(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối

Chuyên đề Thể tích của một số hình khối trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Hình lăng trụ

Hình lăng trụ: Là hình có hai mặt đáy bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau, các mặt bên là các hình bình bình hành.	Hình lăng trụ đứng: Là lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật.	Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng, có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau.
Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.	Hình hộp chữ nhật: Là hình lăng trụ đứng, có đáy là hình chữ nhật. Các mặt bên của hình hộp chữ nhật đều là các hình chữ nhật.	Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình vuông. Các mặt bên của hình lập phương là các hình vuông.

2. Hình chóp

Hình chóp: Là hình gồm một đa giác gọi là mặt đáy và các tam giác chung đỉnh gọi là mặt bên.

Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên bằng nhau. Chân đường cao của hình chóp đều là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy.

Hình chóp cụt đều: Khi cắt một hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy thì ta được một hình chóp cụt đều. Các cạnh bên của hình chóp cụt đều bằng nhau, các mặt bên của hình chóp cụt đều là những hình thang cân bằng nhau. Đường cao của hình chóp cụt đều là đoạn nối tâm của hai đáy.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Tính thể tích hình chóp

Thể tích khối chóp được tính bằng công thức $V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h$ (với S là diện tích đáy và h là độ dài đường cao của khối chóp).

1.1. Tính thể tích hình chóp có cạnh bên, mặt bên vuông góc với đáy

1.1.1. Phương pháp giải

* Xác định chiều cao của hình chóp:

Hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy thì chiều cao của hình chóp là SA.

Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) thì chiều cao của hình chóp là SH là chiều cao của $\Delta SAB.$

Hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) thì chiều cao của hình chóp là SA.

* Tính diện tích mặt đáy: Sử dụng linh hoạt các công thức diện tích hình phẳng.

1.1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau tại O và OA = 2, OB = 4, OC = 6. Tính thể tích khối tứ diện đã cho.

Hướng dẫn giải

Diện tích tam giác $S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB.$

Ta có $OC\perp OA,OC\perp OB\Rightarrow OC\perp \left(OAB\right).$

Thể tích khối tứ diện OABC là:

$V_{O.ABC}=\frac{1}{3}\cdot OC\cdot S_{OAB}=$$\frac{1}{3}\cdot OC\cdot \frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{6}\cdot OA\cdot OB\cdot OC$$=\frac{1}{6}\cdot 2\cdot 4\cdot 6=8.$

* Lưu ý: Công thức tổng quát tính thể tích khối chóp O.ABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau như sau:

$V_{O.ABC}=\frac{1}{6}OA\cdot OB\cdot OC.$

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a, AC = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60^o. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Trong $\Delta ABC$ kẻ $CH\perp AB\left(H\in AB\right)\Rightarrow CH\perp \left(SAB\right)$ $\Rightarrow CH\perp SB$ (1).

Ta có $BC=\sqrt{A{B}^2-A{C}^2}=a\sqrt{3},$ BH.BA = BC²

$\Rightarrow BH=\frac{3a}{2},CH=\sqrt{B{C}^2-B{H}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Trong $\Delta SAB$ kẻ $HK\perp SB\left(K\in SB\right)$ (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow CK\perp SB.$

Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là $\widehat{CKH}=60°.$

Trong vuông $\Delta CKH$ có $HK=CH\cdot \cot 60°=\frac{a}{2},$ $BK=\sqrt{B{H}^2-H{K}^2}=a\sqrt{2}.$

Ta có $\Delta SAB\backsim \Delta HKB\text{(g.g)}$ nên $\frac{SA}{HK}=\frac{AB}{BK}=\frac{2a}{a\sqrt{2}}\Rightarrow SA=\frac{a}{\sqrt{2}}.$

Thể tích hình chóp S.ABC là $V=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABC}$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{2}\cdot a\sqrt{3}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{6}}{12}.$

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = 2A. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (SAG) tạo với đáy một góc 60^o. Tính thể tích khối tứ diện ACGS.

Hướng dẫn giải

Ta có $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC=a^2$$\Rightarrow S_{\Delta ACG}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}=\frac{a^2}{3}.$

Gọi H là trung điểm của $AB\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right).$

Gọi N là trung điểm của BC, I là trung điểm của AN và K là trung điểm của AI.

