(3\right)}{\to }=3=-4\Rightarrow f\left(x\right)$$=x+2\sqrt{x+1}-4$

$\Rightarrow I=\underset{3}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=$$\underset{3}{\overset{8}{\int }}\left(x+2\sqrt{x+1}-4\right)\text{d}x=\frac{197}{6}.$

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) có f(0) = 0 và f'(x) = sin⁴ x, $\forall x\in ℝ$. Tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ bằng:

A. $\frac{{\pi }^2-6}{18}.$

B. $\frac{{\pi }^2-3}{32}.$

C. $\frac{3{\pi }^2-16}{64}.$

D. $\frac{3{\pi }^2-6}{112}.$

Hướng dẫn giải

Đặt

$\Rightarrow I=\left(x-\frac{\pi }{2}\right)\cdot f\left(x\right){|}_0^{\frac{\pi }{2}}-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(x-\frac{\pi }{2}\right)f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$$=0-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(x-\frac{\pi }{2}\right){\sin }^{4}x\text{d}x=\frac{3{\pi }^2-16}{64}$. Chọn C.

................................

................................

................................

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$. Biết cos² x là một nguyên hàm của hàm số f(x) e^2x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x) e^2x là:

A. sin 2x - 2cos² x + C.

B. sin 2x + 2cos² x + C.

C. -sin 2x + 2cos² x + C.

D. -sin 2x - 2cos² x + C.

Câu 2. Cho $F\left(x\right)=\frac{x^2}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f\left(x\right)}{x}.$ Tìm họ nguyên hàm của hàm số f'(x).ln x.

A. $\frac{x^2}{2}\cdot \left(\ln x-\frac{1}{2}\right)+C.$

B. $\frac{x^2}{2}\cdot \left(\ln x+\frac{1}{2}\right)+C.$

C. $\frac{x^2}{2}\cdot \left(\ln x-\frac{1}{2x}\right)+C.$

D. $\frac{x^2}{2}\cdot \left(\ln x+\frac{1}{2x}\right)+C.$

Câu 3. Cho hàm số f(x). Biết f(0) = 4 và f'(x) = 2sin² x + 3, $\forall x\in ℝ$. Khi đó $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ bằng:

A. $\frac{{\pi }^2-2}{8}.$

B. $\frac{{\pi }^2+8\pi -8}{8}.$

C. $\frac{{\pi }^2+8\pi -2}{8}.$

D. $\frac{3{\pi }^2+2\pi -3}{8}.$

Câu 4. Cho hàm số f(x) liên tục trên (0; +∞) thỏa mãn f(1) = e và x³ f'(x) = e^x (x - 2), $\forall x\in \left(0;+\infty \right).$ Tính $I=\underset{1}{\overset{\ln 3}{\int }}{x}^{2}f\left(x\right)\text{d}x.$

A. 3 - e.

B. 2 - e.

C. 3 + e.

D. 2 + e.

Câu 5. Cho hàm số f(x) > 0 với $\forall x\in ℝ$, f(0) = 1 và f(x) = $\sqrt{x+1}$.f'(x) với $\forall x\in ℝ.$ Hỏi mệnh đề nào đúng?

A. 4 < f(3) < 6.

B. f(3) < 2.

C. 2 < f(3) < 4.

D. f(3) > 6.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 11. Cho hàm số f(x) có f(16) = 8 và $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x}{x+2+\sqrt{2x+4}},\forall x>-2.$ Khi đó $\underset{0}{\overset{6}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ bằng:

Câu 12. Cho hàm số f(x) liên tục trên (0; +∞), thỏa mãn 2x. f'(x) + f(x) = 3x²$\sqrt{x}$. Biết f(1) = $\frac{1}{2}$. Tính f(4).

................................

................................

................................

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Ứng dụng của tích phân

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Ứng dụng tích phân tính diện tích

1.1. Phương pháp giải

* Loại 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành Ox và hai đường thẳng x = a, x = b.

Cho (H):

Hình phẳng (H) là phần gạch chéo trong hình.

