(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

HOT Ra mắt Sách tổng ôn 12 (2k8) toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Chủ đề Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

Quảng cáo

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Vectơ trong không gian

1.1. Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

1.2. Các khái niệm

Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các kí hiệu và các khái niệm sau:

– Với vectơ $\vec{A B}$ , ta có:

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

+ Điểm A là điểm đầu; điểm B là điểm cuối.

+ Hướng của vectơ $\vec{A B}$ : Từ A đến B.

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ $\vec{A B}$ .

+ Độ dài của vectơ $\vec{A B}$ , kí hiệu | $\vec{A B}$ |, là độ dài của đoạn thẳng AB.

Quảng cáo

– Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y}, ...$

– Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

– Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có cùng hướng hoặc ngược hướng.

– Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$ , nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

2. Các phép toán vectơ trong không gian

2.1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ .

Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ . Vectơ $\vec{A C}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{A C} = \vec{a} + \vec{b} .$

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

• Quy tắc cộng

Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C} .$

Quảng cáo

• Quy tắc hình bình hành

Cho hình bình hành ABCD, ta có $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} .$

• Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Ta có $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}} .$

• Quy tắc ba điểm (mở rộng): $\vec{A X_{1}} + \vec{X_{1} X_{2}} + \vec{X_{2} X_{3}} + \dots$ $+ \vec{X_{n - 1} X_{n}} + \vec{X_{n} B} = \vec{A B} .$

2.2. Hiệu của hai vectơ

Định nghĩa:

Quảng cáo

+ Vectơ đối của vectơ $\vec{a}$ , kí hiệu là - $\vec{a}$ , là một vectơ ngược hướng và có cùng độ dài với vectơ $\vec{a}$ .

+ Vectơ $\vec{0}$ được coi là đối vectơ của chính nó.

+ Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Ta gọi hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là vectơ $\vec{a}$ + (- $\vec{b}$ ), kí hiệu $\vec{a}$ - $\vec{b}$ .

• Quy tắc trừ

Với ba điểm O, A, B bất kì, ta có: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A} .$

2.3. Tích của một số với một vectơ

Trong không gian, cho số thực k ≠ 0 và vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Tích của một số k với vectơ $\vec{a}$ là một vectơ, kí hiệu là k $\vec{a}$ , được xác định như sau:

– Cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k < 0;

– Có độ dài bằng |k|.| $\vec{a}$ |.

Nhận xét:

– Ta có k $\vec{a}$ = 0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\vec{a} = \vec{0} .$

– Hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ là cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k ≠ 0 sao cho $\vec{a} = k \vec{b} .$

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là tồn tại số thực k ≠ 0 sao cho $\vec{A B} = k \vec{A C} .$

Tính chất: Với hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và hai số thực h, k ta có:

$k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b};$

$k (\vec{a} - \vec{b}) = k \vec{a} - k \vec{b};$

$(h + k) \vec{a} = h \vec{a} + k \vec{a};$

$h (k \vec{a}) = (h k) \vec{a};$

$1 \vec{a} = \vec{a};$

$(- 1) \vec{a} = - \vec{a} .$

⮚ Chú ý:

• Quy tắc trung điểm

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0} .$

Với mọi điểm M thì $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I} .$

• Quy tắc trọng tâm của tam giác

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0} .$

Với mọi điểm M thì $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G} .$

• Quy tắc trọng tâm của tứ diện

Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0} .$

Với mọi điểm M thì $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M G} .$

Mở rộng: Trong không gian, cho ba điểm A, B, C và bộ số m, n, p (m + n + p ≠ 0).

– Tồn tại duy nhất điểm I sao cho $m \vec{I A} + n \vec{I B} + p \vec{I C} = \vec{0} .$

– Với mọi điểm M thì $m \vec{M A} + n \vec{M B} + p \vec{M C} = (m + n + p) \vec{M I} .$

2.4. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Góc giữa hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b} .$

Khi đó, ta gọi $\hat{B A C}$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là ( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ).

b) Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ .

Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{a}$ . $\vec{b}$ , là một số thực được xác định bởi công thức:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b}),$

ở đó ( $\vec{a}$ , $\vec{b}$ ) là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ .

⮚ Chú ý:

– Quy ước nếu $\vec{a}$ = 0 hoặc $\vec{b}$ = 0 thì $\vec{a}$ . $\vec{b}$ = 0.

– Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ , ta có $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

– Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ , ta có $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} .$

Tính chất: Với các vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{c}$ và số thực k tùy ý, ta có:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a};$

$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c};$

$(k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k \vec{b});$

${\vec{a}}^{2} \geq 0$ , trong đó ${\vec{a}}^{2} = \vec{a} \cdot \vec{a}$ . Ngoài ra, ${\vec{a}}^{2} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} = 0 .$

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Vận dụng đẳng thức vectơ và phân tích vectơ theo các vectơ cho trước

1.1. Phương pháp giải

- Vận dụng các phép toán vectơ.

- Biến đổi kết hợp các tính chất của vectơ.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hình tứ diện ABCD có trọng tâm G. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0} .$

B. $\vec{O G} = \frac{1}{4} (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D}) .$

C. $\vec{A G} = \frac{2}{3} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D}) .$

D. $\vec{A G} = \frac{1}{4} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D}) .$

Hướng dẫn giải

Có G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên:

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow 4 \vec{G A} + \vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow \vec{A G} = \frac{1}{4} (\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})$ . Chọn D.

