(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mặt phẳng

Chủ đề Phương trình mặt phẳng trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mặt phẳng

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

• Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng (P) là vectơ có giá vuông góc với (P).

Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của (P) thì k.$\overrightarrow{n}$ cũng là một vectơ pháp tuyến của (P).

• Nếu mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2$ thì (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=[{\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2].$

• Trong không gian Oxyz, một mặt phẳng bất kỳ đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, mặt phẳng này có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ = (A; B; C) với A, B, C không đồng thời bằng 0 (A² + B² + C² > 0).

• Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm I của AB.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, tìm điểm thuộc mặt phẳng

1.1. Phương pháp giải

Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là tìm một vectơ vuông góc với (P).

+ Nếu (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² > 0) thì $\overrightarrow{n}$ = (A; B; C) là một vectơ pháp tuyến của (P).

+ Nếu có hai vectơ ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2$ có giá song song hoặc nằm trên (P) thì một vectơ pháp tuyến của (P) là [${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2$].

+ Điểm M (x₀; y₀; z₀) ∈ (P): Ax + By + Cz + D = 0 khi và chì khi tọa độ của M thỏa mãn phương trình của (P), tức là Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D = 0

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (1; 0; 3), N (2; 0; 1), P (2; 3; 3). Xác định một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP).

Hướng dẫn giải

Vì mặt phẳng (MNP) nhận $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ là hai vectơ chỉ phương nên mặt phẳng (MNP) nhận [$\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{MP}$] là một vectơ pháp tuyến.

Ta có $\overrightarrow{MN}$ = (1; 0; -2); $\overrightarrow{MP}$ = (1; 3; 0) ⇒ [$\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{MP}$] = (6; -2; 3).

Vậy mặt phẳng (MNP) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}$ = (6; -2; 3).

Ví dụ 2. Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z + 2 = 0. Trong những điểm sau, điểm nào thuộc mặt phẳng (P), điểm nào không thuộc mặt phẳng (P): M (0; 0; -2), N (1; 1; -7), M (-1; -2; 5).

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng ta có:

+) 2.0 + 3.0 + (-2) + 2 = 0 nên M (0; 0; -2) ∈ (P).

+) 2.1 + 3.1 + (-7) + 2 = 0 nên N (1; 1; -7) ∈ (P).

+) 2.(-1) + 3.(-2) + 5 + 2 = -1 ≠ 0 nên P (-1; -2; 5) $\notin$ (P).

................................

................................

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Trong không gian Oxyz, gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của A (2; -3; 1) lên các mặt phẳng tọa độ. Phương trình mặt phẳng (MNP) là

A. $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=1.$

B. 3x - 2y + 6z = 6.

C. $\frac{x}{2}-\frac{y}{3}+\frac{z}{1}=0.$

D. 3x - 2y + 6z - 12 = 0.

Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P): x + y + z - 1 = 0, (Q): 2y + z - 5 = 0 và (R): x - y + z - 2 = 0. Gọi ($\alpha$) là mặt phẳng qua giao tuyến của (P) và (Q), đồng thời vuông góc với (R) . Phương trình của ($\alpha$) là

A. 2x + 3y - 5z + 5 = 0.

B. x + 3y + 2z - 6 = 0.

C. x + 3y + 2z + 6 = 0.

D. 2x + 3y - 5z - 5 = 0.

Câu 3. Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm B (2; 1; -3), đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + y + 3z = 0, (R): 2x - y + z = 0 là

A. 4x + 5y - 3z + 22 = 0.

B. 4x - 5y - 3z - 12 = 0.

C. 2x + y - 3z - 14 = 0.

D. 4x + 5y - 3z - 22 = 0.

Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (0; 1; 2), B (2; -2; 0), C (-2; 0; -1). Mặt phẳng (P) đi qua A, trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là

A. 4x - 2y - z + 4 = 0.

B. 4x - 2y + z + 4 = 0.

C. 4x + 2y + z - 4 = 0.

D. 4x + 2y - z + 4 = 0.

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (1; 2; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC.

A. (P): 6x + 3y + 2z + 18 = 0.

B. (P): 6x + 3y + 2z + 6 = 0.

C. (P): 6x + 3y + 2z - 18 = 0.

D. (P): 6x + 3y + 2z - 6 = 0.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Biết rằng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng thỏa mãn các điều kiện sau: đi qua hai điểm A (1; 1; 1) và B (0; -2; 2), đồng thời cắt các trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm cách đều O. Giả sử mặt phẳng (P) có phương trình x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 và mặt phẳng (Q) có phương trình x + b₂y + c₂z + d₂ = 0. Giá trị biểu thức b₁b₂ + c₁c₂ là:

Điền đáp án

Câu 17. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A (1; 1; 1), B (2; 0; 2), C (-1; -1; 0), D (0; 3; 4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B', C', D' thỏa mãn $\frac{AB}{A{B}^{\text{'}}}+\frac{AC}{A{C}^{\text{'}}}+\frac{AD}{A{D}^{\text{'}}}=4.$ Phương trình mặt phẳng (B'C'D') khi tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất có dạng ax + by + cz + d = 0. Tính giá trị biểu thức a + b + c + d.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Trong không gian Oxyz, cho điểm I (1; -1; 0). Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng (Q): x + y + 3z = 0, (R): 2x - y + z = 0 và cách I một khoảng bằng $\sqrt{2}.$

a) Hai mặt phẳng (Q) và (R) song song với nhau vì cùng vuông góc với (P).

b) (P) nhận (1; 1; 3) và (2; -1; 1) là một cặp vectơ chỉ phương.

c) (P) nhận $\overrightarrow{n}$ = (4; 5; -3) là một vectơ pháp tuyến.

d) Phương trình mặt phẳng (P): 4x + 5y - 3z + 11 = 0 là hoặc 4x + 5y - 3z + 9 = 0.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thống kê và xác suất
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---