(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Chủ đề Phương trình đường thẳng trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đường thẳng

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

Phương trình tham số của đường thẳng

• Cho đường thẳng $\Delta$. Vectơ $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta$.

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm M₀ (x₀; y₀; z₀) và có vectơ chỉ phương

• Nếu u₁, u₂, u₃ đều khác 0, phương trình đường thẳng $\Delta$ viết dưới dạng chính tắc như sau:

$\frac{x-x_0}{u_1}=\frac{y-y_0}{u_2}=\frac{z-z_0}{u_3}.$

• Ngoài ra, đường thẳng còn có dạng tổng quát là với A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ thỏa mãn $A_1^2+B_1^2+C_1^2>0,A_2^2+B_2^2+C_2^2>0.$

* Lưu ý: Nếu $\overrightarrow{u}$ là vectơ chỉ phương của $\Delta$ thì $k\cdot \overrightarrow{u}\left(k\ne 0\right)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Lập phương trình đường thẳng

1.1. Viết phương trình đường thẳng biết một điểm thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương

1.1.1. Phương pháp giải

Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d là tìm một vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.

Nếu d:

+ Phương trình đường thẳng d dạng tham số là

+ Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc là $d:\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}$, (a₁a₂a₃ ≠ 0).

1.1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A (1; 0; 1), B (1; 1; 0), C (3; 4; -1). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với BC.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua A và song song với BC nhận $\overrightarrow{BC}$ = (2; 3; -1) làm một vectơ chỉ phương.

Phương trình của đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-1}.$

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M (1; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d vuông góc với (P) nên d nhận ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}$ = (2; -1; 3) là một vectơ chỉ phương. Mặt khác d đi qua M (1; 1; 0) nên d có phương trình $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{3}.$

1.2. Viết phương trình đường thẳng sử dụng tích có hướng để tìm vectơ chỉ phương

1.2.1. Viết phương trình đuờng thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng cho trước

1.2.1.1. Phương pháp giải

Đường thẳng d qua M (x₀; y₀; z₀) và $d\perp d_1,d\perp d_2.$ Ta có d:

1.2.1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (-1; 1; 3) và hai đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{1},$ ${\Delta }^{\text{'}}:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z}{-2}.$ Viết phương trình đường thẳng qua M, vuông góc với $\Delta$ và $\Delta$'.

Hướng dẫn giải

VTCP của $\Delta$, $\Delta$' lần lượt là $\overrightarrow{u}$ = (3; 2; 1) và $\overrightarrow{v}$ = (1; 3; -2). Ta có [$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$] = (-7; 7; 7).

Vì d vuông góc với $\Delta$ và $\Delta$' nên ${\overrightarrow{u}}_d$ = (-1; 1; 1).

d đi qua M (-1; 1; 3) nên

1.2.2. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với hai mặt phẳng cho trước

1.2.2.1. Phương pháp giải

Đường thẳng d qua M (x₀; y₀; z₀) và d // (P), d // (Q). Ta có d:

1.2.2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; -2; 3) và hai mặt phẳng (P): x + y +z + 1 = 0, (Q): x - y +z - 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng qua A, song song với (P) và (Q).

Hướng dẫn giải

Ta có và [${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)},{\overrightarrow{n}}_{\left(Q\right)}$] = (2; 0; -2).

Vì đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q), nên d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (1; 0; -1).

Đường thẳng d đi qua A (1; -2; 3) nên có phương trình:

1.2.3. Viết phương trình đuờng thẳng đi qua một điểm, song song với một mặt phẳng và vuông góc với một đường thẳng cho trước

1.2.3.1. Phương pháp giải

Đường thẳng d qua M (x₀; y₀; z₀) và d // (P), d $\perp \Delta$. Ta có d:

1.2.3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; -3; 4), đường thẳng d có phương trình: $\frac{x+2}{3}=\frac{y-5}{-5}=\frac{z-2}{-1}$ và mặt phẳng (P): 2x +z - 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng $∆$ qua M, vuông góc với d và song song với (P).

Hướng dẫn giải

Ta có ${\overrightarrow{u}}_d$ = (3; -5; -1) là vectơ chỉ phương của d; ${\overrightarrow{n}}_{\left(p\right)}$ = (2; 0; 1) là vectơ pháp tuyến của (P).

Ta có [$\overrightarrow{u_d},\overrightarrow{n_{\left(p\right)}}$] = (-5; -5; 10).

Do $∆$ vuông góc với d và song song với (P) nên $\overrightarrow{u}$ = (1; 1; -2) là vectơ chỉ phương của $∆$.

