(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp

Chuyên đề Tập hợp trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Tập hợp

Có thể mô tả một tập hợp bằng một trong hai cách sau:

Cách 1: Liệt kê các phần tử của tập hợp;

Cách 2: Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp.

a ∈ S: phần tử a thuộc tập hợp S.

a ∉ S: phần tử a không thuộc tập hợp S.

Chú ý: Số phần tử của tập hợp S được kí hiệu là n(S).

Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là ∅.

2. Tập hợp con và tập hợp bằng nhau

2.1. Tập hợp con

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con (tập con) của B và viết A ⊂ B (đọc là A chứa trong B hoặc A là tập con của B). Minh họa A là một tập con của B như hình vẽ dưới đây.

Thay cho A ⊂ B ta cũng viết B ⊃ A (đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A).

Như vậy, nếu A ⊂ B thì ta có ∀x: x ∈ A => x ∈ B.

Nếu A không phải là một tập con của B, ta viết $A\cancel{\subset }B$.

Ta có các tính chất sau:

            • A ⊂ A với mọi tập hợp A.

            • Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C.

            • $\varnothing \subset A$ với mọi tập hợp A.

2.2. Tập hợp bằng nhau

Khi A ⊂ B và B ⊂ A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B.

Như vậy, nếu A = B thì ta có ∀x: x ∈ A ⇔ x ∈ B.

3. Các phép toán trên tập hợp

3.1. Giao của hai tập hợp

Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được gọi là giao của hai tập hợp A và B.

Kí hiệu C = A ∩ B (phần màu xám trong hình).

Vậy $A\cap B=\left\{x|x\in A\text{ và }x\in B\right\}$.

Ta có $x\in A\cap B\iff \left\{\begin{array}{l}x\in A\\ x\in B\end{array}\right.$.

3.2. Hợp của hai tập hợp

Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của hai tập hợp A và B.

Kí hiệu C = A ∪ B (phần màu xám trong hình).

Vậy A ∪ B = {x | x ∈ A hoặc x ∈ B}.

Ta có $x\in A\cup B\iff \left[\begin{array}{l}x\in A\\ x\in B\end{array}\right.$.

3.3. Hiệu của hai tập hợp

Hiệu của hai tập hợp A và T là tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp S mà không thuộc tập hợp T, kí hiệu S\T.

S\T = $\left\{x|x\in S\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}và\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\notin T\right\}$.

Nếu T là tập con của tập hợp S, thì S\T còn được gọi là phần bù của T trong S, kí hiệu là C_ST.

Chú ý: C_ST = ∅.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Tập hợp và các phần tử của tập hợp

1.1. Phương pháp giải

Để xác định một tập hợp, ta có 2 cách sau:

            • Liệt kê các phần tử của tập hợp.

            • Chỉ ra tính chất đặc trưng của tập hợp.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong các tập sau, tập nào là tập rỗng?

A. $\left\{x\in \mathbb{Z}|\left|x\right|<1\right\}$.

B. $\left\{x\in \mathbb{Z}|6x^2-7x+1=0\right\}$.

C. $\left\{x\in \mathbb{Q}|x^2-4x+2=0\right\}$.

D. $\left\{x\in ℝ|x^2-4x+3=0\right\}$.

Hướng dẫn giải

Xét các đáp án:

- Đáp án A: $x\in \mathbb{Z},\left|x\right|<1\iff -1<x<1\Rightarrow x=0$.

- Đáp án B: Giải phương trình: $6x^2-7x+1=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=\frac{1}{6}\end{array}\right.$.

Vì $x\in \mathbb{Z}\Rightarrow x=1$.

- Đáp án C: x² - 4x + 2 = 0 ⇔ $x=2\pm \sqrt{2}$. Vì x ∈ ℚ => Đây là tập rỗng. Chọn C.

Ví dụ 2. Cho tập hợp M = $\left\{\left(x;y\right)|x,y\in \mathbb{N};x+y=1\right\}$. Hỏi tập M có bao nhiêu phần tử?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Vì x, y ∈ ℕ nên x, y thuộc vào tập {0;1;2;...}.

