(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian

HOT Ra mắt Sách tổng ôn 12 (2k8) toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Chuyên đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

Quảng cáo

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Vectơ trong không gian

1.1. Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

1.2. Các khái niệm

Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các kí hiệu và các khái niệm sau:

– Với vectơ $\vec{A B}$ , ta có:

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

+ Điểm A là điểm đầu; điểm B là điểm cuối.

+ Hướng của vectơ $\vec{A B}$ : Từ A đến B.

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ $\vec{A B}$ .

+ Độ dài của vectơ $\vec{A B}$ , kí hiệu | $\vec{A B}$ |, là độ dài của đoạn thẳng AB.

Quảng cáo

– Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y}, ...$

– Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

– Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có cùng hướng hoặc ngược hướng.

– Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$ , nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

2. Các phép toán vectơ trong không gian

2.1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ .

Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ . Vectơ $\vec{A C}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{A C} = \vec{a} + \vec{b} .$

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

• Quy tắc cộng

Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C} .$

Quảng cáo

• Quy tắc hình bình hành

Cho hình bình hành ABCD, ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} .$

• Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Ta có $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}} .$

• Quy tắc ba điểm (mở rộng): $\vec{A X_{1}} + \vec{X_{1} X_{2}} + \vec{X_{2} X_{3}} + \dots$ $+ \vec{X_{n - 1} X_{n}} + \vec{X_{n} B} = \vec{A B} .$

2.2. Hiệu của hai vectơ

Định nghĩa:

Quảng cáo

+ Vectơ đối của vectơ $\vec{a}$ , kí hiệu là - $\vec{a}$ , là một vectơ ngược hướng và có cùng độ dài với vectơ $\vec{a}$ .

+ Vectơ $\vec{0}$ được coi là đối vectơ của chính nó.

+ Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Ta gọi hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là vectơ $\vec{a}$ + (- $\vec{b}$ ), kí hiệu $\vec{a}$ - $\vec{b}$ .

• Quy tắc trừ

Với ba điểm O, A, B bất kì, ta có: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A} .$

2.3. Tích của một số với một vectơ

Trong không gian, cho số thực k ≠ 0 và vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Tích của một số k với vectơ $\vec{a}$ là một vectơ, kí hiệu là k $\vec{a}$ , được xác định như sau:

– Cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k < 0;

– Có độ dài bằng |k|.| $\vec{a}$ |.

Nhận xét:

– Ta có k $\vec{a}$ = 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\vec{a} = \vec{0} .$

– Hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ là cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k ≠ 0 sao cho $\vec{a} = k \vec{b} .$

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là tồn tại số thực k ≠ 0 sao cho $\vec{A B} = k \vec{A C} .$

Tính chất: Với hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và hai số thực h, k ta có:

$k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b};$

$k (\vec{a} - \vec{b}) = k \vec{a} - k \vec{b};$

$(h + k) \vec{a} = h \vec{a} + k \vec{a};$

$h (k \vec{a}) = (h k) \vec{a};$

$1 \vec{a} = \vec{a};$

$(- 1) \vec{a} = - \vec{a} .$

⮚ Chú ý:

• Quy tắc trung điểm

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0} .$

Với mọi điểm M thì $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I} .$

• Quy tắc trọng tâm của tam giác

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0} .$

Với mọi điểm M thì $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G} .$

• Quy tắc trọng tâm của tứ diện

Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0} .$

Với mọi điểm M thì $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M G} .$

Mở rộng: Trong không gian, cho ba điểm A, B, C và bộ số m, n, p (m + n + p ≠ 0).

– Tồn tại duy nhất điểm I sao cho $m \vec{I A} + n \vec{I B} + p \vec{I C} = \vec{0} .$

– Với mọi điểm M thì $m \vec{M A} + n \vec{M B} + p \vec{M C} = (m + n + p) \vec{M I} .$

2.4. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Góc giữa hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b} .$

Khi đó, ta gọi $\hat{B A C}$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là ( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ).

b) Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ .

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{a}$ . $\vec{b}$ , là một số thực được xác định bởi công thức:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b}),$

ở đó ( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ .

⮚ Chú ý:

– Quy ước nếu $\vec{a}$ = 0 hoặc $\vec{b}$ = 0 thì $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 0.

– Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ , ta có $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

– Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ , ta có $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} .$

Tính chất: Với các vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ và số thực k tùy ý, ta có:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a};$

$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c};$

$(k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k \vec{b});$

${\vec{a}}^{2} \geq 0$ , trong đó ${\vec{a}}^{2} = \vec{a} \cdot \vec{a}$ . Ngoài ra, ${\vec{a}}^{2} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} = 0 .$

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Vận dụng đẳng thức vectơ và phân tích vectơ theo các vectơ cho trước

1.1. Phương pháp giải

- Vận dụng các phép toán vectơ.

- Biến đổi kết hợp các tính chất của vectơ.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0} .$

B. $\vec{O G} = \frac{1}{4} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D}) .$

C. $\vec{A G} = \frac{2}{3} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D}) .$

D. $\vec{A G} = \frac{1}{4} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D}) .$

Hướng dẫn giải

Có G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên:

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow 4 \vec{G A} + \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{A G} = \frac{1}{4} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})$ . Chọn D.

Ví dụ 2. Cho ba lực ${\vec{F}}_{1} = \vec{M A}, \vec{F_{2}} = \vec{M B}$ , ${\vec{F}}_{3} = \vec{M C}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của ${\vec{F}}_{1}, {\vec{F}}_{2}$ đều bằng 25 N và góc $\hat{A M B} = 60 °$ . Khi đó cường độ lực của là:

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

A. $25 \sqrt{3} N .$

B. $50 \sqrt{3} N .$

C. $100 \sqrt{3} N .$

D. $100 \sqrt{3} N .$

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Tam giác MAB đều nên $M I = M A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25 \sqrt{3}}{2} .$

Ta có $| {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} | = | \vec{M A} + \vec{M B} |$ $= 2 | \vec{M I} | = 2 M I = 25 \sqrt{3}$ (Quy tắc hình bình hành).

Vì vật đứng yên nên ${\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} + {\vec{F}}_{3} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow {\vec{F}}_{3} = - ({\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2})$ , suy ra $| {\vec{F}}_{3} | = | {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} | = 25 \sqrt{3} .$

Vậy cường độ của lực ${\vec{F}}_{3}$ là $25 \sqrt{3} N .$ Chọn A.