Khi đó, phương trình của $∆$ là $\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z-4}{-2}.$

1.3. Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng cho trước

1.3.1. Phương pháp giải

Đường thẳng d là giao tuyến của (P): a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 và (Q): a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0.

Ta có các điểm thuộc d có tọa độ thỏa mãn hệ:

Cho x (hoặc y, z) một giá trị cụ thể, giải hệ tìm được điểm A ∈ d, lặp lại bước này để tìm một điểm B ∈ d.

Khi đó, ta có

1.3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng ($\alpha$): x + 3y - z + 1 = 0; ($\beta$): 2x - y + z - 7 = 0.

Hướng dẫn giải

Tọa độ các điểm thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy đường thẳng d đi qua A (2; 0; 3) và nhận $\overrightarrow{AB}$ = (-2; 3; 7) làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: $\frac{x-2}{-2}=\frac{y}{3}=\frac{z-3}{7}.$

1.4. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm, cắt và vuông góc với một đường thẳng cho trước

1.4.1. Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d qua A, cắt và vuông góc với d' cho trước với

• Cách 1:

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, vuông góc d'.

Nghĩa là mặt phẳng

Tìm B = d' $\cap$ (P). Suy ra đường thẳng d qua A và B.

* Lưu ý: Trường hợp d' là các trục tọa độ thì d $\equiv$ AB, với B là hình chiếu của A lên trục.

• Cách 2:

Giả sử d $\cap$ d' = B, (B ∈ d', B ∈ d); B (x₁ + a₁t; y₁ + a₂t; z₁ + a₃t) ∈ d'.

Vì $AB\perp d^{\text{'}}\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u_{d^{\text{'}}}}=0\Rightarrow$ tìm t ⇒ tìm ra B.

Đường thẳng d qua A và B.

1.4.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (0; 1; -1) và đường thẳng $d:\frac{x+3}{4}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}{-4}.$ Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Gọi B là giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng $\Delta$.

Đường thẳng d có phương trình tham số

B ∈ d ⇒ B (-3 + 4t; 1 - t; 3 - 4t); $\overrightarrow{AB}$ = (-3 + 4t; -t; 4 - 4t).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ = (4; -1; -4).

Ta có $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{u}\iff \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}=0\iff$ 4.(-3 + 4t) - 1.(-t) - 4.(4 - 4t) = 0 $\iff 33t=28\iff t=\frac{28}{33}.$

Khi đó, $\overrightarrow{AB}=\left(\frac{13}{33};\frac{-28}{33};\frac{20}{33}\right).$

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm A (0; 1; -1) và nhận vectơ $\overrightarrow{AB}$ hay $\overrightarrow{u_d}$ = (13; -28; 20) có phương trình chính tắc là $\frac{x}{13}=\frac{y-1}{-28}=\frac{z+1}{20}.$

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (1; -1; 3) và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-4}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-1}{-2},$ $d_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-1}{1}.$ Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc với d₁ và cắt d₂.

Hướng dẫn giải

Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với đường thẳng d₁.

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_1$ = (1; 4; -2) nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\overrightarrow{n}$ = (1; 4; -2).

Suy ra, phương trình mặt phẳng (P) là: 1(x - 1) + 4(y + 1) - 2(z - 3) $\iff$ x + 4y - 2z + 9 = 0.

Gọi giao điểm của đường thẳng d₂ và mặt phẳng (P) là điểm B.

Do B thuộc d₂ nên tọa độ B (2 + t;-1 - t; 1 + t). Thay tọa độ điểm B vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 2 + t + 4(-1 - t) - 2(1 + t) + 9 = 0 $\iff$ t = 1 ⇒ B (3; -2; 2).

Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng AB: Đi qua A (1; -1; 3) nhận vectơ $\overrightarrow{AB}$ = (2; -1; -1) làm VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{-1}.$

1.5. Viết phương trình đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước

1.5.1. Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d thỏa mãn một điều kiện và cắt hai đường thẳng d₁ và d₂ cho trước

Gọi A = d $\cap$ d₁, B = d $\cap$ d₂, ta có A (x₁ + a₁t; y₁ + b₁t; z₁ + c₁t), B (x₂ + a₂k; y₂ + b₂k; z₂ + c₂k).

Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$, cho vectơ $\overrightarrow{AB}$ thỏa mãn điều kiện cho trước. Đường thẳng d qua A và B.

1.5.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$, $d_2:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng (P): x + 2y + 3z - 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng vuông góc với (P), cắt d₁ và d₂.

Hướng dẫn giải

Gọi đường thẳng cần tìm là $\Delta$.

Giả sử đường thẳng $\Delta$ cắt đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt tại A, B.

