(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Các phương pháp tìm Nguyên hàm - Tích phân

Chủ đề Các phương pháp tìm Nguyên hàm - Tích phân trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Các phương pháp tìm Nguyên hàm - Tích phân

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1.1. Định nghĩa

a) Định nghĩa

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực $ℝ.$

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F' (x) = f(x) với mọi x thuộc K.

b) Nhận xét

• Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

– Với mỗi hằng số C, hàm số F (x) + C là một nguyên hàm của f(x) trên K;

– Nếu G (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G (x) = F (x) + C với mọi x thuộc K.

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F (x) + C, với C là một hằng số. Ta gọi F (x) + C, C $\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu $\int f\left(x\right)\text{d}x$ và viết: $\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C.$

• Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Ta có $\int F^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C.$

c) Chú ý

Biểu thức f(x) dx gọi là vi phân của nguyên hàm F (x) của f(x), kí hiệu dF (x).

Vậy dF (x) = dF' (x) dx = f(x) dx.

1.2. Tính chất của nguyên hàm

Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K.

• $\int kf\left(x\right)\text{d}x=k\int f\left(x\right)\text{d}x$ với k là hằng số khác 0;

• $\int [f\left(x\right)+g\left(x\right)]\text{d}x=\int f\left(x\right)\text{d}x+\int g\left(x\right)\text{d}x;$

• $\int [f\left(x\right)-g\left(x\right)]\text{d}x=\int f\left(x\right)\text{d}x-\int g\left(x\right)\text{d}x.$

1.3. Bảng công thức nguyên hàm các hàm số cơ bản

BẢNG 1: HÀM ĐƠN VÀ HÀM HỢP

BẢNG 2: HÀM (AX + B)

* Nhận xét: Khi thay x bằng (ax + b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm $\frac{1}{a}.$

* Công thức tính nhanh nguyên hàm liên quan đến căn thức:

$\int \sqrt{ax+b}\text{d}x=$$\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{a}\left(ax+b\right)\sqrt{ax+b}+C;$

$\int \frac{1}{\sqrt{ax+b}}\text{d}x=\frac{2}{a}\sqrt{ax+b}$$+C\left(\int \frac{1}{\sqrt{u}}\text{du}=2\sqrt{u}+C\right)\text{.}$

2. Tích phân

2.1. Định nghĩa

a) Định nghĩa

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F (b) - F (a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$. Do đó, $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)=F(x){|}_a^b$ = F (b) - F (a).

b) Chú ý

– Tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu của biến: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(u\right)\text{d}u=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)\text{d}t=\mathrm{...}$

– Quy ước: $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=0;$ $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

c) Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và haiđường thẳng x = a, x = b. Vậy $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

2.2. Tính chất của tích phân

Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f\left(x\right)+g\left(x\right)]\text{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x;$

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}[f\left(x\right)-g\left(x\right)]\text{d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)\text{d}x;$

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)\text{d}x=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ (với k là hằng số);

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ (a < c < b).

2.3. Tích phân một số hàm số sơ cấp cơ bản

• Với $\alpha \ne -1$, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }\text{d}x=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}{|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1};$

• Với hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}\text{d}x=\ln |x|{|}_a^b=\ln |b|-\ln |a|;$

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin x\text{d}x=-\cos x{|}_a^b$ = cos a - cos b;

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cos x\text{d}x=\sin x{|}_a^b$ = sin b - sin a;

• Với hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}\text{d}x=-\cot x{|}_a^b$ = cot a - cot b;

• Với hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}\text{d}x=\tan x{|}_a^b$ = tan b - tan a;

• Với a > 0, a ≠ 1, ta có $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{a}^x\text{d}x=\frac{a^x}{\ln a}{|}_{\alpha }^{\beta }=\frac{a^{\beta }-a^{\alpha }}{\ln a}.$

→ Từ công thức trên, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{e}^x\text{d}x=e^x{|}_{\alpha }^{\beta }=e^{\beta }-e^{\alpha }.$

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Phương pháp đổi vi phân

1.1. Phương pháp giải

Vi phân là gì?