Ví dụ 3. Cho hai lực ${\vec{F}}_{1} = \vec{M A}, \vec{F_{2}} = \vec{M B}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M trong không gian cường độ hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ lần lượt là 300 N và 400 N, $\hat{A M B} = 90 °$ . Tìm cường độ của lực tổng hợp tác động vào vật.

A. 0 N.

B. 700 N.

C. 700 N.

D. 500 N.

Hướng dẫn giải

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Gọi I là trung điểm của đoạn AB.

Tam giác MAB vuông tại M nên

$M I = \frac{A B}{2} = \frac{\sqrt{M A^{2} + M B^{2}}}{2}$ $= \frac{\sqrt{300^{2} + 400^{2}}}{2} = \frac{500}{2} = 250 .$

Cường độ của lực tổng hợp tác động vào vật là

$| {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} | = | \vec{M A} + \vec{M B} |$ $= | 2 \vec{M I} | = 2 M I = 500.$

Vậy cường độ của lực ${\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2}$ là 500 N. Chọn D.

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm tác giác ABC. Ta có:

A. $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = \vec{S G} .$

B. $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 2 \vec{S G} .$

C. $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 3 \vec{S G} .$

D. $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 4 \vec{S G} .$

Câu 2. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là

A. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0} .$

B. $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D} .$

C. $\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} = \vec{O C} + \frac{1}{2} \vec{O D} .$

D. $\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O C} = \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O D} .$

Câu 3. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\vec{A D} + \vec{D H} = \vec{G C} + \vec{G F} .$

B. $\vec{A D} - \vec{A B} - \vec{A E} = \vec{A G} .$

C. $\vec{A D} - \vec{D H} = \vec{G C} - \vec{G F} .$

D. $\vec{A D} + \vec{A B} + \vec{A E} = \vec{A H} .$

Câu 4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt $\vec{A A^{'}} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c} .$ Gọi I là điểm thuộc đường thẳng CC' sao cho C'I = 3C'C, G điểm thỏa mãn $\vec{G B} + \vec{G A^{'}} + \vec{G B^{'}} + \vec{G C^{'}} = 0.$ Biểu diễn vectơ $\vec{I G}$ qua các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} .$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?

A. $\vec{I G} = \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c}) .$

B. $\vec{I G} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}) .$

C. $\vec{I G} = \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{c} - 2 \vec{b}) .$

D. $\vec{I G} = \frac{1}{4} (\vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c} - 2 \vec{a}) .$

Câu 5. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt $\vec{x} = \vec{A B}, \vec{y} = \vec{A C}$ , $\vec{z} = \vec{A D} .$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{A G} = \frac{2}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) .$

B. $\vec{A G} = - \frac{2}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) .$

C. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) .$

D. $\vec{A G} = - \frac{1}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) .$

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho tứ diện ABCD, M là điểm trên đoạn AB và MB = 2MA, N là điểm trên đường thẳng CD mà $\vec{C N} = k \vec{C D} .$ Nếu $\vec{M N}, \vec{A D}, \vec{B C}$ đồng phẳng thì giá trị của k là:

Điền đáp án

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA = SB = SC = AB = AC = a và $B C = a \sqrt{2} .$ Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:

Điền đáp án

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

a) Góc giữa hai đường thẳng A'C', BD là góc vuông.

b) Góc giữa hai đường thẳng BB', BD là góc vuông.

c) Góc giữa hai đường thẳng A'B, DC' là góc vuông.

d) Góc giữa hai đường thẳng BC', A'D là góc vuông.

................................

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau và các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt trên các trục Ox, Oy, Oz được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

– Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

– Các trục Ox, Oy, Oz được gọi là các trục tọa độ.

–Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

– Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

2. Tọa độ điểm

– Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x; y; z) hoặc M (x; y; z) trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M.

• Phép chiếu điểm lên trục tọa độ:

Chiếu lên Ox : M (x_M; y_M; z_M) → M₁ (x_M; 0; 0).

Chiếu lên Oy : M (x_M; y_M; z_M) → M₂ (0; y_M; 0).

Chiếu lên Oz : M (x_M; y_M; z_M) → M₃ (0; 0; z_M).

• Phép chiếu điểm lên mặt phẳng tọa độ:

Chiếu lên mặt phẳng (Oxy) : M (x_M; y_M; z_M) → M₁ (x_M; y_M; 0).

Chiếu lên mặt phẳng (Oyz) : M (x_M; y_M; z_M) → M₂ (0; y_M; z_M).

Chiếu lên mặt phẳng (Oxz) : M (x_M; y_M; z_M) → M₃ (x_M; 0; z_M).

• Đối xứng qua trục tọa độ:

Đối xứng qua trục Ox : M (x_M; y_M; z_M) → M₁ (x_M; -y_M; -z_M).

Đối xứng qua trục Oy : M (x_M; y_M; z_M) → M₂ (-x_M; y_M; -z_M).

Đối xứng qua trục Oz : M (x_M; y_M; z_M) → M₃ (-x_M; -y_M; z_M).

⇒ Lấy đối xứng trục nào ta giữ nguyên tọa độ trục đó và đổi dấu tọa độ 2 trục còn lại.

• Đối xứng qua mặt phẳng tọa độ:

Đối xứng mặt phẳng (Oxy) : M (x_M; y_M; z_M) → M₁ (x_M; y_M; -z_M).

Đối xứng mặt phẳng (Oxz) : M (x_M; y_M; z_M) → M₂ (x_M; -y_M; z_M).

Đối xứng mặt phẳng (Oyz) : M (x_M; y_M; z_M) → M₃ (-x_M; y_M; z_M).

3. Tọa độ của vectơ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\vec{a}$ tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ được gọi là tọa độ của vectơ $\vec{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết $\vec{a}$ = (x; y; z) hoặc trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của $\vec{a}$ .

