(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

Chuyên đề Lũy thừa - Mũ - Logarit trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm lũy thừa

1.1. Phương pháp giải

Hàm số y = x^α, với α ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.

- Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x^α tùy thuộc vào giá trị của α.

- Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ;

- Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ \ {0};

- Với α không nguyên, tập xác định là (0;+∞).

Mở rộng với hàm số y = u^α, với u = g(x):

- Với α nguyên dương thì hàm số xác định khi u xác định.

- Với α nguyên âm hoặc bằng 0, thì hàm số xác định khi u ≠ 0.

- Với α không nguyên thì hàm số xác định khi u > 0.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tập xác định D của hàm số $y={\left(x^3-27\right)}^{\frac{\pi }{2}}$ là

A. D = (3;+∞).

B. D = [3;+∞).

C. D = ℝ \ {3}.

D. D = ℝ.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định của hàm số: x³ - 27 > 0 ⇔ x > 3.

Do đó tập xác định của hàm số là D = (3;+∞). Chọn A.

Ví dụ 2. Tập xác định của hàm số $y={\left(x^2-3x+2\right)}^{\frac{3}{5}}+{(x-3)}^{-2}$ là

A. D = (-∞;+∞) \ {3}.

B. D = $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )\backslash \left\{3\right\}$.

C. D = (-∞;+∞) \ (1;2).

D. D = $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$.

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định khi .

Vậy tập xác định của hàm số là D = $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )\backslash \left\{3\right\}$. Chọn B.

2. Dạng toán 2: Tìm tập xác định của hàm số mũ, hàm số logarit

2.1. Phương pháp giải

- Hàm số y = a^x xác định với mọi x ∈ ℝ.

- Hàm số y = a^u(x) xác định khi u(x) xác định.

- Hàm số log_ax xác định khi x > 0, a ≠ 0.

- Hàm số log_au(x) xác định khi u(x) > 0, a ≠ 0.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\log \left(x^2-2x-m+1\right)$ có tập xác định là ℝ.

A. m ≤ 2.

B. m > 2.

C. m ≥ 0.

D. m < 0.

Hướng dẫn giải

Để hàm số có tập xác định ℝ khi và chỉ khi x² - 2x - m + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ ∆' < 0 ⇔ (-1)² - 1.(-m + 1) < 0 ⇔ m < 0. Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{m{\log }_3^{2}x-4{\log }_{3}x+m+3}$ xác định trên khoảng (0;+∞).

A. $m\in (-\infty ;-4)\cup (1;+\infty )$.

B. m ∈ (1;+∞).

C. m ∈ (-4;1).

D. m ∈ (1;+∞).

Hướng dẫn giải

Để hàm số xác định trên khoảng (0;+∞) thì phương trình $m\cdot {\log }_3^{2}x-4{\log }_{3}x+m+3=0$ vô nghiệm.

TH1: m = 0 thì phương trình trở thành $-4{\log }_{3}x+3=0\iff {\log }_{3}x=\frac{3}{4}\iff x=3^{\frac{3}{4}}$.

Vậy m = 0 không thỏa mãn.

TH2: m ≠ 0 thì đề phương trình vô nghiệm ∆ = (-4)² - 4m(m + 3) < 0

⇔ -4m² - 12m + 16 < 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}m<-4\\ m>1\end{array}\right.$.

Để hàm số xác định trên (0;+∞) thì $m\in (-\infty ;-4)\cup (1;+\infty )$. Chọn A.

Ví dụ 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{2m+1-x}}+{\log }_3\sqrt{x-m}$ xác định trên khoảng (2;3)?

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Vì m nguyên dương nên m ∈ {1;2}. Chọn B.

3. Dạng toán 3: Biểu diễn biểu thức logarit này theo các logarit khác

3.1. Phương pháp giải

Cần nắm vững:

(1) Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b(a,b>\mathrm{0,}a\ne 1)$.

(2) Tính chất

* Cho hai số dương a và b, a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây.

log_a1 = 0, log_aa = 1, $a^{{\log }_{a}b}=b, {\log }_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$.

* Cho ba số dương a, b₁, b₂ với a ≠ 1, ta có

Lưu ý: log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

             log_eb được viết là lnb.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Đặt log₃2 = a khi đó log₁₆27 bằng

A. $\frac{3a}{4}$.

B. $\frac{3}{4a}$.

C. $\frac{4}{3a}$.

D. $\frac{4a}{3}$.

Hướng dẫn giải

Ta có ${\log }_{16}27=\frac{3}{4}{\log }_{2}3=\frac{3}{4\cdot {\log }_{3}2}=\frac{3}{4a}$. Chọn B.

Ví dụ 2. Đặt $a={\log }_2\mathrm{3,}b={\log }_{5}3$. Hãy biểu diễn log₆45 theo a và b.

A. ${\log }_{6}45=\frac{2a^2-2ab}{ab}$.

B. ${\log }_{6}45=\frac{a+2ab}{ab+b}$.

C. ${\log }_{6}45=\frac{2a^2-2ab}{ab+b}$.

D. ${\log }_{6}45=\frac{a+2ab}{ab}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Cho ${\log }_{3}5=a,{\log }_{3}6=b,{\log }_{3}22=c$. Tính $P={\log }_3\left(\frac{90}{11}\right)$ theo a, b, c?