Khi đó, cặp (x; y) là (1;0), (0;1) thỏa mãn x + y = 1.

Vậy có 2 cặp hay M có 2 phần tử. Chọn C.

Ví dụ 3. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: X = $\left\{x\in ℝ\backslash x^4-6x^2+8=0\right\}$.

A. X = {2;4}.

B. X = $\left\{-\sqrt{2};\sqrt{2}\right\}$.

C. X = $\left\{\sqrt{2};2\right\}$.

D. X = $\left\{-\sqrt{2};\sqrt{2};-2;2\right\}$.

Hướng dẫn giải

Giải phương trình x⁴ - 6x² + 8 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}{x}^2=2\\ x^2=4\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{2}\\ x=\pm 2\end{array}\right.$.

Vậy X = $\left\{-\sqrt{2};\sqrt{2};-2;2\right\}$. Chọn D.

2. Dạng toán: Tập hợp con, tập hợp bằng nhau

2.1. Phương pháp giải

Nắm rõ định nghĩa và các tính chất:

            • Nếu A ⊂ B thì ∀x: x ∈ A => x ∈ B.

            • A ⊂ A với mọi tập hợp A.

            • Nếu A ⊂ B và B ⊂ C thì A ⊂ C.

            • $\varnothing \subset A$ với mọi tập hợp A.

            • Nếu A = B thì ∀x: x ∈ A ⇔ x ∈ B.

            • Có tập hợp A gồm có n phần tử (n ∈ ℕ). Khi đó tập A có 2ⁿ tập con.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho ba tập hợp E, F, G thỏa mãn: E ⊂ F, F ⊂ G và G ⊂ K. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. G ⊂ F.

B. K ⊂ G.

C. E = F G.

D. E ⊂ K.

Hướng dẫn giải

Dùng biểu đồ minh họa ta thấy E ⊂ K. Chọn D.

Ví dụ 2. Cho tập hợp A = {1;2} và B = {1;2;3;4;5}.

Có tất cả bao nhiêu tập X thỏa mãn: A ⊂ X ⊂ B?

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Hướng dẫn giải

X là tập hợp phải luôn có mặt 1 và 2.

Vì vậy ta đi tìm số tập con của tập {3;4;5}, sau đó cho hai phần tử 1 và 2 vào các tập con nói trên ta được tập X.

Vì số tập con của tập {3;4;5} là 2³ = 8 nên có 8 tập X. Chọn D.

Ví dụ 3. Số tập con của tập hợp A = $\left\{x\in ℝ\mid 3{\left(x^2+x\right)}^2-2x^2-2x=0\right\}$ là

A. 16.

B. 8.

C. 12.

D. 10.

Hướng dẫn giải

Giải phương trình: $3{\left(x^2+x\right)}^2-2x^2-2x=0$.

Đặt x² + x = t ta có phương trình: $3t^2-2t=0\iff \left[\begin{array}{l}t=0\\ t=\frac{2}{3}\end{array}\right.$.

Với t = 0 ta có $x^2+x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=-1\end{array}\right.$.

Với $t=\frac{2}{3}$ ta có: $x^2+x=\frac{2}{3}$ $\iff$ $3x^2+3x-2=0$ $\iff$ $x=\frac{-3\pm \sqrt{33}}{3}$.

Vậy A có 4 phần tử, suy ra số tập con của A là 2⁴ = 16. Chọn A.

Ví dụ 4. Một lớp học có 25 học sinh giỏi môn Toán, 23 học sinh giỏi môn Lý, 14 học sinh giỏi cả môn Toán và Lý và có 6 học sinh không giỏi môn nào cả. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh?

A. 54.

B. 40.

C. 26.

D. 68.

Hướng dẫn giải

Gọi T, L lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán và các học sinh giỏi Lý.

Ta có:

            |T|: là số học sinh giỏi Toán;

            |L|: là số học sinh giỏi Lý;

            $\left|T\cap L\right|$: là số học sinh giỏi cả hai môn Toán và Lý.