Cho u = u (x), ta có vi phân u (x) là: d[u(x)] = u'(x)dx.

Từ công thức tính vi phân ta có công thức đổi vi phân từ dx sang d[u(x)] như sau $\text{d}x=\frac{\text{d[}u\left(x\right)]}{u^{\text{'}}\left(x\right)}.$

Tư duy giải toán:

Ta dùng công thức đổi vi phân, để thay vì tính nguyên hàm với dx ta chuyển sang tính nguyên hàm với d[u(x)]. Khi đó ta đưa bài toán về vận dụng bảng công thức của nguyên hàm hàm hợp (xem phần lý thuyết cần nhớ).

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm hàm số F (x) biết $F\left(x\right)=\int \frac{x^3}{x^4+1}\text{d}x$ và F (0) = 1.

A. F (x) = ln (x⁴ + 1) + 1.

B. F (x) = $\frac{1}{4}$ln (x⁴ + 1) + $\frac{3}{4}$.

C. F (x) = $\frac{1}{4}$ln (x⁴ + 1) + 1.

D. F (x) = 4 ln (x⁴ + 1) + 1.

Hướng dẫn giải

Ta có $F\left(x\right)=\frac{1}{4}\int \frac{1}{x^4+1}$d (x⁴ + 1) = $\frac{1}{4}$ln (x⁴ + 1) + C.

Do F (0) nên $\frac{1}{4}$ln (0 + 1) + C $\iff$ C = 1.

Vậy F (x) = $\frac{1}{4}$ln (x⁴ + 1) + 1. Chọn C.

Ví dụ 2. Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{2x+1}$ là

A. $-\frac{1}{3}\left(2x+1\right)\sqrt{2x+1}+C.$

B. $\frac{1}{2}\sqrt{2x+1}+C.$

C. $\frac{2}{3}\left(2x+1\right)\sqrt{2x+1}+C.$

D. $\frac{1}{3}\left(2x+1\right)\sqrt{2x+1}+C.$

Hướng dẫn giải

Đặt $t=\sqrt{2x+1}\Rightarrow \text{d}t=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\text{d}x$$\Rightarrow t\text{d}t=\text{d}x.$

$\Rightarrow \int f\left(x\right)\text{d}x=\int \sqrt{2x+1}\text{d}x=\int t^2\text{d}t$$=\frac{t^3}{3}+C=\frac{1}{3}\left(2x+1\right)\sqrt{2x+1}+C$. Chọn D.

Ví dụ 3. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = sin³ x.cos x và F (0) = $\pi$. Tính $F\left(\frac{\pi }{2}\right).$

A. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\pi .$

B. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\pi .$

C. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{4}+\pi .$

D. $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{4}+\pi .$

Hướng dẫn giải

$F\left(x\right)=\int f\left(x\right)\text{d}x=\int {\sin }^{3}x\cos x\text{d}x$$=\int {\sin }^{3}x\cos x\frac{\text{d}\left(\sin x\right)}{\cos x}$$=\int {\sin }^{3}x\cdot \text{d}\left(\sin x\right)=\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C.$

$F\left(0\right)=\pi \Rightarrow \frac{{\sin }^4\pi }{4}+C=\pi$$\iff C=\pi \Rightarrow F\left(x\right)=\frac{{\sin }^{4}x}{4}+\pi .$

$F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\sin }^4\frac{\pi }{2}}{4}=\frac{1}{4}+\pi$. Chọn D.

Ví dụ 4. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sin x}{1+3\cos x}$ và $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=2.$ Tính F (0).