A. P = 2a - b + c.

B. P = 2a + b + c.

C. P = 2a + b - c.

D. P = a + 2b - c.

Hướng dẫn giải

Ta có log₃6 = b ⇔ log₃2 + 1 = b ⇔ log₃2 = b - 1,

log₃22 = c ⇔ log₃2 + log₃11 = c ⇔ log₃11 = c - log₃2 = c - b + 1.

Khi đó $P={\log }_3\left(\frac{90}{11}\right)$ = log₃90 - log₃11 = 2 + log₃2 + log₃5 - log₃11 = 2b + a - c. Chọn D.

4. Dạng toán 4: Nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa, mũ và logarit

4.1. Phương pháp giải

• Hàm số lũy thừa

- Hàm số lũy thừa y = x^α với α ∈ ℝ có đạo hàm với mọi x > 0 và ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\text{'}}=\alpha .x^{\alpha -1}$.

- Đồ thị hàm số y = x^α trên khoảng (0;+∞).

- Đồ thị hàm số y = x^α luôn đi qua điểm I(1;1).

• Hàm số logarit

Cho số thực $\left\{\begin{array}{c}a>0\\ a\ne 1\end{array}\right.$. Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a. Ta có:

Một số chú ý:

- Hàm số $y={\log }_a\left(P\left(x\right)\right)$ => điều kiện xác định là: P(x) > 0.

- Đạo hàm hàm hợp ${\left({\log }_{a}u\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u\ln a}$. Đặc biệt: ${\left({\log }_a\left|u\right|\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u\ln a}$.

• Hàm số mũ

Cho số thực $\left\{\begin{array}{c}a>0\\ a\ne 1\end{array}\right.$ . Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a. Ta có:

⮚ Chú ý: Đạo hàm hàm hợp ${\left(a^u\right)}^{\text{'}}=a^u\ln a\cdot u^{\text{'}}$. Đặc biệt ${\left({\text{e}}^x\right)}^{\text{'}}={\text{e}}^x$ và ${\left({\text{e}}^u\right)}^{\text{'}}={\text{e}}^u\cdot u^{\text{'}}$.

4.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho điểm H(4;0) đường thẳng x = 4 cắt hai đồ thị hàm số y = log_ax và y = log_bx lần lượt tại hai điểm A, B và sao cho AB = 2BH. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. b = 3a.

B. a = b³.

C. a = 3b.

D. b = a³.

Hướng dẫn giải

Ta có AB = 2BH ⇔ $\left|{\log }_a^4\right|=3\left|{\log }_b^4\right|\iff \left|{\log }_4^b\right|=3\left|{\log }_4^a\right|$.

Từ đồ thị hàm số ta có $\left|{\log }_4^b\right|=3\left|{\log }_4^a\right|\Rightarrow {\log }_4^b=3{\log }_4^a\Rightarrow b=a^3$. Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = a^x và y = b^x có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng y = 3 cắt trục tung, đồ thị hàm số y = a^x và y = b^x lần lượt tại M, N, P. Biết rằng MN = 2NP. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 3a = 2b.

B. a³ = b².

C. a² = b³.

D. 2a = 3b.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng y = 3 cắt trục tung, đồ thị hàm số y = a^x và y = b^x lần lượt tại M, N, P nên ta có M(0;3), N(log₃3;3), P(log_b3;3) và 0 < x_N < x_P.

Ví dụ 3. Gọi A, B là các điểm lần lượt nằm trên các đồ thị hàm số $y={\log }_{\sqrt{2}}x$ và $y=\log \frac{1}{2}x$ sao cho điểm M(2;0) là trung điểm của đoạn thẳng AB. Diện tích tam giác OAB là bao nhiêu biết rằng là gốc tọa độ?

A. $S=4{\log }_2\left(\frac{\sqrt{17}+1}{2}\right)$.

B. $S=8{\log }_2\left(\frac{\sqrt{17}-1}{2}\right)$.

C. $S=4{\log }_2\left(\frac{\sqrt{17}-1}{2}\right)$.

D. $S=8{\log }_2\left(\frac{\sqrt{17}-1}{2}\right)$.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ các điểm $A\left(a;2{\log }_{2}a\right),B\left(b,-{\log }_{2}b\right)$. Vì M(2;0) là trung điểm đoạn thẳng AB nên:

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tìm tập xác định của $y={\left(x^2-3x+2\right)}^{\frac{-1}{3}}$.

A. $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$.

B. ℝ \ {1;2}.

C. $y^{\text{'}}=\frac{2x}{\left(x^2+2\right)\ln 5}$.

D. ℝ.

Câu 2. Tập xác định của hàm số $y={\left(x^2-3x+2\right)}^{\pi }$ là

A. (1;2).

B. $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$.

C. ℝ \ {1;2}.

D. $(-\infty ;1]\cup [2;+\infty )$.

Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số $y={\left(x^2-3x-4\right)}^{\sqrt{2-\sqrt{3}}}$.

A. D = ℝ \ {-1;4}.

B. D = $(-\infty ;-1]\cup [4;+\infty )$.

C. D = ℝ.

D. D = $(-\infty ;-1)\cup (4;+\infty )$.

Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số $y={\left(x^2-6x+9\right)}^{\frac{\pi }{2}}$.