4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\vec{v}$ = (x₂; y₂; z₂), ta có:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

• Tổng của hai vectơ: $\vec{u}$ + $\vec{v}$ = (x₁+ x₂; y₁+ y₂; z₁+ z₂);

• Hiệu của hai vectơ: $\vec{u}$ - $\vec{v}$ = (x₁- x₂; y₁- y₂; z₁- z₂);

• Tích của một vectơ với một số: k $\vec{u}$ = (kx₁; ky₁; kz₁) ( $k \in ℝ$ );

• Độ dài vectơ: $| \vec{u} | = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}};$ $| \vec{v} | = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}};$

• Tích vô hướng của hai vectơ: $\vec{u} \cdot \vec{v} = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \cos (\vec{u}, \vec{v})$ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = hằng số;

• Hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ vuông góc với nhau $\Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow$ x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0;

• Góc giữa hai vectơ: $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{| \vec{u} | \cdot | \vec{v} |} =$ $\frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}$ (với $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$ );

• Hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương với nhau $\Leftrightarrow \vec{u} = k \vec{v} (k \neq 0, \vec{v} \neq \vec{0})$ (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

5. Áp dụng của tọa độ vectơ

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (x_A; y_A; z_A), B (x_B; y_B; z_B), C (x_C; y_C; z_C) ta có:

• $\vec{A B}$ = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A);

• Độ dài đoạn thẳng AB: AB = | $\vec{A B}$ | = $\sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ ;

• Trung điểm của đoạn AB là $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2});$

• Nếu ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác có trọng tâm là G thì (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

• Nếu điểm M chia AB theo tỉ số k, nghĩa là $\vec{M A} = k \vec{M B}$ thì (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

• Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} = \vec{D C}$ (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

• Điều kiện để 3 điểm A, B, C thẳng hàng là $\vec{A B} = k \cdot \vec{A C}$ (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

• Nếu điểm M thỏa mãn điều kiện $a \cdot \vec{M A} + b \cdot \vec{M B} + c \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ thì (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

Viết tắt $(M) = \frac{a (A) + b (B) + c (C)}{a + b + c}$ (a + b + c ≠ 0).

Tổng quát: Nếu M thỏa mãn điều kiện $a_{1} \cdot \vec{M M_{1}} + a_{2} \cdot \vec{M M_{2}} + a_{3} \cdot \vec{M M_{3}}$ $+ ... + a_{n} \cdot \vec{M M_{n}} = \vec{0}$ thì tọa độ M là $(M) = \frac{a_{1} (M_{1}) + a_{2} (M_{2}) + ... + a_{n} (M_{n})}{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}$ (a₁ + a₂ + ... + a_n ≠ 0).

6. Tích có hướng của hai vectơ

6.1 Khái niệm tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng của $\vec{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\vec{v}$ = (x₂; y₂; z₂), kí hiệu [ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ] là một vectơ và được tính như sau:

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

6.2 Tính chất tích có hướng của hai vectơ

• Vectơ tích có hướng vuông góc với hai vectơ thành phần: $[\vec{u}, \vec{v}] ⊥ \vec{u}, [\vec{u}, \vec{v}] ⊥ \vec{v} .$

• Độ dài của vectơ tích có hướng: $| [\vec{u}, \vec{v}] | = | \vec{u} | \cdot | \vec{v} | \cdot \sin (\vec{u}, \vec{v}) .$

• Hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương $\Leftrightarrow [\vec{u}, \vec{v}] = \vec{0} .$

6.3 Ứng dụng tích có hướng của hai vectơ

• Ba vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ đồng phẳng khi và chỉ khi: $[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{w} = 0$

• Ba vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ không đồng phẳng khi và chỉ khi: $[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{w} \neq 0$

• Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi: $[\vec{A B}, \vec{A C}] \cdot \vec{A D} = 0.$

• Bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện khi: $[\vec{A B}, \vec{A C}] \cdot \vec{A D} \neq 0 .$

• Diện tích hình bình hành ABCD: $S_{A B C D} = | [\vec{A B}, \vec{A D}] | .$

• Diện tích tam giác ABC: $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} | [\vec{A B}, \vec{A C}] | .$

• Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D': $V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = | [\vec{A B}, \vec{A D}] \cdot \vec{A A^{'}} | .$

• Thể tích tứ diện ABCD: $V_{A B C D} = \frac{1}{6} | [\vec{A B}, \vec{A C}] \cdot \vec{A D} | .$

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Tọa độ điểm vectơ liên quan đến trục tọa độ Oxyz

1.1. Phương pháp giải

• Nắm vững các phương pháp tìm tọa độ.

• Vận dụng công thức xác định độ dài, tọa độ.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; −3; 5). Tìm tọa độ A' là điểm đối xứng với A qua trục Oy.

A. A' (2; 3; 5).

B. A' (2; −3; −5).

C. A' (−2; −3; 5).

D. A' (−2; −3; −5).

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A (2; −3; 5) lên Oy. Suy ra H (0; −3; 0).

Khi đó H là trung điểm đoạn AA' nên (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ A' (−2; −3; −5). Chọn D.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\vec{a}$ = (2; m - 1; 3), $\vec{b}$ = (1; 3; -2n). Tìm m, n để các vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ cùng hướng.

A. m = 7; n = - $\frac{3}{4}$ .

B. m = 4; n = -3.

C. m = 1; n = 0.

D. m = 7; n = - $\frac{4}{3}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

Vậy m = 7; n = - $\frac{3}{4}$ . Chọn A.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1; 2; -1), B (2; -1; 3) và C (-3; 5; 1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

A. D (-2; 8; -3).

B. D (-4; 8; -5).

C.D (-2; 2; 5).

D. D (-4; 8; -3).

Hướng dẫn giải

Gọi D (x_D; y_D; z_D) cần tìm.

Tứ giác ABCD là hình bình hành

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

Suy ra D (-4; 8; -3). Chọn D.

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (0; 2; -2), B (2; 2; -4). Giả sử là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính T = a² + b² + c².

A. T = 8.

B. T = 2.

C. T = 6.

D. T = 14.

Hướng dẫn giải

Ta có $\vec{O A}$ = (0; 2; -2), $\vec{O B}$ = (2; 2; -4), (OAB) có phương trình: x + y + z = 0.

I ∈ (OAB) ⇒ a + b + c = 0.

$\vec{A I}$ = (a; b - 2; c + 2), $\vec{B I}$ = (a - 2; b - 2; c + 4), $\vec{O I}$ = (a; b; c).

Ta có hệ (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

Vậy I (2; 0; -2) ⇒ a² + b² + c²= 8. Chọn A.