Ta có AB = BN = a $\Rightarrow BI\perp AN\Rightarrow HK\perp AN.$

Khi đó, $AG\perp \left(SHK\right)$ nên góc giữa mặt phẳng (SAG) và đáy là $\widehat{SKH}=60°.$

Ta có $BI=\frac{1}{2}AN=\frac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow HK=\frac{1}{2}BI=\frac{a\sqrt{2}}{4},$$SH=HK\cdot \tan 60°=\frac{a\sqrt{6}}{4}.$

Vậy $V_{ACGS}=V_{S.ACG}=\frac{1}{3}\cdot SH\cdot S_{\Delta ACG}=\frac{a^3\sqrt{6}}{36}.$

1.2. Tính thể tích hình chóp đều và các hình chóp khác

1.2.1. Phương pháp giải

* Hình chóp đều

• Xác định chiều cao (là đoạn nối giữa đỉnh và tâm của đáy).

• Tính diện tích đáy: Áp dụng các công thức tính diện tích đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, ...).

* Các hình chóp khác

• Xác định chiều cao: Lưu ý các dữ kiện về hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy.

• Tính diện tích đáy: Áp dụng linh hoạt các công thức tính diện tích hình phẳng.

1.2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho khối chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a và các mặt bên hợp với đáy một góc 45°. Tính thể tính của khối chóp S.ABC theo a.

Hướng dẫn giải

Gọi O là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow SO\perp \left(ABC\right).$

I là trung điểm của BC. Đặt AB = BC = CA = x (x > 0).

Ta có $OI=\frac{1}{3}AI=\frac{x\sqrt{3}}{6};$$SI=\sqrt{S{C}^2-I{C}^2}=\sqrt{a^2-\frac{x^2}{4}}.$

Trong tam giác SOI có $OI=SI\cdot \cos 45°\Rightarrow \frac{x\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{a^2-\frac{x^2}{4}}$$\iff 5x^2=12a^2\Rightarrow x=\frac{2\sqrt{15}a}{5}.$

Suy ra $SO=OI=\frac{\sqrt{5}}{5}a;\text{}{S}_{\Delta ABC}=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{5}{a}^2.$

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{5}{a}^2\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}a=\frac{a^3\sqrt{15}}{25}.$

Ví dụ 2. Tính thể tính khối chóp S.ABC có các cạnh đáy AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 60°.

Hướng dẫn giải

Kẻ $SO\perp \left(ABC\right)$ và OD, OE, OF lần lượt vuông góc với BC, CA, AB.

Dễ dàng chứng minh được $SD\perp BC,SE\perp AC,SF\perp AB$ (như hình vẽ).

Từ đó suy ra $\widehat{SDO}=\widehat{SEO}=\widehat{SFO}=60°.$ Do đó các tam giác vuông SDO; SEO; SFO bằng nhau. Từ đó suy ra OD = OE = OF.

Vậy O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên OA vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến. Suy ra A, O, D thẳng hàng.

Suy ra $AD=\sqrt{A{B}^2-B{D}^2}=\sqrt{16a^2}=4a.$

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp.

Khi đó $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AD\cdot BC=\frac{1}{2}6a\cdot 4a=12a^2,$

Mặt khác $S_{\Delta ABC}=pr=8ar.$ Từ đó suy ra $r=\frac{3}{2}a.$ Do đó $SO=OD\cdot \tan 60°=\frac{3\sqrt{3}a}{2}.$

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}\cdot SO=6a^3\sqrt{3}.$

*Lưu ý: Khối chóp có tất cả các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao khối chóp chính là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a, SA = SB = SC = 6a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Vì AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a nên tam giác ABC vuông tại A.

Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC). Vì SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và chính là trung điểm của BC.

Ta có $SH=\sqrt{S{B}^2-H{B}^2}$$=\sqrt{36a^2-\frac{25}{4}{a}^2}=\frac{\sqrt{119}a}{2}.$

Diện tích tam giác ABC là $S_{\Delta ABC}=6a^2.$

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}\cdot 6a^2\cdot \frac{\sqrt{119}}{2}a=a^3\sqrt{119}.$

* Lưu ý: Khối chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao khối chóp chính là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}=60°$, gọi I là giao điểm của AC và BD. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của BI. Góc giữa SC và (ABCD) bằng 45^o. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Do $SH\perp \left(ABCD\right)$ nên góc giữa SC và (ABCD) là $\widehat{SCH}=45°.$

Có ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}=60°$ nên $\Delta ABD$ là tam giác đều cạnh a, suy ra $IH=\frac{a}{4};IC=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Xét $\Delta IHC$ vuông tại I có $CH=\sqrt{I{H}^2+I{C}^2}=\frac{a\sqrt{13}}{4}.$

Tam giác SHC vuông cân tại H nên $SH=\frac{a\sqrt{13}}{4}.$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SH\cdot S_{ABCD}$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{13}}{4}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{39}}{24}.$

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 4a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H. Biết A, H nằm khác phía với đường thẳng BC và các mặt bên của hình chóp cùng tạo với mặt đáy góc 60°. Tính thể tích của hình chóp đã cho.