Số học sinh giỏi môn Toán hoặc môn Lý là: $\left|T\cup L\right|=\left|T\right|+\left|L\right|-\left|T\cap L\right|$ = 25 + 23 - 14 = 24.

Vậy số học sinh của lớp là 34 + 6 = 40. Chọn B.

3. Dạng toán: Xác định giao, hợp, hiệu và phần bù của hai tập hợp

3.1. Phương pháp giải

• Nắm vững định nghĩa phần Lý thuyết cần nhớ.

• Các phương pháp xác định:

- Đếm thủ công.

- Vẽ trục số, biểu diễn các tập hợp trên trục.

• Chú ý:

- Nếu A ⊂ B thì B \ A = C_BA.

- Nếu A = ∅ thì A \ B = ∅ với mọi tập hợp B.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho tập hợp A = {1;2;3;4;5}. Tìm số tập hợp X sao cho A \ X = {1;3;5} và X \ A = {6;7}.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Vì A \ X = {1;3;5} nên X phải chứa hai phần tử 2; 4 và X không chứa các phần tử 1; 3; 5.

Mặt khác X \ A = {6;7} vậy X phải chứa 6; 7 và các phần tử khác nếu có phải thuộc A.

Vậy X = {2;4;6;7}. Chọn A.

Ví dụ 2. Cho các tập hợp A = $\left\{x\in ℝ|x<3\right\}$, B = $\left\{x\in ℝ|1<x\le 5\right\}$, C = $\left\{x\in ℝ|-2\le x\le 4\right\}$. Khi đó $\left(B\cup C\right)\backslash \left(A\cap C\right)$ bằng

A. [-2;3).

B. [3;5].

C. $\left(-\infty ;1\right]$.

D. [-2;5].

Hướng dẫn giải

A = (-∞;3), B = (3;5], C = [-2;4].

$\left(B\cup C\right)\backslash \left(A\cap C\right)=\left\{\left(1;5\right]\cup \left[-2;4\right]\right\}\backslash \left\{\left(-\infty ;3\right)\cap \left[-2;4\right]\right\}$ = [-2;5] \ [-2;3] = [3;5]. Chọn B.

Ví dụ 3. Cho các tập A = $\left\{x\in ℝ|x\ge -1\right\}$, B = $\left\{x\in ℝ|x<3\right\}$. Tập $ℝ\backslash \left(A\cap B\right)$ là

A. $\left(-\infty ;-1\right)\cup \left[3;+\infty \right)$.

B. (-1;3].

C. [-1;3).

D. $\left(-\infty ;-1\right]\cup \left(3;+\infty \right)$.

Hướng dẫn giải

Ta có A = [-1; +∞), B = (-∞;3). Khi đó $A\cap B=\left[-1;3\right)$ => $ℝ\backslash \left(A\cap B\right)=\left(-\infty ;-1\right)\cup \left[3;+\infty \right)$.

Chọn A.

Ví dụ 4. Cho tập hợp $C_{ℝ}A=\left[-3;\sqrt{8}\right)$, $C_{ℝ}B=\left(-5;2\right)\cup \left(\sqrt{3};\sqrt{11}\right).$. Tập $C_{ℝ}\left(A\cap B\right)$ là:

A. $\left(-3;\sqrt{3}\right)$.

B. ∅.

C. $\left(-5;\sqrt{11}\right)$.

D. $\left(-3;2\right)\cup \left(\sqrt{3};\sqrt{8}\right)$.

Hướng dẫn giải

Vì $C_{ℝ}A=\left[-3;\sqrt{8}\right)$ nên $A=\left(-\infty ;-3\right)\cup \left[\sqrt{8};+\infty \right)$.

Vì $C_{ℝ}B=\left(-5;2\right)\cup \left(\sqrt{3};\sqrt{11}\right)=\left(-5;\sqrt{11}\right)$ nên $B=\left(-\infty ;-5\right]\cup \left[\sqrt{11};+\infty \right)$.