A. D = ℝ \ {0}.

B. D = (3;+∞).

C. D = ℝ \ {3}.

D. D = ℝ.

Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số $y={\left(x^2-3x+2\right)}^{\frac{1}{3}}$ là

A. ℝ \ {1;2}.

B. $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$.

C. (1;2).

D. ℝ.

Câu 6. Hàm số y = ln(x² + mx + 1) xác định với mọi giá trị của x khi

A. $\left[\begin{array}{l}m<-2\\ m>2\end{array}\right.$.

B. m > 2.

C. -2.

D. m < 2.

Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = log₂₀₂₄(mx - m + 2) xác định trên [1;+∞)

A. m ≤ 0.

B. m ≥ 0.

C. m ≥ -1.

D. m ≤ -1.

Câu 8. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log₃a = x, log₃b = y. Tính $P={\log }_3\left(3a^4{b}^5\right)$.

A. P = 3x⁴y⁵.

B. P = 3 + x⁴ + y⁵.

C. P = 60xy.

D. P = 1 + 4x + 5y.

Câu 9. Biết log₆3 = a, log₆5 = b. Tính log₃5 theo a, b.

A. $\frac{b}{a}$.

B. $\frac{b}{1+a}$.

C. $\frac{b}{1-a}$.

D. $\frac{b}{a-1}$.

Câu 10. Cho log₁₂3 = a. Tính log₂₄18 theo a.

A. $\frac{3a-1}{3-a}$.

B. $\frac{3a+1}{3-a}$.

C. $\frac{3a+1}{3+a}$.

D. $\frac{3a-1}{3+a}$.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho log₃5 = a, log₃6 = b, log₃22 = c. Biết $P={\log }_3\left(\frac{90}{11}\right)=ma+nb+pc$. Tính m + n + p.

Điền đáp án

Câu 17. Cho hàm số y = a^x và y = b^x có đồ thị như hình vẽ.

Đường thẳng y = 3 cắt trục tung, đồ thị hàm số y = a^x và y = b^x lần lượt tại M, N, P. Biết rằng MN = 2NP. Mối quan hệ giữa a, b có dạng a^m = bⁿ. Tính m ∙ n.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho hàm số y = 2^x

a) Hàm số có tập xác định D = ℝ.

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞).

c) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4).

d) Đồ thị hàm số có hình sau bên:

................................

................................

................................

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mũ, phương trình logarit

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Giải phương trình logarit

1.1. Phương pháp giải

• Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.

• Phương trình logarit cơ bản:

Cho a,b > 0, a ≠ 1, phương trình logarit cơ bản có dạng: log_ax = b ⇔ x = a^b.

• Phương pháp giải phương trình logarit

- Đưa về cùng cơ số: ${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right)\iff \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)=g\left(x\right)\end{array}\right.$, với mọi 0 < a ≠ 1.

- Đặt ẩn phụ:

Loại 1. $P\left({\log }_{a}f\left(x\right)\right)=0\stackrel{PP}{\to }$ đặt t = log_af(x).

Loại 2. Sử dụng công thức $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$ để đặt $t=a^{{\log }_{b}x}\Rightarrow t=x^{{\log }_{b}a}$.

- Mũ hóa: Nếu a > 0, a ≠ 1:log_af(x) = g(x) ⇔ f(x) = a^g(x).

- Phương pháp hàm số và đánh giá.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\left(2x^2-5x+2\right)\left[{\log }_x(7x-6)-2\right]=0$ bằng

A. $\frac{17}{2}$.

B. 9.

C. 8.

D. $\frac{19}{2}$.

Hướng dẫn giải

Kết hợp với điều kiện (*) => x = 6.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2; x = 6 suy ra tổng các nghiệm bằng 8. Chọn C.

Ví dụ 2. Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_{3}x\cdot {\log }_{9}x\cdot {\log }_{27}x\cdot {\log }_{81}x=\frac{2}{3}$ bằng

A. 0.

B. $\frac{80}{9}$.

C. 9.

D. $\frac{82}{9}$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện x > 0.

Phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 3. Tổng các nghiệm của phương trình ${\log }_{\sqrt{3}}(x-2)+{\log }_3{(x-4)}^2=0$ là $S=a+b\sqrt{2}$ (với a, b là các số nguyên). Giá trị của biểu thức Q = a.b bằng

A. 0.

B. 3.

C. 9.

D. 6.

 

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 2 < x ≠ 4.

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương

Ví dụ 4. Tích các nghiệm của phương trình ${\log }_x\left(125x\right)\cdot {\log }_{25}^{2}x=1$.

A. 630.

B. $\frac{1}{125}$.

C. $\frac{630}{625}$.

D. $\frac{7}{125}$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện x > 0; x ≠ 1. Ta có

Ví dụ 5. Cho hai số thực dương m, n thỏa mãn ${\log }_4\left(\frac{m}{2}\right)={\log }_{6}n={\log }_9(m+n)$. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{m}{n}$.

A. P = 2.

B. P = 1.

C. P = 4.

D. P = $\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 6. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ${\log }_{4}a={\log }_{6}b={\log }_9(4a-5b)-1$. Đặt $T=\frac{b}{a}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 1 < T < 2.

B. $\frac{1}{2}<T<\frac{2}{3}$.

C. -2 < T < 0.

D. $0<T<\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

2. Dạng toán 2: Giải phương trình mũ

2.1. Phương pháp giải

• Phương trình mũ cơ bản: a^x = b(a > 0), a ≠ 1).

- Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b > 0: a^x = b ⇔ log_ab, (b > 0).

- Phương trình vô nghiệm khi b ≤ 0.

• Các phương pháp giải phương trình mũ:

Dạng 1. Biến đổi, quy về cùng cơ số: a^f(x) = a^g(x) ⇔ a = 1 hoặc $\left\{\begin{array}{l}0<a\ne 1\\ f\left(x\right)=g\left(x\right)\end{array}\right.$.

Dạng 2. Đặt ẩn phụ:

Biến đổi quy về dạng: $f\left[a^{g\left(x\right)}\right]=\mathrm{0,}(0<a\ne 1)$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}t=a^{g\left(x\right)}>0\\ f\left(t\right)=0\end{array}\right.$

Ta thường gặp các dạng:

Dạng 3. Logarit hóa

- Phương trình $a^{f\left(x\right)}=b\iff \left\{\begin{array}{l}0<a\ne \mathrm{1,}b>0\\ f\left(x\right)={\log }_{a}b\end{array}\right.$.

- Phương trình a^f(x) = b^g(x) ⇔ log_aa^f(x) = log_ab^g(x) ⇔ f(x) = g(x).log_ab.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tập nghiệm của phương trình $5^{x^2-4x+3}+5^{x^2+7x+6}=5^{2x^2+3x+9}+1$ là

A. {1;-1;3}.

B. {-1;1;3;6}.

C. {-6;-1;1;3}.

D. {1;3}.

Hướng dẫn giải

Tập nghiệm của phương trình là {-6;-1;1;3}. Chọn C.

Ví dụ 2. Phương trình 9^x - 6^x = 2^2x+1 có bao nhiêu nghiệm âm?

A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm. Chọn C.

Ví dụ 3. Gọi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình ${(2-\sqrt{3})}^x+{(2+\sqrt{3})}^x=4$. Khi đó $x_1^2+2x_2^2$ bằng

A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Nghiệm của phương trình ${25}^x-2(3-x)5^x+2x-7=0$ nằm trong khoảng nào sau đây?

A. (5; 10).

B. (0; 2).

C. (1; 3).

D. (0; 1).

Hướng dẫn giải

Đặt t = 5^x, t > 0.

Phương trình trở thành: $t^2-2(3-x)t+2x-7=0$ ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=-1\left(L\right)\\ t=-2x+7\end{array}\right.$.

Với t = -2x + 7 ta có: 5^x = -2x + 7 ⇔ 5^x + 2x - 7 = 0.

Phương trình có một nghiệm x = 1.

Với x > 1: 5^x + 2x - 7 > 5 + 2 - 7 ⇔ 5^x + 2x - 7 = 0 => phương trình vô nghiệm.

Với x < 1: 5^x + 2x - 7 < 5 + 2 - 7 ⇔ 5^x + 2x - 7 < 0 => phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1 ∈ (0;2). Chọn B.

Ví dụ 5. Tính tích các nghiệm thực của phương trình $2^{x^2-1}=3^{2x+3}$.

A. $-3{\log }_{2}3$.

B. $-{\log }_{2}54$.

C. -1.

D. $1-{\log }_{2}3$.

Hướng dẫn giải

Phương trình ⇔ ${\log }_2{2}^{x^2-1}={\log }_2{3}^{2x+3}$ ⇔ $x^2-1=(2x+3){\log }_{2}3$ ⇔ $x^2-2x\cdot {\log }_{2}3-1-3{\log }_{2}3=0$.

Do 1 ∙ $\left(-1-3{\log }_{2}3\right)<0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm thực phân biệt x₁, x₂.

Theo Vi-et ta có x₁x₂ = $-1-3{\log }_{2}3=-{\log }_{2}2-{\log }_{2}27=-{\log }_{2}54$. Chọn B.

Ví dụ 6. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2^x = 3^y = 6^z. Giá trị của biểu thức M = xy + yz + xz là

A. 0.

B. 6.

C. 3.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

3. Dạng toán 3: Phương trình mũ - logarit có chứa tham số m

3.1. Phương pháp giải

• Bước 1: Chú ý tìm điều kiện có nghĩa của phương trình mũ – logarit đã cho.

• Bước 2: Dùng các phương pháp như đặt ẩn phụ, đưa về cùng cơ số để chuyển phương trình đã cho về phương trình bậc 2, 3 của ẩn mới với m là tham số.

• Bước 3: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình đã cho.

Chú ý: Để phương trình f(x) = A(m) có nghiệm trên miền xác định D thì

${\min }_{x\in D}f\left(x\right)\le A\left(m\right)\le {\max }_{x\in D}f\left(x\right)$

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4^x - 2^x+1 + m = 0 có hai nghiệm thực phân biệt.

A. $m\in (0;+\infty )$.

B. $m\in (-\infty ;1)$.

C. $m\in (0;1]$.

D. $m\in (0;1)$.

Hướng dẫn giải

Phương trình 4^x - 2^x+1 + m = 0 ⇔ ${\left(2^x\right)}^2-{2.2}^x+m=0$, (1).

Đặt t = 2^x > 0. Phương trình (1) trở thành: t² - 2t + m = 0, (2).

Phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt và lớn hơn . Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình ${{\log }_2}^{2}x-{\log }_2{x}^2+3=m$ có nghiệm x ∈ [1;8].