Ví dụ 2. Cho ba lực ${\vec{F}}_{1} = \vec{M A}, \vec{F_{2}} = \vec{M B}$ , ${\vec{F}}_{3} = \vec{M C}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên. Cho biết cường độ của ${\vec{F}}_{1}, {\vec{F}}_{2}$ đều bằng 25 N và góc $\hat{A M B} = 60 °$ . Khi đó cường độ lực của là:

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

A. $25 \sqrt{3} N .$

B. $50 \sqrt{3} N .$

C. $100 \sqrt{3} N .$

D. $100 \sqrt{3} N .$

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của đoạn AB. Tam giác MAB đều nên $M I = M A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25 \sqrt{3}}{2} .$

Ta có $| {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} | = | \vec{M A} + \vec{M B} |$ $= 2 | \vec{M I} | = 2 M I = 25 \sqrt{3}$ (Quy tắc hình bình hành).

Vì vật đứng yên nên ${\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} + {\vec{F}}_{3} = \vec{0}$ $\Leftrightarrow {\vec{F}}_{3} = - ({\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2})$ , suy ra $| {\vec{F}}_{3} | = | {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} | = 25 \sqrt{3} .$

Vậy cường độ của lực ${\vec{F}}_{3}$ là $25 \sqrt{3} N .$ Chọn A.

Ví dụ 3. Cho hai lực ${\vec{F}}_{1} = \vec{M A}, \vec{F_{2}} = \vec{M B}$ cùng tác động vào một vật tại điểm M trong không gian cường độ hai lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ lần lượt là 300 N và 400 N, $\hat{A M B} = 90 °$ . Tìm cường độ của lực tổng hợp tác động vào vật.

A. 0 N.

B. 700 N.

C. 700 N.

D. 500 N.

Hướng dẫn giải

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

Gọi I là trung điểm của đoạn AB.

Tam giác MAB vuông tại M nên

$M I = \frac{A B}{2} = \frac{\sqrt{M A^{2} + M B^{2}}}{2}$ $= \frac{\sqrt{300^{2} + 400^{2}}}{2} = \frac{500}{2} = 250 .$

Cường độ của lực tổng hợp tác động vào vật là

$| {\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2} | = | \vec{M A} + \vec{M B} |$ $= | 2 \vec{M I} | = 2 M I = 500.$

Vậy cường độ của lực ${\vec{F}}_{1} + {\vec{F}}_{2}$ là 500 N. Chọn D.

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC, gọi G là trọng tâm tác giác ABC. Ta có:

A. $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = \vec{S G} .$

B. $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 2 \vec{S G} .$

C. $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 3 \vec{S G} .$

D. $\vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 4 \vec{S G} .$

Câu 2. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là

A. $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0} .$

B. $\vec{O A} + \vec{O C} = \vec{O B} + \vec{O D} .$

C. $\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} = \vec{O C} + \frac{1}{2} \vec{O D} .$

D. $\vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O C} = \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O D} .$

Câu 3. Cho hình hộp ABCD.EFGH. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\vec{A D} + \vec{D H} = \vec{G C} + \vec{G F} .$

B. $\vec{A D} - \vec{A B} - \vec{A E} = \vec{A G} .$

C. $\vec{A D} - \vec{D H} = \vec{G C} - \vec{G F} .$

D. $\vec{A D} + \vec{A B} + \vec{A E} = \vec{A H} .$

Câu 4. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt $\vec{A A^{'}} = \vec{a}, \vec{A B} = \vec{b}, \vec{A C} = \vec{c} .$ Gọi I là điểm thuộc đường thẳng CC' sao cho C'I = 3C'C, G điểm thỏa mãn $\vec{G B} + \vec{G A^{'}} + \vec{G B^{'}} + \vec{G C^{'}} = 0.$ Biểu diễn vectơ $\vec{I G}$ qua các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} .$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?

A. $\vec{I G} = \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \vec{a} + 2 \vec{b} - 3 \vec{c}) .$

B. $\vec{I G} = \frac{1}{3} (\vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}) .$

C. $\vec{I G} = \frac{1}{4} (\vec{a} + \vec{c} - 2 \vec{b}) .$

D. $\vec{I G} = \frac{1}{4} (\vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c} - 2 \vec{a}) .$

Câu 5. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Đặt $\vec{x} = \vec{A B}, \vec{y} = \vec{A C}$ , $\vec{z} = \vec{A D} .$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{A G} = \frac{2}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) .$

B. $\vec{A G} = - \frac{2}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) .$

C. $\vec{A G} = \frac{1}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) .$

D. $\vec{A G} = - \frac{1}{3} (\vec{x} + \vec{y} + \vec{z}) .$

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho tứ diện ABCD, M là điểm trên đoạn AB và MB = 2MA, N là điểm trên đường thẳng CD mà $\vec{C N} = k \vec{C D} .$ Nếu $\vec{M N}, \vec{A D}, \vec{B C}$ đồng phẳng thì giá trị của k là:

Điền đáp án

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA = SB = SC = AB = AC = a và $B C = a \sqrt{2} .$ Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng:

Điền đáp án

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau.

a) Góc giữa hai đường thẳng A'C', BD là góc vuông.

b) Góc giữa hai đường thẳng BB', BD là góc vuông.

c) Góc giữa hai đường thẳng A'B, DC' là góc vuông.

d) Góc giữa hai đường thẳng BC', A'D là góc vuông.

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

HOT 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường ĐH fle word có đáp án (2025).

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2026 cho 2k8:

TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

+ Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

500+ đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia form 2025

( 128 tài liệu )

100+ đề thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh...

( 84 tài liệu )

Đề thi giữa kì, cuối kì 12

( 143 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 12....

( 31 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...12

( 104 tài liệu )

Đề thi HSG 12

( 4 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.