Khi đó $S_{\left(H\right)}=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)|\text{d}x.$

Đặc biệt:

• Nếu $f\left(x\right)\ge 0$, $\forall x\in$ [a; b] thì $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)|\text{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

• Nếu $f\left(x\right)\le 0$, $\forall x\in$ [a; b] thì $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)|\text{d}x=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

Chú ý:

• Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)|\text{d}x=|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x|.$

• Nếu phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = c thuộc khoảng (a; b) thì

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)|\text{d}x=\underset{a}{\overset{c}{\int }}|f\left(x\right)|\text{d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)|\text{d}x$$=|\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x|+|\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x|.$

• Nếu phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm c₁ < c₂ thuộc khoảng (a; b) thì

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)|\text{d}x=|\underset{c}{\overset{c_1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x|$$+|\underset{c_1}{\overset{c_2}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x|+|\underset{c_2}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x|.$

* Loại 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b.

Cho (H):

Nếu đề bài chưa cho cận a, b thì ta phải đi giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) ⇒ cận a, b (cận a = nghiệm min, cận b = nghiệm max).

Đặc biệt:

• Nếu $f\left(x\right)\ge g\left(x\right)$, $\forall x\in$ [a; b] (đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trên đồ thị hàm số y = g(x)) thì ta có:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)-g\left(x\right)|\text{d}x$$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f\left(x\right)-g\left(x\right)]\text{d}x.$

• Nếu $f\left(x\right)\le g\left(x\right)$, $\forall x\in$ [a; b] (đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía dưới đồ thị hàm số y = g(x)) thì ta có:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)-g\left(x\right)|\text{d}x$$=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f\left(x\right)-g\left(x\right)]\text{d}x.$

Chú ý:

• Nếu phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm trên khoảng (a; b) thì

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)-g\left(x\right)|\text{d}x=|\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\text{d}x|.$

• Nếu phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = c thuộc (a; b) thì

$S=\underset{a}{\overset{c}{\int }}|f\left(x\right)-g\left(x\right)|\text{d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)-g\left(x\right)|\text{d}x$$=|\underset{a}{\overset{c}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\text{d}x|+|\underset{c}{\overset{b}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\text{d}x|.$

• Nếu phương trình f(x) = g(x) có hai nghiệm c₁ < c₂ thuộc khoảng (a; b) thì

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f\left(x\right)|\text{d}x=|\underset{c}{\overset{c_1}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\text{d}x|$$+|\underset{c_1}{\overset{c_2}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\text{d}x|$$+|\underset{c_2}{\overset{b}{\int }}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\text{d}x|.$

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x² + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

A. S = 8.

B. S = 12.

C. S = 10.

D. S = 9.

Hướng dẫn giải

Ta có (H): Chọn C.

Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4x - x² và trục Ox.

A. 11.

B. $\frac{34}{3}.$

C. $\frac{31}{3}.$

D. $\frac{32}{3}.$

Hướng dẫn giải

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4x - x² và trục Ox.

Xét phương trình 4x - x² = 0

Ta có $S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}|4x-x^2|\text{d}x=|\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(4x-x^2\right)\text{d}x|$$=|(2x^2-\frac{x^3}{3}){|}_0^4{|}_0=\frac{32}{3}.$ Chọn D.

Ví dụ 3. Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = e^x, trục hoành và các đường thẳng x = -1, x = 1. Với k ∈ (-1; 1), đường thẳng x = k chia hình phẳng (H) thành hai hình phẳng có diện tích lần lượt là S₁ và S₂ (như hình vẽ bên). Giá trị k để S₁ = S₂ là

A. 2 ln 2 - 1.

B. 2 ln (e - $\frac{1}{e}$) - 1.

C. ln (e + $\frac{1}{e}$) - ln 2.

D. ln 2.

Hướng dẫn giải

Vì e^x > 0 với mọi $x\in ℝ$ nên ta có

$S_1=\underset{-1}{\overset{k}{\int }}{e}^x\text{d}x=e^x{|}_{-1}^k=e^k-e^{-1}$ và $S_2=\underset{k}{\overset{1}{\int }}{e}^x\text{d}x=e^x{|}_k^1=e-e^k$

S₁ = S₂ $\iff$ e^k - e^-1 = e - e^k $\iff$ 2e^k = e + $\frac{1}{e}\iff e^k=\frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)$ $\iff k=\ln \frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)=\ln \left(e+\frac{1}{e}\right)-\ln 2.$

Chọn C.

Ví dụ 4. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: y = x³ - 3x, y = x. Tính S.