Gọi A (3 - t₁; 3 - 2t₁; -2 + t₁), B (5 - 3t₂; -1 + 2t₂; 2 + t₂).

Ta có $\overrightarrow{AB}$ = (2 - 3t₂ + t₁; -4 + 2t₂ + 2t₁; 4 + t₂ - t₁).

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n}$ = (1; 2; 3).

Do $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{n}$ cùng phương nên $\frac{2-3t_2+t_1}{1}=\frac{-4+2t_2+2t_1}{2}$$=\frac{4+t_2-t_1}{3}$

Do đó A (1; -1; 0).

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A (1; -1; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{n}$ = (1; 2; 3) là $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}.$

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1},$ $d_2:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}$ và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0. Biết đường thẳng $\Delta$ nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d₁, d₂. Viết phương trình chính tắc của $\Delta$.

Hướng dẫn giải

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của $\Delta$ với d₁, d₂.

Do $\Delta \subset \left(P\right)$ suy ra A, B cũng chính là giao điểm của (P) với d₁, d₂.

Ta có

Khi đó

Vậy $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{3}=\frac{z-2}{-1}.$

1.6. Viết phương trình đường thẳng là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

1.6.1. Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của d₁ và d₂ với:

Gọi A = d $\cap$ d₁, B = d $\cap$ d₂, ta có A (x₁ + a₁t; y₁ + b₁t; z₁ + c₁t), B (x₂ + a₂k; y₂ + b₂k; z₂ + c₂k).

Ta có

Giải hệ trên để tìm t, k, từ đó tìm A, B. Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B.

1.6.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng và $\left(d_2\right):\frac{x}{1}=\frac{y-7}{-3}=\frac{z}{-1}.$ Đường thẳng $\Delta$ là đường vuông góc chung của (d₁) và (d₂). Viết phương trình của đường thẳng $\Delta$.

Hướng dẫn giải

Lấy điểm M ∈ (d₁): M (2 + t₁; 1 + t₁; 1 + t₁), N ∈ (d₂): N (t₂; 7 - 3t₂; -t₂).

Ta có $\overrightarrow{MN}$ = (t₂ - t₁ - 2; -3t₂ - t₁ + 6; -t₂ - t₁ - 1).

Đường thẳng MN là đường vuông góc chung

Suy ra M (1; 0; 0), N (2; 1; -2) và $\overrightarrow{MN}$ = (1; 1; -2).

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua M, N là: $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-2}.$

1.7. Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của một đường thẳng lên một mặt phẳng

1.7.1. Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $\Delta$ lên mặt phẳng (P).

Xét vị trí tương đối của đường thẳng $\Delta$ và (P).

• Nếu $\Delta$ // (P).

Chọn một điểm M trên $\Delta$.

Tìm H là hình chiếu của M lên (P).

Hình chiếu

• Nếu $\Delta \cap \left(P\right)=I.$

Chọn một điểm M ≠ I trên $\Delta$.

Tìm H là hình chiếu của M lên (P).

Hình chiếu vuông góc của $\Delta$ lên (P) là d $\equiv$ IH.

1.7.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+5}{-1}=\frac{z-3}{4}.$ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng x + 3 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có M ∈ d ⇒ M (1 + 2t; -5 - t; 3 + 4t). Gọi M' là hình chiếu của M trên (P): x + 3 = 0.

Suy ra M' (-3; -5 - t; 3 + 4t). Suy ra

1.8. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với một đường thẳng qua một mặt phẳng

1.8.1. Phương pháp giải

Viết đường thẳng d là đường thẳng đối xứng với đường thẳng $\Delta$ qua mặt phẳng (P).

Phương pháp: Xét vị trí tương đối của đường thẳng $\Delta$ và (P).

• Nếu $\Delta$ // (P).

Chọn một điểm M trên $\Delta$.

Tìm H là hình chiếu của M lên (P).

Tìm M' đối xứng với M qua (P).

Đường thẳng đối xứng

• Nếu $\Delta \cap \left(P\right)=I.$

Chọn một điểm M trên $\Delta$.

Tìm H là hình chiếu của M lên (P).

Tìm M' đối xứng với M qua (P).

Đường thẳng đối xứng

1.8.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ($\alpha$): 2x + y + z - 3 = 0 và đường thẳng $d:\frac{x+4}{3}=\frac{y-3}{-6}=\frac{z-2}{-1}.$ Viết phương trình đường thẳng d' đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng ($\alpha$).

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng ($\alpha$): 2x + y + z - 3 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (2; 1; 1).

Gọi tọa độ giao điểm của d và ($\alpha$) là I thì I (-22; 39; 8).

Lấy A (-4; 3; 2) ∈ d. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với ($\alpha$).

