(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tích phân hàm ẩn

Chủ đề Tích phân hàm ẩn trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tích phân hàm ẩn

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 450k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Sử dụng phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần

1.1. Phương pháp giải

• Để đưa từ Nguyên hàm - Tích phân chứa f(x) về Nguyên hàm - Tích phân chứa f'(x) ta làm như sau: Đặt u = f(x), dv là phần còn lại.

• Để đưa từ Nguyên hàm - Tích phân chứa f'(x) về Nguyên hàm - Tích phân chứa f(x) ta làm như sau: Đặt dv = f'(x) dx, u là phần còn lại.

* Lưu ý: Kỹ năng chọn hằng số C trong việc tìm v trong một số tình huống bài toán.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$. Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f(x) e^x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x) e^x là

A. -sin 2x + cos 2x + C.

B. -2sin 2x + cos 2x + C.

C. -2sin 2x - cos 2x + C.

D. 2sin 2x - cos 2x + C.

Hướng dẫn giải

Đi tìm I = $\int$f'(x) .e^x dx → Dùng nguyên hàm từng phần để đưa về nguyên hàm chứa f(x).

Đặt

$\Rightarrow$ I = e^x.f(x) - $\int$f(x)e^x dx = e^x.f(x) - cos 2x + C.

Mà (cos 2x)' = f(x).e^x $\Rightarrow$ -2sin 2x = f(x).e^x $\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{-2\sin 2x}{e^x}.$

$\Rightarrow$ I = -2sin 2x - cos 2x + C. Chọn C.

Ví dụ 2. Cho hàm số f(x) có f(3) = 3 và $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x}{x+1-\sqrt{x+1}},\forall x>0.$ Tính $I=\underset{3}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x.$

Hướng dẫn giải

Cách 1: Tích phân cần tìm chứa f(x):

Đặt

$\Rightarrow I=\left(x+C\right)f\left(x\right){|}_3^8-\underset{3}{\overset{8}{\int }}\left(x+C\right)f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x.$

Chọn C sao cho 8 + C = 0 $\iff$ C = -8.

Cách 2: Tìm f(x):

$f\left(x\right)=\int f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=\int \frac{x}{\left(x+1\right)-\sqrt{x+1}}\text{d}x$$=\int \frac{x}{\sqrt{x+1}\cdot \left(\sqrt{x+1}-1\right)}\text{d}x$

$=\int \frac{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{\sqrt{x+1}\cdot x}\text{d}x=\int \left(1+\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)\text{d}x$$=x+2\sqrt{x+1}+C$

$\stackrel{f\left(3\right)}{\to }=3=-4\Rightarrow f\left(x\right)$$=x+2\sqrt{x+1}-4$

$\Rightarrow I=\underset{3}{\overset{8}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=$$\underset{3}{\overset{8}{\int }}\left(x+2\sqrt{x+1}-4\right)\text{d}x=\frac{197}{6}.$

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) có f(0) = 0 và f'(x) = sin⁴ x, $\forall x\in ℝ$. Tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ bằng:

A. $\frac{{\pi }^2-6}{18}.$

B. $\frac{{\pi }^2-3}{32}.$

C. $\frac{3{\pi }^2-16}{64}.$

D. $\frac{3{\pi }^2-6}{112}.$

Hướng dẫn giải

Đặt

$\Rightarrow I=\left(x-\frac{\pi }{2}\right)\cdot f\left(x\right){|}_0^{\frac{\pi }{2}}-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(x-\frac{\pi }{2}\right)f^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x$$=0-\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(x-\frac{\pi }{2}\right){\sin }^{4}x\text{d}x=\frac{3{\pi }^2-16}{64}$. Chọn C.

................................

................................

................................

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$. Biết cos² x là một nguyên hàm của hàm số f(x) e^2x, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f'(x) e^2x là:

A. sin 2x - 2cos² x + C.

B. sin 2x + 2cos² x + C.

C. -sin 2x + 2cos² x + C.

D. -sin 2x - 2cos² x + C.

Câu 2. Cho $F\left(x\right)=\frac{x^2}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f\left(x\right)}{x}.$ Tìm họ nguyên hàm của hàm số f'(x).ln x.

A. $\frac{x^2}{2}\cdot \left(\ln x-\frac{1}{2}\right)+C.$

B. $\frac{x^2}{2}\cdot \left(\ln x+\frac{1}{2}\right)+C.$

C. $\frac{x^2}{2}\cdot \left(\ln x-\frac{1}{2x}\right)+C.$

D. $\frac{x^2}{2}\cdot \left(\ln x+\frac{1}{2x}\right)+C.$

Câu 3. Cho hàm số f(x). Biết f(0) = 4 và f'(x) = 2sin² x + 3, $\forall x\in ℝ$. Khi đó $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ bằng:

A. $\frac{{\pi }^2-2}{8}.$

B. $\frac{{\pi }^2+8\pi -8}{8}.$

C. $\frac{{\pi }^2+8\pi -2}{8}.$

D. $\frac{3{\pi }^2+2\pi -3}{8}.$

Câu 4. Cho hàm số f(x) liên tục trên (0; +∞) thỏa mãn f(1) = e và x³ f'(x) = e^x (x - 2), $\forall x\in \left(0;+\infty \right).$ Tính $I=\underset{1}{\overset{\ln 3}{\int }}{x}^{2}f\left(x\right)\text{d}x.$

A. 3 - e.

B. 2 - e.

C. 3 + e.

D. 2 + e.

Câu 5. Cho hàm số f(x) > 0 với $\forall x\in ℝ$, f(0) = 1 và f(x) = $\sqrt{x+1}$.f'(x) với $\forall x\in ℝ.$ Hỏi mệnh đề nào đúng?

A. 4 < f(3) < 6.

B. f(3) < 2.

C. 2 < f(3) < 4.

D. f(3) > 6.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 11. Cho hàm số f(x) có f(16) = 8 và $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x}{x+2+\sqrt{2x+4}},\forall x>-2.$ Khi đó $\underset{0}{\overset{6}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ bằng:

Câu 12. Cho hàm số f(x) liên tục trên (0; +∞), thỏa mãn 2x. f'(x) + f(x) = 3x²$\sqrt{x}$. Biết f(1) = $\frac{1}{2}$. Tính f(4).

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thống kê và xác suất
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---