=> $A\cap B=\left(-\infty ;-5\right]\cup \left[\sqrt{11};+\infty \right)$ => $C_{ℝ}\left(A\cap B\right)=\left(-5;\sqrt{11}\right)$. Chọn C.

Ví dụ 5. Cho hai tập hợp khác rỗng A = (m - 1; 4] và B = $\left(-2;2m+2\right),m\in ℝ$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để $A\cap B\ne \varnothing$?

A. 5.

B. 6.

C. 4.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Ta có A, B là hai tập khác rỗng nên $\left\{\begin{array}{l}m-1<4\\ 2m+2>-2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<5\\ m>-2\end{array}\iff -2<m<5\right.(*)$.

Ta có $A\cap B\ne \varnothing \iff m-1<2m+2\iff m>-3$.

Đối chiếu với điều kiện (*), ta được -2 < m < 5.

Do $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ nên m ∈ {1;2;3;4}.

Vậy có 4 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu. Chọn C.

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho tập hợp M = $\left\{\left(x;y\right)|x,y\in ℝ,x^2+y^2\le 0\right\}$. Khi đó tập hợp M có bao nhiêu phần tử?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 2. Số phần tử của tập hợp $A=\left\{x\in ℝ\mid {\left(2x^2+x-4\right)}^2=4x^2-4x+1\right\}$ là:

A. 0.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Câu 3. Cho tập hợp A = {1;3}, B = {3;x}, C = {x;y;3}. Để A = B = C thì tất cả các cặp (x;y) là:

A. (1;1).

B. (1;1) và (1;3).

C. (3;1) và (3;3).

D. (1;3).

Câu 4. Cho ba tập hợp A = [-2;2]. B = [1;5], C = [0;1). Khi đó tập (A \ B) ∩ C là

A. {0;1}.

B. [0;1).

C. (-2;1).

D. [-2;5].

Câu 5. Cho A = (-1;5], B = (2;7). Tìm A \ B.

A. [-1;2).

B. (2;5].

C. (-1;7).

D. (-1;2).

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Lớp 10A có 15bạn được xếp loại học lực Giỏi, 20 bạn được xếp loại hạnh kiểm Tốt, trong đó có 10 bạn vừa được học lực Giỏi vừa được hạnh kiểm Tốt. Khi đó lớp 10A có bao nhiêu bạn được xếp loại học lực Giỏi hoặc hạnh kiểm Tốt?

Điền đáp án

Câu 17. Trong đột khảo sát nghề, giáo viên chủ nhiệm lớp 10D đưa ra ba nhóm ngành cho học sinh lựa chọn, đó là: Giáo dục, Y tế, Công nghệ thông tin. Học sinh có thể chọn từ một đến ba nhóm ngành nêu trên hoặc không chọn nhóm ngành nào trong ba nhóm ngành trên. Giáo viên chủ nhiệm thống kê theo từng nhóm ngành và được kết quả: có 6 học sinh chọn nhóm ngành Giáo dục, 9 học sinh chọn nhóm ngành Y tế, 10 học sinh chọn nhóm ngành Công nghệ thông tin, 22 học sinh không chọn nhóm ngành nào trong ba nhóm trên. Nếu thống kê số lượng học sinh chọn theo từng hai nhóm ngành được kết quả: có 3 học sinh chọn hai nhóm ngành Giáo dục và Y tế, 2 học sinh chọn hai nhóm ngành Y tế và Công nghệ thông tin, 3 học sinh chọn hai nhóm ngành Giáo dục và Công nghệ thông tin. Hỏi có bao nhiêu học sinh chọn cả ba nhóm ngành nêu trên biết ló́p 10D có 40 học sinh?

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu dưới đây, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Gọi A là tập hợp các số nguyên m ∈ [-7;7] sao cho phương trình x² - mx + m = 0 có ít nhất một nghiệm dương.

a) Số phần tử của tập hợp A là 10.

b) Số tập hợp con của tập hợp A là 1024.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

---