Suy ra phương trình đường thẳng $\Delta$ là

Gọi H là hình chiếu của A lên ($\alpha$) thì $H=\Delta \cap \left(\alpha \right)\Rightarrow$ H (-2; 4; 3).

A' đối xứng với A qua ($\alpha$) $\iff$ H là trung điểm AA' ⇒ A' (0; 5; 4).

Đường thẳng d' đối xứng với đường thẳng d qua mặt phẳng ($\alpha$) ⇒ d' đi qua điểm I, A' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{A^{\text{'}}I}$ = (22; -34; -4) = 2 (11; -17; -2) có phương trình là: $\frac{x}{11}=\frac{y-5}{-17}=\frac{z-4}{-2}.$

................................

................................

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đi qua ba điểm A (1; 2; 4), B (-2; 3; 5), C (-9; 7; 6) có tọa độ là:

A. (3; 4; 5).

B. (-3; 4; -5).

C. (3; -4; 5).

D. (3; 4; -5).

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là: $\frac{x}{1}=\frac{y-6}{-4}=\frac{z-6}{-3}.$ Biết rằng điểm M (0; 5; 3) thuộc đường thẳng AB và điểm N (1; 1; 0) thuộc đường thẳng AC. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC.

A. $\overrightarrow{u}$ = (0; 1; -3).

B. $\overrightarrow{u}$ = (1; 2; 3).

C. $\overrightarrow{u}$ = (0; 1; 3).

D. $\overrightarrow{u}$ = (0; -2; 6).

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (4; -2; 3), đường thẳng d đi qua A cắt và vuông góc với $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là

A. $\overrightarrow{a}$ = (5; 2; 15).

B. $\overrightarrow{a}$ = (1; 0; 3).

C. $\overrightarrow{a}$ = (4; 3; 12).

D. $\overrightarrow{a}$ = (-2; 15; -6).

Câu 4. Cho mặt phẳng ($\alpha$) và đường thẳng $\Delta$ không vuông góc với ($\alpha$). Gọi ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }$, ${\overrightarrow{n}}_{\left(\alpha \right)}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $\Delta$ và vectơ pháp tuyến của ($\alpha$) . Đâu là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$' là hình chiếu của $\Delta$ trên ($\alpha$)?

A. $\left[\right[{\overrightarrow{u}}_{\Delta },{\overrightarrow{n}}_{\left(\alpha \right)}],{\overrightarrow{u}}_{\Delta }].$

B. $\left[\right[{\overrightarrow{u}}_{\Delta },{\overrightarrow{n}}_{\left(\alpha \right)}],{\overrightarrow{n}}_{\left(\alpha \right)}].$

C. $[{\overrightarrow{u}}_{\Delta },[{\overrightarrow{n}}_{\left(\alpha \right)},{\overrightarrow{u}}_{\Delta }\left]\right].$

D. ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }\cdot [{\overrightarrow{u}}_{\Delta },{\overrightarrow{n}}_{\left(\alpha \right)}].$

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{2}$ và mặt phẳng ($\alpha$): x + y + z - 1 = 0. Gọi d là đường thẳng nằm trên ($\alpha$) đồng thời cắt đường thẳng $\Delta$ và trục Oz. Một vectơ chỉ phương của d là

A. $\overrightarrow{u}$ = (1; 1; -2).

B. $\overrightarrow{u}$ = (1; 2; -3).

C. $\overrightarrow{u}$ = (1; -2; 1).

D. $\overrightarrow{u}$ = (2; -1; -1).

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (2; 3; 3), phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là $\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-2}{-1}$, phương trình đường phân giác trong của góc C là $\frac{x-2}{2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-2}{-1}.$ Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là (a; 1; c). Giá trị của a + c là:

Điền đáp án

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (-3; 0; 1), B (1; -1; 3) và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 5 = 0. Đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất có vectơ chỉ phương là (a; b; -2). Giá trị của biểu thức S = a - b là:

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng ${\Delta }_2:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{-3}=\frac{z+3}{2}$ và mặt phẳng (P): x + 3y - 2z + 1 = 0.

a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng ${\Delta }_1$ là $\overrightarrow{a}$ = (1; -3; 4).

b) Đường thẳng d₁ vuông góc với (P) có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}$ = (1; 3; -2).

c) Đường thẳng d₂ vuông góc với ${\Delta }_2$ và song song với mặt phẳng (Oxy) có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_2$ = (3; -3; 2).

d) Đường thẳng d₃ qua A (1; -1; 2), cắt và vuông góc với trục Oz có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_3$ = (-1; -1; 0).

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thống kê và xác suất
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---