(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

Chủ đề Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tọa độ điểm. Tọa độ vectơ

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau và các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt trên các trục Ox, Oy, Oz được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

– Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

– Các trục Ox, Oy, Oz được gọi là các trục tọa độ.

–Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

– Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

2. Tọa độ điểm

– Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x; y; z) hoặc M (x; y; z) trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M.

• Phép chiếu điểm lên trục tọa độ:

Chiếu lên Ox : M (x_M; y_M; z_M) → M₁ (x_M; 0; 0).

Chiếu lên Oy : M (x_M; y_M; z_M) → M₂ (0; y_M; 0).

Chiếu lên Oz : M (x_M; y_M; z_M) → M₃ (0; 0; z_M).

• Phép chiếu điểm lên mặt phẳng tọa độ:

Chiếu lên mặt phẳng (Oxy) : M (x_M; y_M; z_M) → M₁ (x_M; y_M; 0).

Chiếu lên mặt phẳng (Oyz) : M (x_M; y_M; z_M) → M₂ (0; y_M; z_M).

Chiếu lên mặt phẳng (Oxz) : M (x_M; y_M; z_M) → M₃ (x_M; 0; z_M).

• Đối xứng qua trục tọa độ:

Đối xứng qua trục Ox : M (x_M; y_M; z_M) → M₁ (x_M; -y_M; -z_M).

Đối xứng qua trục Oy : M (x_M; y_M; z_M) → M₂ (-x_M; y_M; -z_M).

Đối xứng qua trục Oz : M (x_M; y_M; z_M) → M₃ (-x_M; -y_M; z_M).

⇒ Lấy đối xứng trục nào ta giữ nguyên tọa độ trục đó và đổi dấu tọa độ 2 trục còn lại.

• Đối xứng qua mặt phẳng tọa độ:

Đối xứng mặt phẳng (Oxy) : M (x_M; y_M; z_M) → M₁ (x_M; y_M; -z_M).

Đối xứng mặt phẳng (Oxz) : M (x_M; y_M; z_M) → M₂ (x_M; -y_M; z_M).

Đối xứng mặt phẳng (Oyz) : M (x_M; y_M; z_M) → M₃ (-x_M; y_M; z_M).

3. Tọa độ của vectơ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\overrightarrow{a}$ tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ được gọi là tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết $\overrightarrow{a}$ = (x; y; z) hoặc trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của $\overrightarrow{a}$.

4. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂), ta có:

•

• Tổng của hai vectơ: $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂);

• Hiệu của hai vectơ: $\overrightarrow{u}$ - $\overrightarrow{v}$ = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂);

• Tích của một vectơ với một số: k$\overrightarrow{u}$ = (kx₁; ky₁; kz₁) ($k\in ℝ$);

• Độ dài vectơ: $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2};$ $|\overrightarrow{v}\text{|}=\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2};$

• Tích vô hướng của hai vectơ: $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot \left|\overrightarrow{v}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = hằng số;

• Hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ vuông góc với nhau $\iff \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0\iff$ x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0;

• Góc giữa hai vectơ: $\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\frac{\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot \left|\overrightarrow{v}\right|}=$$\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$ (với $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}$);

• Hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng phương với nhau $\iff \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{v}\left(k\ne 0,\overrightarrow{v}\ne \overrightarrow{0}\right)$

5. Áp dụng của tọa độ vectơ

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A (x_A; y_A; z_A), B (x_B; y_B; z_B), C (x_C; y_C; z_C) ta có:

• $\overrightarrow{AB}$ = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A);

• Độ dài đoạn thẳng AB: AB = |$\overrightarrow{AB}$| = $\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2+{\left(z_B-z_A\right)}^2}$;

• Trung điểm của đoạn AB là $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right);$

• Nếu ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác có trọng tâm là G thì

• Nếu điểm M chia AB theo tỉ số k, nghĩa là $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB}$ thì

• Nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$

• Điều kiện để 3 điểm A, B, C thẳng hàng là $\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC}$

• Nếu điểm M thỏa mãn điều kiện $a\cdot \overrightarrow{MA}+b\cdot \overrightarrow{MB}+c\cdot \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$ thì

Viết tắt $\left(M\right)=\frac{a\left(A\right)+b\left(B\right)+c\left(C\right)}{a+b+c}$ (a + b + c ≠ 0).