A. S = 4.

B. S = 8.

C. S = 2.

D. S = 0.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là x³ - 3x = x $\iff$ x³ - 4x = 0

Vậy $S=|\underset{-2}{\overset{0}{\int }}\left(x^3-4x\right)\text{d}x|+|\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^3-4x\right)\text{d}x|$ = 4 + 4 = 8. Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hai hàm số f(x) = ax² + bx² + cx - 2 và g(x) = dx² + ex + 2 (a, b, c, d, e $\in ℝ$). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là -2; -1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A. $\frac{37}{12}.$

B. $\frac{37}{6}.$

C. $\frac{13}{2}.$

D. $\frac{9}{2}.$

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f(x) và g(x) là

ax³ + bx² + cx - 2 = dx² + 3x + 2 $\iff$ a³ + (b - d)x² + (c - e)x - 4 = 0. (*)

Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm x = -2; x = -1; x = 1. Ta được ax³ + (b - d)x² + (c - e)x - 4 = k (x + 2)(x + 1)(x - 1).

Khi đó -4 = -2k $\iff$ k = 2.

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}|2\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)|\text{d}x=\frac{37}{6}.$ Chọn B.

Ví dụ 6. Cho hàm số f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + 3x và g(x) = mx³ + mx² - x với a, b, c, d, m, n $\in ℝ$. Biết hàm số y = f(x) - g(x) có ba điểm cực trị là -1; 2; 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y = f'(x) và y = g'(x) bằng

A. $\frac{32}{3}.$

B. $\frac{71}{9}.$

C. $\frac{71}{6}.$

D. $\frac{64}{9}.$

Hướng dẫn giải

Ta có f'(x) = 4cx³ + 3bx² + 2cx + 3; g'(x) = 3mx² + 2nx - 1.

Khi đó f'(x) - g'(x) = 4ax³ + (3b - 3m)x² + (2c - 2n)x + 4.

Do hàm số y = f(x) - g(x) có ba điểm cực trị là -1; 2; 3 nên ta suy ra a ≠ 0 và

f'(x) - g'(x) = 4a (x + 1)(x - 2)(x - 3).

Ta có f' (0) - g' (0) = 24a = 4 ⇒ a = $\frac{1}{6}$. Suy ra f'(x) - g'(x) = $\frac{2}{3}$(x + 1)(x - 2)(x - 3).

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường y = f'(x) và y = g'(x) bằng

$S=\underset{-1}{\overset{3}{\int }}|\frac{2}{3}\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)|\text{d}x=\frac{71}{9}.$ Chọn B.

................................

................................

................................

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^x, y = 0, x = 0, x = 2. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{e}^x\text{d}x.$

B. $S=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{e}^x\text{d}x.$

C. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{e}^{2x}\text{d}x.$

D. $S=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{e}^{2x}\text{d}x.$

Câu 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = x ln x, trục hoành và đường thẳng x = e là

A. $\frac{e^2-1}{2}.$

B. $\frac{e^2+1}{2}.$

C. $\frac{e^2-1}{4}.$

D. $\frac{e^2+1}{4}.$

Câu 3. Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = 0, x = -1 và x = 4 (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

B. $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

C. $S=-\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

D. $S=-\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{1}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ và diện tích hai phần A, B lần lượt bằng 11 và 2. Giá trị của $I=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}f\left(3x+1\right)\text{d}x$ bằng

A. 3.

B. $\frac{13}{3}.$

C. 9.

D. 13.

Câu 5. Cho hai hàm số f(x) = ax³ + bx² + cx - 1 và g(x) = dx² + ex + $\frac{1}{2}$ (a, b, c, d, e $\in ℝ$). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g(x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt -3; -1; 2 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

A. $\frac{253}{12}.$

B. $\frac{125}{12}.$

C. $\frac{253}{48}.$

D. $\frac{125}{48}.$

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v₀ = 15 m/s thì tăng tốc với gia tốc a (t) = t² + 4t (m/s²). Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.

Điền đáp án

Câu 17. Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng OO' = 5 cm, OA = 10 cm, OB = 20 cm, đường cong AB là một phần của parabol có đỉnh là điểm A. Thể tích của chiếc mũ bằng a.$\pi$ (cm³), hỏi a bằng bao nhiêu?

Điền đáp án

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thống kê và xác suất
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---