A. 6 ≤ m ≤ 9.

B. 2 ≤ m ≤ 3.

C. 2 ≤ m ≤ 6.

D. 3 ≤ m ≤ 6.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 0.

Phương trình đã cho ⇔ ${\left({\log }_{2}x\right)}^2-2{\log }_{2}x+3=m$.

Đặt t = log₂x, với x ∈ [1;8] thì t ∈ [0;3].

Phương trình trở thành: t² - 2t + 3 = m (2)

Để phương trình (1) có nghiệm x ∈ [1;8] ⇔ phương trình (2) có nghiệmt ∈ [0;3]

⇔ ${\min }_{[0;3]}f\left(t\right)\le m\le {\max }_{[0;3]}f\left(t\right)$, trong đó f(t) = t² - 2t + 3

⇔ 2 ≤ m ≤ 6 (bấm máy tính). Chọn C.

Ví dụ 3. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9^x - 2,3^x+1 + m = 0 có hai nghiệm thực x₁,x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = 1.

A. m = 3.

B. m = 1.

C. m = 6.

D. m = -3.

Hướng dẫn giải

Ta có 9^x - 2.3^x+1 + m = 0 ⇔ 3^2x + m = 0 ⇔ 3^2x - 6.3^x + m = 0.

Phương trình có hai nghiệm thực x₁,x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = 1 => $\left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}=9-m>0\\ 3^{x_1}+3^{x_2}=6>0\\ 3^{x_1+x_2}=3=m\end{array}\iff m=3\right.$. Chọn A.

Ví dụ 4. Cho phương trình ${\log }_9{x}^2-{\log }_3(6x-1)=-{\log }_{3}m$ (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 7.

B. 6.

C. 5.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình ${\log }_9{x}^2-{\log }_3(6x-1)=-{\log }_{3}m$.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{6}\\ m>0\end{array}\right.$.

Khi đó: ${\log }_9{x}^2-{\log }_3(6x-1)=-{\log }_{3}m$ ⇔ ${\log }_{3}x+{\log }_{3}m={\log }_3(6x-1)$

⇔ mx = 6x - 1 ⇔ x(6 - m) = 1 (1).

+) Với m = 6, phương trình (1) trở thành 0 = 1 (vô lý).

+) Với m ≠ 6, phương trình (1) có nghiệm $x=\frac{1}{6-m}$

=> $\frac{1}{6-m}>\frac{1}{6}$ ⇔ $\frac{1}{6-m}-\frac{1}{6}>0$ ⇔ $\frac{m}{6-m}>0$ ⇔ 0 < m < 6.

Vậy 0 < m < 6. Mà m ∈ ℤ => m ∈ {1;2;3;4;5}.

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn C.

Ví dụ 5. Cho phương trình $\left(2{\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x-2\right)\sqrt{3^x-m}=0$ (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. Vô số.

B. 81.

C. 79.

D. 80.

Hướng dẫn giải

Do đó, phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chi khi xảy ra các trường hợp sau:

TH1: (3) có nghiệm $x={\log }_{3}m\le 0\iff 0<m\le 1$ (4).

Kết hợp điều kiện (*) và (4) ta được m = 1 thì (1) có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ và x = 4.

TH2: m > 1, khi đó $(*)\iff x\ge {\log }_{3}m>0$.

Và do $4>\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\frac{1}{\sqrt{2}}\le {\log }_{3}m<4$ ⇔ $3^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\le m<3^4$.

Mà m nguyên dương nên ta có $m\in \{3;4;\dots ;80\}$, có 78 giá trị của m.

Vậy có 79 giá trị nguyên dương của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt. Chọn C.

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $4^x+(4m-1)\cdot 2^x+3m^2-1=0$ có hai nghiệm thực x₁,x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = 3là

A. $m<-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

B. $m=\sqrt{3}$.

C. $m=-\sqrt{3}$.

D. $m=\pm \sqrt{3}$.

Câu 2. Cho phương trình $(mx-36)\sqrt{2-{\log }_{3}x}=0\left(1\right)$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-100;100] để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt?

A. 197.

B. 96.

C. 196.

D. 97.

Câu 3. Cho phương trình $3^{x^2}{.4}^{x+1}-\frac{1}{3^x}=0$ có hai nghiệm x₁,x₂.Tính T = x₁ - x₂ + x₁ + x₂.

A. T = log₃4.

B. T = -log₃4.

C. T = -1.

D. T = 1.

Câu 4. Tổng các nghiệm của phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}^{2}x-7{\log }_{2}x+12=0$ bằng

A. 7.

B. 24.

C. 20.

D. 25.

Câu 5. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình ${\log }_3^{2}x-(m+2){\log }_{3}x+3m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ sao cho x₁,x₂ = 27.

A. m = 1.

B. m = 25.

C. m = $\frac{28}{3}$.

D. m = $\frac{14}{3}$.

Câu 6. Giải phương trình 16^-x = 8^2(1-x).

A. x = 3.

B. x = 0.

C. x = 2.

D. x = -3.

Câu 7. Số nghiệm của phương trình $4.{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^{-2x}+{25.2}^x=100+{100}^{\frac{x}{2}}$là

A. 2.

B. vô nghiệm.

C. 3.

D. 1.

Câu 8. Phương trình log²x - logx - 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (1;100)?