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (-2; 3; 1), B (2; 1; 0), C (-3; -1; 1). Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và $S_{A B C D} = 3 S_{△ A B C} .$

A. D (8; 7; -1).

B. (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

C. (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

D. D (-12; -1; 3).

Hướng dẫn giải

Ta có: S_ABCD = $\frac{1}{2}$ (AD + BC).D (A, BC) $\Leftrightarrow S_{A B C D} = \frac{1}{2} (A D + B C) \cdot \frac{2 S_{Δ A B C}}{B C}$ $\Leftrightarrow 3 S_{Δ A B C} = \frac{(A D + B C) \cdot S_{Δ A B C}}{B C} \Leftrightarrow$ 3BC = AD + BC $\Leftrightarrow$ AD = 2BC.

Mà ABCD là hình thang có đáy AD nên $\vec{A D} = 2 \vec{B C}$ (1).

Ta có $\vec{B C}$ = (-5; -2; 1), $\vec{A D}$ = (x_D + 2; y_D - 3; z_D - 1).

(1) (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ Vậy D (-12; -1; 3). Chọn D.

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (3; -1; ). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm

A. M (3; 0; 0).

B. N (0; −1; 1).

C. P (0; −1; 0).

D. Q (0; 0; 1).

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M (x; y; z). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) thì M' (x; y; -z).

B. Nếu M' đối xứng với M qua Oy thì M' (x; y; -z).

C. Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) thì M' (x; y; -z).

D. Nếu M' đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M' (2x; 2y; 0).

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (-1; 5; 3) và M (2; 1; -2). Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là

A. $B (\frac{1}{2}; 3; \frac{1}{2}) .$

B. B (-4; 9; 8).

C. B (5; 3; -7).

D. B (5; -3; -7).

Câu 4. Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết A (2; 0; 0), B (0; 3; 0) và C (0; 0; 4).

A. $S = \frac{\sqrt{61}}{3} .$

B. $S = \frac{\sqrt{61}}{2} .$

C. $S = 2 \sqrt{61} .$

D. $S = \sqrt{61} .$

Câu 5. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho O (0; 0; 0), A (0; 1; −2), B (1; 2; 1), C (4; 3; m). Tất cả giá trị của m để 4 điểm O, A, B, C đồng phẳng?

A. m = 14.

B. m = −14.

C. m = 7.

D. m = −7.

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\vec{u} = 2 \vec{i} - 2 \vec{j} + \vec{k}$ , $\vec{v}$ = (m; 2; m + 1) với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của m để | $\vec{u}$ | = | $\vec{v}$ |.

Điền đáp án

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; -2; 0), B (1; 0; -1), C (0; -1; 2), D (-2; m; n). Biết m và n là các giá trị để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng, hãy tính giá trị của biểu thức m + 2n.

Điền đáp án

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Trong không gian với hệ Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 2), B (1; 1; 3), C (1; -1; 4)

a) Tọa độ D trên (Oxy) sao cho BD song song với AC là D (1; 0; 1)

b) Tọa độ điểm E (-1; 0; 0) trên Ox sao cho DE vuông góc với AB.

c) Diện tích tam giác ABC là $\frac{3}{2} .$

d) Cho CF là phân giác trong của tam giác ABC, ta có $F (\frac{3}{3 + \sqrt{5}}; 1; \frac{2 \sqrt{5} + 9}{3 + \sqrt{5}}) .$

................................

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mặt phẳng

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

• Vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ của mặt phẳng (P) là vectơ có giá vuông góc với (P).

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mặt phẳng

Nếu $\vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của (P) thì k. $\vec{n}$ cũng là một vectơ pháp tuyến của (P).

• Nếu mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}$ thì (P) có vectơ pháp tuyến là $\vec{n} = [{\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}] .$

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mặt phẳng

• Trong không gian Oxyz, một mặt phẳng bất kỳ đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (A; B; C) với A, B, C không đồng thời bằng 0 (A² + B² + C² > 0).

• Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của AB.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mặt phẳng

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, tìm điểm thuộc mặt phẳng

1.1. Phương pháp giải

Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là tìm một vectơ vuông góc với (P).

+ Nếu (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² > 0) thì $\vec{n}$ = (A; B; C) là một vectơ pháp tuyến của (P).

+ Nếu có hai vectơ ${\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}$ có giá song song hoặc nằm trên (P) thì một vectơ pháp tuyến của (P) là [ ${\vec{u}}_{1}, {\vec{u}}_{2}$ ].

+ Điểm M (x₀; y₀; z₀) ∈ (P): Ax + By + Cz + D = 0 khi và chì khi tọa độ của M thỏa mãn phương trình của (P), tức là Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (1; 0; 3), N (2; 0; 1), P (2; 3; 3). Xác định một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP).

Hướng dẫn giải

Vì mặt phẳng (MNP) nhận $\vec{M N}$ và $\vec{M P}$ là hai vectơ chỉ phương nên mặt phẳng (MNP) nhận [ $\vec{M N}$ , $\vec{M P}$ ] là một vectơ pháp tuyến.

Ta có $\vec{M N}$ = (1; 0; -2); $\vec{M P}$ = (1; 3; 0) ⇒ [ $\vec{M N}$ , $\vec{M P}$ ] = (6; -2; 3).

Vậy mặt phẳng (MNP) có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}$ = (6; -2; 3).

Ví dụ 2. Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z + 2 = 0. Trong những điểm sau, điểm nào thuộc mặt phẳng (P), điểm nào không thuộc mặt phẳng (P): M (0; 0; -2), N (1; 1; -7), M (-1; -2; 5).

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng ta có:

+) 2.0 + 3.0 + (-2) + 2 = 0 nên M (0; 0; -2) ∈ (P).

+) 2.1 + 3.1 + (-7) + 2 = 0 nên N (1; 1; -7) ∈ (P).

+) 2.(-1) + 3.(-2) + 5 + 2 = -1 ≠ 0 nên P (-1; -2; 5) $\notin$ (P).