Tổng quát: Nếu M thỏa mãn điều kiện $a_1\cdot \overrightarrow{M{M}_1}+a_2\cdot \overrightarrow{M{M}_2}+a_3\cdot \overrightarrow{M{M}_3}$$+\mathrm{...}+a_n\cdot \overrightarrow{M{M}_n}=\overrightarrow{0}$ thì tọa độ M là $\left(M\right)=\frac{a_1\left(M_1\right)+a_2\left(M_2\right)+\mathrm{...}+a_n\left(M_n\right)}{a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n}$ (a₁ + a₂ + ... + a_n ≠ 0).

6. Tích có hướng của hai vectơ

6.1 Khái niệm tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng của $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂), kí hiệu [$\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$] là một vectơ và được tính như sau:

6.2 Tính chất tích có hướng của hai vectơ

• Vectơ tích có hướng vuông góc với hai vectơ thành phần: $[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\text{]}\perp \overrightarrow{u},\text{[}\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\text{]}\perp \overrightarrow{v}.$

• Độ dài của vectơ tích có hướng: $|[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]|=\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot \left|\overrightarrow{v}\right|\cdot \sin \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right).$

• Hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng phương $\iff [\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\text{]}=\overrightarrow{0}.$

6.3 Ứng dụng tích có hướng của hai vectơ

• Ba vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ đồng phẳng khi và chỉ khi: $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]\cdot \overrightarrow{w}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}= 0}$

• Ba vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ không đồng phẳng khi và chỉ khi: $\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]\cdot \overrightarrow{w}\ne \text{0}$

• Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi: $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\cdot \overrightarrow{AD}\text{= 0.}$

• Bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện khi: $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\cdot \overrightarrow{AD}\ne 0.$

• Diện tích hình bình hành ABCD: $S_{ABCD}=|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}]|.$

• Diện tích tam giác ABC: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|.$

• Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D': $V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}]\cdot \overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}|.$

• Thể tích tứ diện ABCD: $V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\cdot \overrightarrow{AD}|.$

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Tọa độ điểm vectơ liên quan đến trục tọa độ Oxyz

1.1. Phương pháp giải

• Nắm vững các phương pháp tìm tọa độ.

• Vận dụng công thức xác định độ dài, tọa độ.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (2; −3; 5). Tìm tọa độ A' là điểm đối xứng với A qua trục Oy.

A. A' (2; 3; 5).

B. A' (2; −3; −5).

C. A' (−2; −3; 5).

D. A' (−2; −3; −5).

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A (2; −3; 5) lên Oy. Suy ra H (0; −3; 0).

Khi đó H là trung điểm đoạn AA' nên A' (−2; −3; −5). Chọn D.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow{a}$ = (2; m - 1; 3), $\overrightarrow{b}$ = (1; 3; -2n). Tìm m, n để các vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.

A. m = 7; n = -$\frac{3}{4}$.

B. m = 4; n = -3.

C. m = 1; n = 0.

D. m = 7; n = -$\frac{4}{3}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng

Vậy m = 7; n = -$\frac{3}{4}$. Chọn A.

Ví dụ 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1; 2; -1), B (2; -1; 3) và C (-3; 5; 1). Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

A. D (-2; 8; -3).

B. D (-4; 8; -5).

C.D (-2; 2; 5).

D. D (-4; 8; -3).

Hướng dẫn giải

Gọi D (x_D; y_D; z_D) cần tìm.

Tứ giác ABCD là hình bình hành

Suy ra D (-4; 8; -3). Chọn D.

Ví dụ 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (0; 2; -2), B (2; 2; -4). Giả sử là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Tính T = a² + b² + c².