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 9. Nghiệm của phương trình ${25}^x-2(3-x)5^x+2x-7=0$ nằm trong khoảng nào sau đây?

A. (0;2).

B. (1;3).

C. (0;1).

D. (5;10).

Câu 10. Số nghiệm của phương trình ${\log }_{2}x\cdot {\log }_3(2x-1)=2{\log }_{2}x$.

A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_{9}a={\log }_{6}b={\log }_4\frac{a+b}{6}$. Tính tỷ số $\frac{a}{b}$.

Điền đáp án

Câu 17. Phương trình $3^x{.5}^{\frac{2x-1}{x}}=15$ có một nghiệm dạng $x=-{\log }_{a}b$, với a, b là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Giá trị của biểu thức P = a + 2b bằng bao nhiêu?

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho phương trình ${\log }_3\left(x+6\right)={\log }_3\left(x-1\right)+1$ (*).

a) Điều kiện xác định của phương trình: x > 1.

b) Phương trình (*) có chung tập nghiệm với phương trình $\frac{x^2-11x+9}{x-1}=0$.

c) Gọi x = a là nghiệm của phương trình (*), khi đó $\underset{x\to a}{\lim }\left(x-3\right)=\frac{5}{2}$.

d) Nghiệm của phương trình (*) là hoành độ giao điểm của đường thẳng d₁: 2x - y - 8 = 0 với đường thẳng d₂ : y = 0.

................................

................................

................................

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Bất phương trình mũ và logarit

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Giải bất phương trình mũ

1.1. Phương pháp giải

a) Bất phương trình mũ cơ bản

• Bất phương trình mũ cơ bản: a^x > b (hoặc $a^x\ge b,a^x<b,a^x\le b$) với a > 0, a ≠ 1.

• Ta xét bất phương trình có dạng a^x > b:

– Nếu b ≤ 0, thì tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ vì $a^x>0\forall x\in ℝ$.

– Nếu b > 0, thì ta xét 2 trường hợp của cơ số a.

✔ Với a > 1 thì bất phương trình $a^x>b\iff x>{\log }_{a}b$.

✔ Với 0 < a < 1 thì bất phương trình $a^x>b\iff x<{\log }_{a}b$.

Tương tự với bất phương trình có dạng $a^{f\left(x\right)}>b$.

– Nếu b ≤ 0, thì tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của f(x).

– Nếu b > 0, thì ta xét 2 trường hợp của cơ số a.

✔ Với a > 1 thì bất phương trình $a^{f\left(x\right)}>b\iff f\left(x\right)>{\log }_{a}b$.

✔ Với 0 < a < 1 thì bất phương trình $a^{f\left(x\right)}>b\iff f\left(x\right)<{\log }_{a}b$.

b) Bất phương trình mũ dạng: $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}$

– Nếu a > 1 thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)>g\left(x\right)$ (cùng chiều dấu).

– Nếu 0 < a < 1 thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)<g\left(x\right)$ (ngược chiều dấu).

– Nếu a chứa ẩn thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff \left(a-1\right)\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]>0$.

c) Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp lôgarit hóa

Xét phương trình dạng: $a^{f\left(x\right)}>b^{g\left(x\right)}\left(*\right)$ với 1 ≠ a,b > 0.

– Nếu a > 1, lấy lôgarit hai vế ta được: $\left(\ast \right)\iff {\log }_a{a}^{f\left(x\right)}>{\log }_a{b}^{g\left(x\right)}$ $\iff f\left(x\right)>g\left(x\right){\log }_{a}b$.

– Nếu 0 < a < 1, lấy lôgarit hai vế ta được: $\left(\ast \right)\iff {\log }_a{a}^{f\left(x\right)}<{\log }_a{b}^{g\left(x\right)}$ $\iff f\left(x\right)<g\left(x\right){\log }_{a}b$.

⮚ Chú ý: Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự.

d) Phương pháp đặt ẩn phụ

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình mũ.

e) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá

Cho hàm số y = f(t) xác định và liên tục trên D:

Nếu hàm số f(t) luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì f(u) > f(v) ⇔ u > v.

Nếu hàm số f(t) luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì f(u) > f(v) ⇔ u < v.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>9$ trên tập số thực là

A. (2;+∞).

B. (-∞;-2).

C. (-∞;2).

D. (-2;+∞).

Hướng dẫn giải

Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>9\iff x<{\log }_{\frac{1}{3}}9\iff x<-2$. Vậy tập nghiệm là: S = (-∞;-2). Chọn B.

Ví dụ 2. Số nghiệm nguyên của bất phương trình $3^{\sqrt{x}}+3^{\sqrt{x}-1}-3^{\sqrt{x}-2}<11$ là:

A. 5.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Vậy BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn D.

Ví dụ 3. Tập nghiệm S của bất phương trình $3^{x^2}<2^x$ là:

A. S = (0;+∞).

B. S = (0;log₂3).

C. S =(0;log₃2).

D. S = (0;1).

Hướng dẫn giải

Lấy logarit cơ số 3 cả 2 vế ta có: $x^2<x{\log }_{3}2$ ⇔ $x^2-x{\log }_{3}2<0$ ⇔ $0<x<{\log }_{3}2$. Chọn C.