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Trong không gian Oxyz, gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A (2; -3; 1) lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng (MNP) là

A. $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{1} = 1.$

B. 3x - 2y + 6z = 6.

C. $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} + \frac{z}{1} = 0.$

D. 3x - 2y + 6z - 12 = 0.

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0, (Q): 2y + z - 5 = 0 và (R): x - y + z - 2 = 0. Gọi ( $α$ ) là mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q), đồng thời vuông góc với (R) . Phương trình của ( $α$ ) là

A. 2x + 3y - 5z + 5 = 0.

B. x + 3y + 2z - 6 = 0.

C. x + 3y + 2z + 6 = 0.

D. 2x + 3y - 5z - 5 = 0.

Câu 3. Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B (2; 1; -3), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + y + 3z = 0, (R): 2x - y + z = 0 là

A. 4x + 5y - 3z + 22 = 0.

B. 4x - 5y - 3z - 12 = 0.

C. 2x + y - 3z - 14 = 0.

D. 4x + 5y - 3z - 22 = 0.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (0; 1; 2), B (2; -2; 0), C (-2; 0; -1). Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là

A. 4x - 2y - z + 4 = 0.

B. 4x - 2y + z + 4 = 0.

C. 4x + 2y + z - 4 = 0.

D. 4x + 2y - z + 4 = 0.

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC.

A. (P): 6x + 3y + 2z + 18 = 0.

B. (P): 6x + 3y + 2z + 6 = 0.

C. (P): 6x + 3y + 2z - 18 = 0.

D. (P): 6x + 3y + 2z - 6 = 0.

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A (1; 1; 1) và B (0; -2; 2), đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm cách đều O. Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 và mặt phẳng (Q) có phương trình x + b₂y + c₂z + d₂ = 0. Giá trị biểu thức b₁b₂ + c₁c₂ là:

Điền đáp án

Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A (1; 1; 1), B (2; 0; 2), C (-1; -1; 0), D (0; 3; 4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B', C', D' thỏa mãn $\frac{A B}{A B^{'}} + \frac{A C}{A C^{'}} + \frac{A D}{A D^{'}} = 4.$ Phương trình mặt phẳng (B'C'D') khi tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất có dạng ax + by + cz + d = 0. Tính giá trị biểu thức a + b + c + d.

Điền đáp án

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho điểm I (1; -1; 0). Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + y + 3z = 0, (R): 2x - y + z = 0 và cách I một khoảng bằng $\sqrt{2} .$

a) Hai mặt phẳng (Q) và (R) song song với nhau vì cùng vuông góc với (P).

b) (P) nhận (1; 1; 3) và (2; -1; 1) là một cặp vectơ chỉ phương.

c) (P) nhận $\vec{n}$ = (4; 5; -3) là một vectơ pháp tuyến.

d) Phương trình mặt phẳng (P): 4x + 5y - 3z + 11 = 0 là hoặc 4x + 5y - 3z + 9 = 0.

................................

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

Phương trình tham số của đường thẳng

• Cho đường thẳng $Δ$ . Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $Δ$ .

Phương trình tham số của đường thẳng $Δ$ đi qua điểm M₀ (x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

• Nếu u₁, u₂, u₃ đều khác 0, phương trình đường thẳng $Δ$ viết dưới dạng chính tắc như sau:

$\frac{x - x_{0}}{u_{1}} = \frac{y - y_{0}}{u_{2}} = \frac{z - z_{0}}{u_{3}} .$

• Ngoài ra, đường thẳng còn có dạng tổng quát là (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng với A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ thỏa mãn $A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2} > 0, A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2} > 0.$

* Lưu ý: Nếu $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của $Δ$ thì $k \cdot \vec{u} (k \neq 0)$ cũng là vectơ chỉ phương của $Δ$ .

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Lập phương trình đường thẳng

1.1. Viết phương trình đường thẳng biết một điểm thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương

1.1.1. Phương pháp giải

Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d là tìm một vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.

Nếu d: (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

+ Phương trình đường thẳng d dạng tham số là (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

+ Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc là $d : \frac{x - x_{0}}{a_{1}} = \frac{y - y_{0}}{a_{2}} = \frac{z - z_{0}}{a_{3}}$ , (a₁a₂a₃ ≠ 0).

1.1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 0; 1), B (1; 1; 0), C (3; 4; -1). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với BC.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua A và song song với BC nhận $\vec{B C}$ = (2; 3; -1) làm một vectơ chỉ phương.

Phương trình của đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 1}{- 1} .$

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M (1; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d vuông góc với (P) nên d nhận ${\vec{n}}_{(P)}$ = (2; -1; 3) là một vectơ chỉ phương. Mặt khác d đi qua M (1; 1; 0) nên d có phương trình $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{3} .$

1.2. Viết phương trình đường thẳng sử dụng tích có hướng để tìm vectơ chỉ phương

1.2.1. Viết phương trình đuờng thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng cho trước

1.2.1.1. Phương pháp giải

Đường thẳng d qua M (x₀; y₀; z₀) và $d ⊥ d_{1}, d ⊥ d_{2} .$ Ta có d: (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

1.2.1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (-1; 1; 3) và hai đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 1}{1},$ $Δ^{'} : \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{- 2} .$ Viết phương trình đường thẳng qua M, vuông góc với $Δ$ và $Δ$ '.

Hướng dẫn giải

VTCP của $Δ$ , $Δ$ ' lần lượt là $\vec{u}$ = (3; 2; 1) và $\vec{v}$ = (1; 3; -2). Ta có [ $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ] = (-7; 7; 7).

Vì d vuông góc với $Δ$ và $Δ$ ' nên ${\vec{u}}_{d}$ = (-1; 1; 1).

d đi qua M (-1; 1; 3) nên (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

1.2.2. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với hai mặt phẳng cho trước

1.2.2.1. Phương pháp giải

Đường thẳng d qua M (x₀; y₀; z₀) và d // (P), d // (Q). Ta có d: (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

1.2.2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; -2; 3) và hai mặt phẳng (P): x + y +z + 1 = 0, (Q): x - y +z - 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với (P) và (Q).

Hướng dẫn giải

Ta có (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng và [ ${\vec{n}}_{(P)}, {\vec{n}}_{(Q)}$ ] = (2; 0; -2).

Vì đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q), nên d có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (1; 0; -1).

Đường thẳng d đi qua A (1; -2; 3) nên có phương trình: (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

1.2.3. Viết phương trình đuờng thẳng đi qua một điểm, song song với một mặt phẳng và vuông góc với một đường thẳng cho trước

1.2.3.1. Phương pháp giải

Đường thẳng d qua M (x₀; y₀; z₀) và d // (P), d $⊥ Δ$ . Ta có d: (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

1.2.3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; -3; 4), đường thẳng d có phương trình: $\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{- 5} = \frac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng (P): 2x +z - 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng $∆$ qua M, vuông góc với d và song song với (P).