Hướng dẫn giải

Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên các cạnh AB, AC, BC.

Khi đó $\widehat{SIH}=\widehat{SJH}=\widehat{SKH}=60°$$\Rightarrow HI=HJ=HK=\frac{SH}{\sqrt{3}}.$

Ta có $S_{\Delta ABC}=S_{\Delta HAB}+S_{\Delta HAC}-S_{\Delta HBC}$$=\frac{1}{2}\left(AB+AC-BC\right)\frac{SH}{\sqrt{3}}$

$\iff \frac{1}{2}AB\cdot AC=a\cdot \frac{SH}{\sqrt{3}}\iff SH=6a\sqrt{3}.$

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SH\cdot S_{\Delta ABC}=$$\frac{1}{3}\cdot 6a\sqrt{3}\cdot 6a^2=12a^3\sqrt{3}\text{.}$

................................

................................

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. $\frac{a^3}{12}.$

B. $\frac{a^3}{4}.$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}.$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}.$

Câu 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA', BB', CC' sao cho $\frac{AM}{A{A}^{\text{'}}}=\frac{1}{2},\frac{BN}{B{B}^{\text{'}}}=\frac{2}{3}$ và mặt phẳng (MNP) chia lăng trụ thành hai phần có thể tích bằng nhau. Khi đó tỉ số $\frac{CP}{C{C}^{\text{'}}}$ là

A. $\frac{1}{4}.$

B. $\frac{5}{12}.$

C. $\frac{1}{3}.$

D. $\frac{1}{2}.$

Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, đáy nhỏ của hình thang là CD, cạnh bên $SC=a\sqrt{15}$. Tam giác SAD là tam giác đều cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy hình chóp. Gọi H là trung điểm cạnh AD, khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SHC) bằng $2\sqrt{6}a.$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

A. $V=24\sqrt{6}{a}^3.$

B. $V=8\sqrt{6}{a}^3.$

C. $V=12\sqrt{6}{a}^3.$

D. $V=4\sqrt{6}{a}^3.$

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H là điểm trên cạnh SD sao cho 5SH = 3SD, mặt phẳng ($\alpha$) qua B, H và song song với đường thẳng AC cắt hai cạnh SA, SC lần lượt tại E, F. Tính tỉ số thể tích $\frac{V_{C.BEHF}}{V_{S.ABCD}}.$

A. $\frac{1}{7}.$

B. $\frac{3}{20}.$

C. $\frac{6}{35}.$

D. $\frac{1}{6}.$

Câu 5. Cho khối chóp S.ABC có AB = 1, AC = 2, BC = $\sqrt{5}$. Các tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B, C, góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60^o. Tính thể tích V của khối chóp đã cho.

A. $V=\frac{2\sqrt{15}}{5}.$

B. $V=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$

C. $V=\frac{2\sqrt{15}}{3}.$

D. $V=\frac{2\sqrt{15}}{15}.$

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Xét tứ diện ABCD có các cạnh AC = CD = DB = BA = 2 và AD, BC thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD là $\frac{m\sqrt{3}}{n}$ với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản. Tính giá trị của m + n.

Điền đáp án

Câu 17. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích V, đáy là tam giác cân, AB = AC. Gọi E là trung điểm cạnh AB và F là hình chiếu vuông góc của E lên BC. Mặt phẳng (C'EF) chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là $V=\frac{m}{n}.$ Tính giá trị biểu thức S = m + n + 3.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat{ABC}=60°$. Biết rằng SA = SC, SB = SD và (SAB) $\perp$ (SBC). Gọi O là giao của hai đường chéo đáy. Gọi E là trung điểm của AD và G là trọng tâm tam giác SAD.

a) Diện tích đáy của khối chóp S.ABCD là $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$

b) Chiều cao của khối chóp S.ABCD bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

c) Khoảng cách từ E đến (SAC) là $\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

d) Thể tích V của tứ diện GSAC là $\frac{\sqrt{2}{a}^3}{24}.$

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thống kê và xác suất
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---