Ví dụ 4. Số nghiệm nguyên trong khoảng (-20;20) của bất phương trình 16^x - 5.4^x + 4 ≥ 0 là

A. 19.

B. 20.

C. 39.

D. 40.

Hướng dẫn giải

Đặt t = 4^x (t > 0) ta có: $t^2-5t+4\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}t\ge 4\\ t\le 1\end{array}\right.$. Suy ra $\left[\begin{array}{l}{4}^x\ge 4\\ 4^x\le 1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le 0\end{array}\right.$.

Kết hợp $\left\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{Z}\\ x\in \left(-20;20\right)\end{array}\right.$ => có 39 nghiệm. Chọn C.

Ví dụ 5. Số nghiệm nguyên của bất phương trình $3^{x^2-x-6}-3^{x+2}+x^2-2x-8\le 0$ là:

A. 3.

B. 5.

C. 7.

D. 9.

Hướng dẫn giải

Vậy BPT có 7 nghiệm nguyên. Chọn C.

2. Dạng toán 2: Giải bất phương trình lôgarit

2.1. Phương pháp giải

a) Bất phương trình lôgarit cơ bản

• Bất phương trình lôgarit cơ bản:

${\log }_{a}x>b$ (hoặc ${\log }_{a}x\ge b,{\log }_{a}x<b,{\log }_{a}x\le b$) với a > 0, a ≠ 1.

• Ta xét bất phương trình có dạng ${\log }_{a}x>b$.

– Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}x>b\iff x>a^b$.

– Nếu 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}x>b\iff 0<x<a^b$.

Tương tự với bất phương trình có dạng ${\log }_{a}f\left(x\right)>b$.

– Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>b\iff f\left(x\right)>a^b$.

– Nếu 0 < a < 1 thì .

b) Bất phương trình lôgarit dạng: ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$ (a > 0, a ≠ 1)

– Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$ ⇔ f(x) > g(x) > 0 ⇔ $\left\{\begin{array}{c}g\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)>g\left(x\right)\end{array}\right.$.

– Nếu 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$ ⇔ 0 < f(x) < g(x) ⇔ $\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)>0\\ g\left(x\right)>f\left(x\right)\end{array}\right.$.

– Nếu a chứa ẩn thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$ ⇔ $\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)>\mathrm{0,}g\left(x\right)>0\\ \left(a-1\right)\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]>0\end{array}\right.$.

⮚ Chú ý: Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải tương tự.

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình.

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phân tích nhân tử, đánh giá…

Cho hàm số y = f(t) xác định và liên tục trên D:

Nếu hàm số f(t) luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì f(u) > f(v) ⇔ u > v.

Nếu hàm số f(t) luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì f(u) > f(v) ⇔ u < v.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải bất phương trình ${\log }_2\left(3x-2\right)>{\log }_2\left(6-5x\right)$ được tập nghiệm là (a;b). Hãy tính tổng S = a + b.

A. $S=\frac{26}{5}$.

B. $S=\frac{11}{5}$.

C. $S=\frac{28}{15}$.

D. $S=\frac{8}{3}$.

Hướng dẫn giải

Kết hợp với điều kiện, ta được $1<x<\frac{6}{5}$.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left(1;\frac{6}{5}\right)$. Từ đó, $S=a+b=1+\frac{6}{5}=\frac{11}{5}$.

Ta có thể giải ngắn gọn bài tập trên như sau:

Ví dụ 2. Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2+2x-8)\ge -4$ là:

A. 4.

B. 5.

C. 10.

D. 11.

Hướng dẫn giải

Kết hợp x ∈ ℤ => BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn A.

Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{lo{g}_2^{2}x+3}{{\log }_{2}x+3}>2$ là:

A. $\left(8;+\infty \right)$.

B. $\left(0;\frac{1}{2}\right)\cup \left(8;+\infty \right)$.

C. $\left(\frac{1}{8};\frac{1}{2}\right)\cup \left(8;+\infty \right)$.

D. $\left(0;1\right)\cup \left(8;+\infty \right)$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Giải bất phương trình ${\log }_2\frac{4\left(x+1\right)}{\sqrt{x}+2}>2\left(x-\sqrt{x}\right)$ ta được tập nghiệm $S=\left[a;\frac{b+\sqrt{c}}{2}\right)$ với a, b, c là các số nguyên dương. Tính giá trị biểu thức T = a + b + c.

A. T = 3.

B. T = 5.

C. T = 8.

D. T = 16.

Hướng dẫn giải

3. Dạng toán 3: Giải bất phương trình mũ và logarit chứa tham số m

3.1. Phương pháp giải

Tìm tham số m để f(x;m) ≥ 0 hoặc f(x;m) ≤ 0 có nghiệm trên D.

Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x) ≥ P(m) hoặc f(x) ≤ P(m).

Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D.

Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số P(m) để bất phương trình có nghiệm:

• P(m) ≤ f(x) có nghiệm trên D ⇔ $P\left(m\right)\le \underset{x\in D}{\max }f\left(x\right)$.

• P(m) ≥ f(x) có nghiệm trên D ⇔ $P\left(m\right)\ge \underset{x\in D}{\min }f\left(x\right)$.

Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán trên:

• Bất phương trình P(m) ≤ f(x) nghiệm đúng $\forall x\in D\iff P\left(m\right)\le \underset{x\in D}{\min }f\left(x\right)$.