Hướng dẫn giải

Ta có ${\vec{u}}_{d}$ = (3; -5; -1) là vectơ chỉ phương của d; ${\vec{n}}_{(p)}$ = (2; 0; 1) là vectơ pháp tuyến của (P).

Ta có [ $\vec{u_{d}}, \vec{n_{(p)}}$ ] = (-5; -5; 10).

Do $∆$ vuông góc với d và song song với (P) nên $\vec{u}$ = (1; 1; -2) là vectơ chỉ phương của $∆$ .

Khi đó, phương trình của $∆$ là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2} .$

1.3. Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước

1.3.1. Phương pháp giải

Đường thẳng d là giao tuyến của (P): a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 và (Q): a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0.

Ta có các điểm thuộc d có tọa độ thỏa mãn hệ: (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Cho x (hoặc y, z) một giá trị cụ thể, giải hệ tìm được điểm A ∈ d, lặp lại bước này để tìm một điểm B ∈ d.

Khi đó, ta có (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

1.3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng ( $α$ ): x + 3y - z + 1 = 0; ( $β$ ): 2x - y + z - 7 = 0.

Hướng dẫn giải

Tọa độ các điểm thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng thỏa mãn hệ phương trình: (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Vậy đường thẳng d đi qua A (2; 0; 3) và nhận $\vec{A B}$ = (-2; 3; 7) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: $\frac{x - 2}{- 2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 3}{7} .$

1.4. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm, cắt và vuông góc với một đường thẳng cho trước

1.4.1. Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d qua A, cắt và vuông góc với d' cho trước với (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

• Cách 1:

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc d'.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Nghĩa là mặt phẳng (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Tìm B = d' $\cap$ (P). Suy ra đường thẳng d qua A và B.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

* Lưu ý: Trường hợp d' là các trục tọa độ thì d $\equiv$ AB, với B là hình chiếu của A lên trục.

• Cách 2:

Giả sử d $\cap$ d' = B, (B ∈ d', B ∈ d); B (x₁ + a₁t; y₁ + a₂t; z₁ + a₃t) ∈ d'.

Vì $A B ⊥ d^{'} \Rightarrow \vec{A B} \cdot \vec{u_{d^{'}}} = 0 \Rightarrow$ tìm t ⇒ tìm ra B.

Đường thẳng d qua A và B.

1.4.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (0; 1; -1) và đường thẳng $d : \frac{x + 3}{4} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 3}{- 4} .$ Viết phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Gọi B là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng $Δ$ .

Đường thẳng d có phương trình tham số (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

B ∈ d ⇒ B (-3 + 4t; 1 - t; 3 - 4t); $\vec{A B}$ = (-3 + 4t; -t; 4 - 4t).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\vec{u}$ = (4; -1; -4).

Ta có $\vec{A B} ⊥ \vec{u} \Leftrightarrow \vec{A B} \cdot \vec{u} = 0 \Leftrightarrow$ 4.(-3 + 4t) - 1.(-t) - 4.(4 - 4t) = 0 $\Leftrightarrow 33 t = 28 \Leftrightarrow t = \frac{28}{33} .$

Khi đó, $\vec{A B} = (\frac{13}{33}; \frac{- 28}{33}; \frac{20}{33}) .$

Đường thẳng $Δ$ đi qua điểm A (0; 1; -1) và nhận vectơ $\vec{A B}$ hay $\vec{u_{d}}$ = (13; -28; 20) có phương trình chính tắc là $\frac{x}{13} = \frac{y - 1}{- 28} = \frac{z + 1}{20} .$

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (1; -1; 3) và hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z - 1}{- 2},$ $d_{2} : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1} .$ Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với d₁và cắt d₂.

Hướng dẫn giải

Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với đường thẳng d₁.

Đường thẳng d₁có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{1}$ = (1; 4; -2) nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\vec{n}$ = (1; 4; -2).

Suy ra, phương trình mặt phẳng (P) là: 1(x - 1) + 4(y + 1) - 2(z - 3) $\Leftrightarrow$ x + 4y - 2z + 9 = 0.

Gọi giao điểm của đường thẳng d₂ và mặt phẳng (P) là điểm B.

Do B thuộc d₂ nên tọa độ B (2 + t;-1 - t; 1 + t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 2 + t + 4(-1 - t) - 2(1 + t) + 9 = 0 $\Leftrightarrow$ t = 1 ⇒ B (3; -2; 2).

Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A (1; -1; 3) nhận vectơ $\vec{A B}$ = (2; -1; -1) làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 3}{- 1} .$

1.5. Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước

1.5.1. Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d thỏa mãn một điều kiện và cắt hai đường thẳng d₁ và d₂ cho trước

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Gọi A = d $\cap$ d₁, B = d $\cap$ d₂, ta có A (x₁ + a₁t; y₁ + b₁t; z₁ + c₁t), B (x₂ + a₂k; y₂ + b₂k; z₂ + c₂k).

Tìm vectơ $\vec{A B}$ , cho vectơ $\vec{A B}$ thỏa mãn điều kiện cho trước. Đường thẳng d qua A và B.

1.5.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ , $d_{2} : \frac{x - 5}{- 3} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$ và mặt phẳng (P): x + 2y + 3z - 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (P), cắt d₁ và d₂.

Hướng dẫn giải

Gọi đường thẳng cần tìm là $Δ$ .

Giả sử đường thẳng $Δ$ cắt đường thẳng d₁ và d₂lần lượt tại A, B.

Gọi A (3 - t₁; 3 - 2t₁; -2 + t₁), B (5 - 3t₂; -1 + 2t₂; 2 + t₂).

Ta có $\vec{A B}$ = (2 - 3t₂ + t₁; -4 + 2t₂ + 2t₁; 4 + t₂ - t₁).

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\vec{n}$ = (1; 2; 3).

Do $\vec{A B}$ và $\vec{n}$ cùng phương nên $\frac{2 - 3 t_{2} + t_{1}}{1} = \frac{- 4 + 2 t_{2} + 2 t_{1}}{2}$ $= \frac{4 + t_{2} - t_{1}}{3}$

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Do đó A (1; -1; 0).

Phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua A (1; -1; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{n}$ = (1; 2; 3) là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3} .$

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1},$ $d_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Biết đường thẳng $Δ$ nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d₁, d₂. Viết phương trình chính tắc của $Δ$ .

Hướng dẫn giải

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của $Δ$ với d₁, d₂.

