(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mặt cầu

Chủ đề Phương trình mặt cầu trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mặt cầu

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

• Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R (R > 0) có phương trình dạng chính tắc là (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².

• Phương trình mặt cầu (S) dạng khai triển:

x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0,

với a² + b² + c² - d > 0.

Khi đó I (a; b; c) là tâm và $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ là bán kính của mặt cầu.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Xác định tâm, bán kính, nhận dạng mặt cầu

1.1. Phương pháp giải

• Mặt cầu dạng chính tắc: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R², có tâm I (a; b; c), bán kính R.

• Mặt cầu dạng khai triển: x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, điều kiện a² + b² + c² - d > 0, có tâm I (a; b; c), bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}.$

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² + 4x - 2y - 4 = 0. Tính bán kính R của (S).

Hướng dẫn giải

Ta có x² + y² + z² + 4x - 2y - 4 = 0.

Khi đó, a = -2, b = 1, c = 0, d = -4. Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=3.$

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + (y - 1)² + z² = 2. Trong các điểm cho dưới đây, điểm nào nằm ngoài mặt cầu (S)?

A. M (1; 1; 1).

B. N (0; 1; 0).

C. P (1; 0; 1).

D. Q (1; 1; 0).

Hướng dẫn giải

Tâm I (0; 1; 0), $\overrightarrow{IP}$ = (1; -1; 1) $\Rightarrow IP=\left|\overrightarrow{IP}\right|=\sqrt{3}>\sqrt{2}$ = R.

Vậy điểm P (1; 0; 1) nằm ngoài mặt cầu. Chọn C.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x² + y² + z² + 4x - 2y + 2z + m = 0 là phương trình của một mặt cầu.

A. m ≤ 6.

B. m < 6.

C. m > 6.

D. m ≥ 6.

Hướng dẫn giải

Điều kiện để phương trình trên là phương trình mặt cầu là

a² + b² + c² - d > 0 $\iff$ (-2)² + 1² + (-1)² - m > 0 $\iff$ m < 6. Chọn B.

................................

................................

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - 2y - z + 9 = 0 và mặt cầu (S): (x - 3)² + (y + 2)² + (z - 1)² = 100. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm K và bán kính r của đường tròn (C).

A. K (1; -2; 3), r = 8.

B. K (1; 2; 3), r = 6.

C. K (3; -2; 1), r = 10.

D. K (-1; 2; 3), r = 8.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I (1; -1; 2) và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1}.$ Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A và B với AB = 10. Viết phương trình của mặt cầu (S).

A. (S): (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 31.

B. (S): (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 2)² = 31.

C. (S): (x - 1)² + (y + 1)² + (z - 2)² = 27.

D. (S): (x + 1)² + (y - 1)² + (z + 2)² = 27.

Câu 3. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình x² + y² + z² - 2(m + 2)x + 4my - 2mz + 7m² - 1 = 0 là phương trình mặt cầu. Số phần tử của S là

A. 6.

B. 7.

C. 4.

D. 5.

Câu 4. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (3; 0; 0), B (0; 3; 0), C (0; 0; 3). Gọi (S) là mặt cầu có đường tròn lớn cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng.

A. Điểm O nằm trên (S).

B. Điểm O nằm trong (S).

C. Điểm O nằm ngoài (S).

D. Điểm O là tâm của (S).

Câu 5. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Mặt cầu (S) có phương trình (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R² tiếp xúc với trục Ox thì bán kính mặt cầu (S) là $r=\sqrt{b^2+c^2}.$

B. Mặt cầu tâm I (2; -3; -4) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) có phương trình x² + y² + z² - 4x + 6y + 8z + 12 = 0.

C. Mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² - 2x - 4y - 6z = 0 cắt trục Ox tại A (khác gốc tọa độ O). Khi đó tọa độ là A (2; 0; 0).

D. x² + y² + z² + 2x - 2y - 2z + 10 = 0 là phương trình mặt cầu.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 12 và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 11 = 0. Xét điểm M di động trên (P) và các điểm phân biệt di động trên (S) sao cho AM, BM, CM là các tiếp tuyến của (S). Mặt phẳng luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ (0; a; b). Giá trị của a + b là:

Điền đáp án

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y + 1)² + (z - 2)² = 9 và điểm M (1; 3; -1). Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn (C) có tâm J (a; b; c). Giá trị a + 25b + 25c bằng:

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 9 và mặt phẳng (P): 2x - 2y + z + 3 = 0. Gọi M (a; b; c) là điểm trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là lớn nhất.

a) Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; -3) và bán kính R = 3.

b) Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn.

c) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là $\frac{5}{3}.$

d) Giá trị của biểu thức T = a + b + c = 7.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thống kê và xác suất
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---