A. T = 8.

B. T = 2.

C. T = 6.

D. T = 14.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{OA}$ = (0; 2; -2), $\overrightarrow{OB}$ = (2; 2; -4), (OAB) có phương trình: x + y + z = 0.

I ∈ (OAB) ⇒ a + b + c = 0.

$\overrightarrow{AI}$ = (a; b - 2; c + 2), $\overrightarrow{BI}$ = (a - 2; b - 2; c + 4), $\overrightarrow{OI}$ = (a; b; c).

Ta có hệ

Ta có hệ

Vậy I (2; 0; -2) ⇒ a² + b² + c² = 8. Chọn A.

Ví dụ 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (-2; 3; 1), B (2; 1; 0), C (-3; -1; 1). Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và $S_{ABCD}=3S_{△ABC}.$

A. D (8; 7; -1).

B.

C.

D. D (-12; -1; 3).

Hướng dẫn giải

Ta có: S_ABCD = $\frac{1}{2}$(AD + BC).D (A, BC) $\iff S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot \frac{2S_{\Delta ABC}}{BC}$ $\iff 3S_{\Delta ABC}=\frac{(AD+BC)\cdot S_{\Delta ABC}}{BC}\iff$ 3BC = AD + BC $\iff$ AD = 2BC.

Mà ABCD là hình thang có đáy AD nên $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}$ (1).

Ta có $\overrightarrow{BC}$ = (-5; -2; 1), $\overrightarrow{AD}$ = (x_D + 2; y_D - 3; z_D - 1).

(1) Vậy D (-12; -1; 3). Chọn D.

................................

................................

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho điểm A (3; -1; ). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oyz) là điểm

A. M (3; 0; 0).

B. N (0; −1; 1).

C. P (0; −1; 0).

D. Q (0; 0; 1).

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M (x; y; z). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxz) thì M' (x; y; -z).

B. Nếu M' đối xứng với M qua Oy thì M' (x; y; -z).

C. Nếu M' đối xứng với M qua mặt phẳng (Oxy) thì M' (x; y; -z).

D. Nếu M' đối xứng với M qua gốc tọa độ O thì M' (2x; 2y; 0).

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (-1; 5; 3) và M (2; 1; -2). Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là

A. $B\left(\frac{1}{2};3;\frac{1}{2}\right).$

B. B (-4; 9; 8).

C. B (5; 3; -7).

D. B (5; -3; -7).

Câu 4. Trong không gian Oxyz, tính diện tích S của tam giác ABC, biết A (2; 0; 0), B (0; 3; 0) và C (0; 0; 4).

A. $S=\frac{\sqrt{61}}{3}.$

B. $S=\frac{\sqrt{61}}{2}.$

C. $S=2\sqrt{61}.$

D. $S=\sqrt{61}.$

Câu 5. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho O (0; 0; 0), A (0; 1; −2), B (1; 2; 1), C (4; 3; m). Tất cả giá trị của m để 4 điểm O, A, B, C đồng phẳng?

A. m = 14.

B. m = −14.

C. m = 7.

D. m = −7.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j}+\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}$ = (m; 2; m + 1) với m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của m để |$\overrightarrow{u}$| = |$\overrightarrow{v}$|.

Điền đáp án

Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; -2; 0), B (1; 0; -1), C (0; -1; 2), D (-2; m; n). Biết m và n là các giá trị để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng, hãy tính giá trị của biểu thức m + 2n.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Trong không gian với hệ Oxyz, cho ba điểm A (0; 1; 2), B (1; 1; 3), C (1; -1; 4)

a) Tọa độ D trên (Oxy) sao cho BD song song với AC là D (1; 0; 1)

b) Tọa độ điểm E (-1; 0; 0) trên Ox sao cho DE vuông góc với AB.

c) Diện tích tam giác ABC là $\frac{3}{2}.$

d) Cho CF là phân giác trong của tam giác ABC, ta có $F\left(\frac{3}{3+\sqrt{5}};1;\frac{2\sqrt{5}+9}{3+\sqrt{5}}\right).$

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thống kê và xác suất
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---