Do $Δ \subset (P)$ suy ra A, B cũng chính là giao điểm của (P) với d₁, d₂.

Ta có (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Khi đó (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Vậy $Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z - 2}{- 1} .$

1.6. Viết phương trình đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

1.6.1. Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của d₁ và d₂ với:

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Gọi A = d $\cap$ d₁, B = d $\cap$ d₂, ta có A (x₁ + a₁t; y₁ + b₁t; z₁ + c₁t), B (x₂ + a₂k; y₂ + b₂k; z₂ + c₂k).

Ta có (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Giải hệ trên để tìm t, k, từ đó tìm A, B. Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

1.6.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng và $(d_{2}) : \frac{x}{1} = \frac{y - 7}{- 3} = \frac{z}{- 1} .$ Đường thẳng $Δ$ là đường vuông góc chung của (d₁) và (d₂). Viết phương trình của đường thẳng $Δ$ .

Hướng dẫn giải

Lấy điểm M ∈ (d₁): M (2 + t₁; 1 + t₁; 1 + t₁), N ∈ (d₂): N (t₂; 7 - 3t₂; -t₂).

Ta có $\vec{M N}$ = (t₂ - t₁ - 2; -3t₂ - t₁ + 6; -t₂ - t₁ - 1).

Đường thẳng MN là đường vuông góc chung (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Suy ra M (1; 0; 0), N (2; 1; -2) và $\vec{M N}$ = (1; 1; -2).

Phương trình đường thẳng $Δ$ đi qua M, N là: $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{- 2} .$

1.7. Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của một đường thẳng lên một mặt phẳng

1.7.1. Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $Δ$ lên mặt phẳng (P).

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $Δ$ và (P).

• Nếu $Δ$ // (P).

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Chọn một điểm M trên $Δ$ .

Tìm H là hình chiếu của M lên (P).

Hình chiếu (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

• Nếu $Δ \cap (P) = I .$

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Chọn một điểm M ≠ I trên $Δ$ .

Tìm H là hình chiếu của M lên (P).

Hình chiếu vuông góc của $Δ$ lên (P) là d $\equiv$ IH.

1.7.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 5}{- 1} = \frac{z - 3}{4} .$ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng x + 3 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có M ∈ d ⇒ M (1 + 2t; -5 - t; 3 + 4t). Gọi M' là hình chiếu của M trên (P): x + 3 = 0.

Suy ra M' (-3; -5 - t; 3 + 4t). Suy ra (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

1.8. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với một đường thẳng qua một mặt phẳng

1.8.1. Phương pháp giải

Viết đường thẳng d là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $Δ$ qua mặt phẳng (P).

Phương pháp: Xét vị trí tương đối của đường thẳng $Δ$ và (P).

• Nếu $Δ$ // (P).

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Chọn một điểm M trên $Δ$ .

Tìm H là hình chiếu của M lên (P).

Tìm M' đối xứng với M qua (P).

Đường thẳng đối xứng (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

• Nếu $Δ \cap (P) = I .$

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Chọn một điểm M trên $Δ$ .

Tìm H là hình chiếu của M lên (P).

Tìm M' đối xứng với M qua (P).

Đường thẳng đối xứng (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

1.8.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( $α$ ): 2x + y + z - 3 = 0 và đường thẳng $d : \frac{x + 4}{3} = \frac{y - 3}{- 6} = \frac{z - 2}{- 1} .$ Viết phương trình đường thẳng d' đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng ( $α$ ).

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng ( $α$ ): 2x + y + z - 3 = 0 có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ = (2; 1; 1).

Gọi tọa độ giao điểm của d và ( $α$ ) là I thì I (-22; 39; 8).

Lấy A (-4; 3; 2) ∈ d. Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( $α$ ).

Suy ra phương trình đường thẳng $Δ$ là (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Gọi H là hình chiếu của A lên ( $α$ ) thì $H = Δ \cap (α) \Rightarrow$ H (-2; 4; 3).

A' đối xứng với A qua ( $α$ ) $\Leftrightarrow$ H là trung điểm AA' ⇒ A' (0; 5; 4).

Đường thẳng d' đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng ( $α$ ) ⇒ d' đi qua điểm I, A' có vectơ chỉ phương $\vec{A^{'} I}$ = (22; -34; -4) = 2 (11; -17; -2) có phương trình là: $\frac{x}{11} = \frac{y - 5}{- 17} = \frac{z - 4}{- 2} .$

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm A (1; 2; 4), B (-2; 3; 5), C (-9; 7; 6) có tọa độ là:

A. (3; 4; 5).

B. (-3; 4; -5).

C. (3; -4; 5).

D. (3; 4; -5).

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là: $\frac{x}{1} = \frac{y - 6}{- 4} = \frac{z - 6}{- 3} .$ Biết rằng điểm M (0; 5; 3) thuộc đường thẳng AB và điểm N (1; 1; 0) thuộc đường thẳng AC. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.

A. $\vec{u}$ = (0; 1; -3).

B. $\vec{u}$ = (1; 2; 3).

C. $\vec{u}$ = (0; 1; 3).

D. $\vec{u}$ = (0; -2; 6).

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (4; -2; 3), (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng đường thẳng d đi qua A cắt và vuông góc với $Δ$ có một vectơ chỉ phương là

A. $\vec{a}$ = (5; 2; 15).

B. $\vec{a}$ = (1; 0; 3).

C. $\vec{a}$ = (4; 3; 12).

D. $\vec{a}$ = (-2; 15; -6).

Câu 4. Cho mặt phẳng ( $α$ ) và đường thẳng $Δ$ không vuông góc với ( $α$ ). Gọi ${\vec{u}}_{Δ}$ , ${\vec{n}}_{(α)}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $Δ$ và vectơ pháp tuyến của ( $α$ ) . Đâu là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ ' là hình chiếu của $Δ$ trên ( $α$ )?