A. F (0) = -$\frac{1}{3}$ln 2 + 2.

B. F (0) = -$\frac{2}{3}$ln 2 + 2.

C. F (0) = -$\frac{2}{3}$ln 2 - 2.

D. F (0) = -$\frac{1}{3}$ln 2 - 2.

Hướng dẫn giải

Ta có $F\left(x\right)=\int \frac{\sin x\text{d}x}{1+3\cos x}=-\int \frac{\text{d}\left(\cos x\right)}{3\cos x+1}$$=-\frac{1}{3}\ln |3\cos x+1|+C.$

Mà $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{1}{3}\ln |3\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)+1|+C=2\Rightarrow C=2.$

Do đó, $F\left(0\right)=-\frac{1}{3}\ln |3\cos \left(0\right)+1|+2$$=-\frac{1}{3}\ln 4+2=-\frac{2}{3}\ln 2+2.$

Vậy F (0) = -$\frac{2}{3}$ln 2 + 2. Chọn B.

Ví dụ 5. Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{x\sin x+\cos x+2x}{\sin x+2}\text{d}x$$=\frac{{\pi }^2}{a}+\ln \frac{b}{c}$ với a, b, c là các số nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính P = abc.

A. P = 24.

B. P = 13.

C. P = 48.

D. P = 96.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{x\sin x+\cos x+2x}{\sin x+2}\text{d}x$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{x\left(\sin x+2\right)+\cos x}{\sin x+2}\text{d}x$$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}x\text{d}x+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\cos x}{\sin x+2}\text{d}x$

$=\frac{x^2}{2}{|}_0^{\frac{\pi }{2}}+\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\text{d}\left(\sin x+2\right)}{\sin x+2}$$=\frac{{\pi }^2}{8}+\ln |\sin x+2|{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{{\pi }^2}{8}+\ln 3-\ln 2$$=\frac{{\pi }^2}{8}+\ln \left(\frac{3}{2}\right).$

Suy ra Chọn C.

................................

................................

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2\sqrt{4+x^3}.$

A. $2\sqrt{4+x^3}+C.$

B. $\frac{2}{9}\sqrt{{\left(4+x^3\right)}^3}+C.$

C. $2\sqrt{{\left(4+x^3\right)}^3}+C.$

D. $\frac{1}{9}\sqrt{{\left(4+x^3\right)}^3}+C.$

Câu 2. Cho hàm số f(x) = sin² 2x.sin x. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f(x)?

A. y = $\frac{4}{3}$cos³ x - $\frac{4}{5}$sin⁵ x + C.

B. y = -$\frac{4}{3}$cos³ x + $\frac{4}{5}$cos⁵ x + C.

C. y = $\frac{4}{3}$sin³ x - $\frac{4}{5}$cos⁵ x + C.

D. y = -$\frac{4}{3}$sin³ x - $\frac{4}{5}$sin⁵ x + C.

Câu 3. Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\sin x}{1+3\cos x}.$

A. $\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{1}{3}\ln |1+3\cos x|+C.$

B. $\int f\left(x\right)\text{d}x=\ln |1+3\cos x|+C.$

C. $\int f\left(x\right)\text{d}x=3\ln |1+3\cos x|+C.$

D. $\int f\left(x\right)\text{d}x=-\frac{1}{3}\ln |1+3\cos x|+C.$

Câu 4. Tích phân $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{\text{d}x}{x\left(\ln x+2\right)}$ bằng:

A. ln 2.

B. ln $\frac{2}{3}.$

C. 0.

D. ln 3.

Câu 5. Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 2 và (x² + 1) f'(x) = [f(x)]² (x² - 1) với mọi $x\in ℝ.$ Giá trị của f(2) bằng

A. $\frac{2}{5}.$

B. $-\frac{2}{5}.$

C. $-\frac{5}{2}.$

D. $\frac{5}{2}.$

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{{\left(x-1\right)}^2}{x^2+1}\text{d}x=a-\ln b$ trong đó a, b là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức a + b.

Điền đáp án

Câu 17. Cho $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{x+\ln \left(x+1\right)}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ln 3$ (với $a,c\in \mathbb{Z};b,d\in {\mathbb{N}}^{*};\frac{a}{b}\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản). Tính P = (a + b)(c + d).

Điền đáp án

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thống kê và xác suất
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---