A. $[[{\vec{u}}_{Δ}, {\vec{n}}_{(α)}], {\vec{u}}_{Δ}] .$

B. $[[{\vec{u}}_{Δ}, {\vec{n}}_{(α)}], {\vec{n}}_{(α)}] .$

C. $[{\vec{u}}_{Δ}, [{\vec{n}}_{(α)}, {\vec{u}}_{Δ}]] .$

D. ${\vec{u}}_{Δ} \cdot [{\vec{u}}_{Δ}, {\vec{n}}_{(α)}] .$

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$ và mặt phẳng ( $α$ ): x + y + z - 1 = 0. Gọi d là đường thẳng nằm trên ( $α$ ) đồng thời cắt đường thẳng $Δ$ và trục Oz. Một vectơ chỉ phương của d là

A. $\vec{u}$ = (1; 1; -2).

B. $\vec{u}$ = (1; 2; -3).

C. $\vec{u}$ = (1; -2; 1).

D. $\vec{u}$ = (2; -1; -1).

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (2; 3; 3), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là $\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 2}{- 1}$ , phương trình đường phân giác trong của góc C là $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 4}{- 1} = \frac{z - 2}{- 1} .$ Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là (a; 1; c). Giá trị của a + c là:

Điền đáp án

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (-3; 0; 1), B (1; -1; 3) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0. Đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất có vectơ chỉ phương là (a; b; -2). Giá trị của biểu thức S = a - b là:

Điền đáp án

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng $Δ_{2} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{- 3} = \frac{z + 3}{2}$ và mặt phẳng (P): x + 3y - 2z + 1 = 0.

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ_{1}$ là $\vec{a}$ = (1; -3; 4).

b) Đường thẳng d₁ vuông góc với (P) có vectơ chỉ phương là $\vec{u}$ = (1; 3; -2).

c) Đường thẳng d₂ vuông góc với $Δ_{2}$ và song song với mặt phẳng (Oxy) có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{2}$ = (3; -3; 2).

d) Đường thẳng d₃ qua A (1; -1; 2), cắt và vuông góc với trục Oz có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{3}$ = (-1; -1; 0).

................................

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mặt cầu

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

• Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R (R > 0) có phương trình dạng chính tắc là (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mặt cầu

• Phương trình mặt cầu (S) dạng khai triển:

x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,

với a² + b² + c² - d > 0.

Khi đó I (a; b; c) là tâm và $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d}$ là bán kính của mặt cầu.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Xác định tâm, bán kính, nhận dạng mặt cầu

1.1. Phương pháp giải

• Mặt cầu dạng chính tắc: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R², có tâm I (a; b; c), bán kính R.

• Mặt cầu dạng khai triển: x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, điều kiện a² + b² + c² - d > 0, có tâm I (a; b; c), bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} .$

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² + 4x - 2y - 4 = 0. Tính bán kính R của (S).

Hướng dẫn giải

Ta có x² + y² + z² + 4x - 2y - 4 = 0.

Khi đó, a = -2, b = 1, c = 0, d = -4. Bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = 3.$

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + (y - 1)² + z² = 2. Trong các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu (S)?

A. M (1; 1; 1).

B. N (0; 1; 0).

C. P (1; 0; 1).

D. Q (1; 1; 0).

Hướng dẫn giải

Tâm I (0; 1; 0), $\vec{I P}$ = (1; -1; 1) $\Rightarrow I P = | \vec{I P} | = \sqrt{3} > \sqrt{2}$ = R.

Vậy điểm P (1; 0; 1) nằm ngoài mặt cầu. Chọn C.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x² + y² + z² + 4x - 2y + 2z + m = 0 là phương trình của một mặt cầu.

A. m ≤ 6.

B. m < 6.

C. m > 6.

D. m ≥ 6.

Hướng dẫn giải

Điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu là

a² + b² + c² - d > 0 $\Leftrightarrow$ (-2)² + 1² + (-1)² - m > 0 $\Leftrightarrow$ m < 6. Chọn B.

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - 2y - z + 9 = 0 và mặt cầu (S): (x - 3)² + (y + 2)² + (z - 1)² = 100. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của đường tròn (C).

A. K (1; -2; 3), r = 8.

B. K (1; 2; 3), r = 6.

C. K (3; -2; 1), r = 10.

D. K (-1; 2; 3), r = 8.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (1; -1; 2) và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{1} .$ Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A và B với AB = 10. Viết phương trình của mặt cầu (S).

A. (S): (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 31.

B. (S): (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 31.

C. (S): (x - 1)² + (y + 1)² + (z - 2)² = 27.

D. (S): (x + 1)² + (y - 1)² + (z + 2)² = 27.

Câu 3. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình x² + y² + z² - 2(m + 2)x + 4my - 2mz + 7m² - 1 = 0 là phương trình mặt cầu. Số phần tử của S là

A. 6.

B. 7.

C. 4.

D. 5.

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (3; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0; 0; 3). Gọi (S) là mặt cầu có đường tròn lớn cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng.

A. Điểm O nằm trên (S).

B. Điểm O nằm trong (S).

C. Điểm O nằm ngoài (S).

D. Điểm O là tâm của (S).

Câu 5. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Mặt cầu (S) có phương trình (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R²tiếp xúc với trục Ox thì bán kính mặt cầu (S) là $r = \sqrt{b^{2} + c^{2}} .$

B. Mặt cầu tâm I (2; -3; -4) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình x² + y² + z² - 4x + 6y + 8z + 12 = 0.

C. Mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² - 2x - 4y - 6z = 0 cắt trục Ox tại A (khác gốc tọa độ O). Khi đó tọa độ là A (2; 0; 0).

D. x² + y² + z² + 2x - 2y - 2z + 10 = 0 là phương trình mặt cầu.

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 12 và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 11 = 0. Xét điểm M di động trên (P) và các điểm phân biệt di động trên (S) sao cho AM, BM, CM là các tiếp tuyến của (S). Mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ (0; a; b). Giá trị của a + b là:

Điền đáp án

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y + 1)² + (z - 2)² = 9 và điểm M (1; 3; -1). Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn (C) có tâm J (a; b; c). Giá trị a + 25b + 25c bằng:

Điền đáp án

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 9 và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z + 3 = 0. Gọi M (a; b; c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất.

a) Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; -3) và bán kính R = 3.

b) Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn.

c) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là $\frac{5}{3} .$

d) Giá trị của biểu thức T = a + b + c = 7.

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

HOT 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường ĐH fle word có đáp án (2025).

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2026 cho 2k8:

TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

+ Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

500+ đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia form 2025

( 128 tài liệu )

100+ đề thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh...

( 84 tài liệu )

Đề thi giữa kì, cuối kì 12

( 143 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 12....

( 31 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...12

( 104 tài liệu )

Đề thi HSG 12

( 4 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.