• Bất phương trình P(m) ≥ f(x) nghiệm đúng $\forall x\in D\iff P\left(m\right)\ge \underset{x\in D}{\max }f\left(x\right)$.

• Nếu $f\left(x;m\right)\ge 0;\forall x\in ℝ$ hoặc $f\left(x;m\right)\le 0;\forall x\in ℝ$ với f(x;m) là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu của tam thức bậc hai.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ${\left(\frac{2}{e}\right)}^{x^2+2m\text{x}+1}\le {\left(\frac{e}{2}\right)}^{2\text{x}-3m}$ nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ?

A. 8.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[-10;10\right]$ để bất phương trình $4{\log }_2^2\sqrt{x}+{\log }_{2}x+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi x ∈ (1;64)?

A. 11.

B. 3.

C. 8.

D. 16.

Hướng dẫn giải

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình $5^{3x+1}\ge \frac{1}{25}$ là

A. $x\in \left[1;+\infty \right)$.

B. $x\in \left[-1;+\infty \right)$.

C. $x\in \left(-\infty ;-3\right]$.

D. $x\in \left(-\infty ;3\right]$.

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình ${16}^x-{5.4}^x+4\ge 0$ là

A. $S=\left(-\infty ;1\right)\cup (4;+\infty )$.

B. $S=\left(-\infty ;1\right]\cup \left[4;+\infty \right)$.

C. $S=\left(-\infty ;0\right)\cup (1;+\infty )$.

D. $S=\left(-\infty ;0\right]\cup \left[1;+\infty \right)$.

Câu 3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${(2+\sqrt{3})}^{3-x}>7-4\sqrt{3}$.

A. $S=(-\infty ;5)$.

B. $S=(5;+\infty )$.

C. $S=(1;+\infty )$.

D. $S=(-\infty ;1)$.

Câu 4. Giải bất phương trình $4^{\frac{1}{x}-1}-2^{\frac{1}{x}-2}-3\le 0$ được tập nghiệm $S=\left(-\infty ;a\right)\cup \left(b;+\infty \right)$, với a, b là các số thực và a < b. Tính a + 2b.

A. a + 2b = -4.

B. a + 2b = 1.

C. a + 2b = 7.

D. a + 2b = 9.

Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình ${2.7}^{x+2}+{7.2}^{x+2}\le 351.\sqrt{{14}^x}$ có dạng S = [a;b]. Giá trị b - 2a thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(3;\sqrt{10})$.

B. (-4;2).

C. $(\sqrt{7};4\sqrt{10})$.

D. $\left(\frac{2}{9};\frac{49}{5}\right)$.

Câu 6. Giải bất phương trình $\log \left(3x^2+1\right)>\log \left(4x\right)$.

A. $x<\frac{1}{3}$ hoặc x > 1.

B. $0<x<\frac{1}{3}$ hoặc x > 1.

C. 0 < x < 1.

D. $\frac{1}{3}<x<1$.

Câu 7. Giải bất phương trình $2{\log }_3\left(4x-3\right)+{\log }_{\frac{1}{9}}{\left(2x+3\right)}^2\le 2$

A. $x>\frac{3}{4}$.

B. $\frac{3}{4}<x\le 3$.

C. Vô nghiệm.

D. $-\frac{3}{8}\le x\le 3$.

Câu 8. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $\ln x^2<2\ln \left(4x+4\right)$.

A. $S=\left(-\frac{4}{5};+\infty \right)$.

B. $S=\left(-1;+\infty \right)\backslash \left\{0\right\}$.

C. $S=\left(-\frac{4}{5};+\infty \right)\backslash \left\{0\right\}$.

D. $S=\left(-\frac{4}{3};+\infty \right)\backslash \left\{0\right\}$.

Câu 9. Bất phương trình ${\log }_3\left(3^x-1\right)\left[1+{\log }_3\left(3^x-1\right)\right]=6$ có hai nghiệm x₁ < x₂ và tỉ số $\frac{x_1}{x_2}=\log \frac{a}{b}$ trong đó a,b ∈ ℕ* và a,b có ước chung lớn nhất bằng 1. Tính a + b.

A. a + b = 38.

B. a + b = 37.

C. a + b = 56.

D. a + b = 55.

Câu 10. Giải bất phương trình ${\log }_2\left(\sqrt{3x+1}+6\right)-1\ge {\log }_2\left(7-\sqrt{10-x}\right)$.

A. x ≤ 1.

B. $x\le \frac{369}{49}$.

C. $x\ge \frac{369}{49}$.

D. $1\le x\le \frac{369}{49}$.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cô Liên gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Liên không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền cô Liên có được cả gốc và lãi nhiều hơn 150 triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Điền đáp án

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để bất phương trình ${\log }_2^2\left(2\text{x}\right)-2\left(m+1\right){\log }_{2}x-2<0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left(\sqrt{2};+\infty \right)$?

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho bất phương trình $4^{x^2+5}\ge {\left(\frac{1}{8}\right)}^{x-x^2}$.

a) Ta có: $4^{x^2+5}=2^{2\left(x^2+5\right)};{\left(\frac{1}{8}\right)}^{x-x^2}=2^{-3\left(x-x^2\right)}$.

b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình $2\left(x^2+5\right)\ge -3\left(x-x^2\right)$.

c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 6.

d) Tích nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là -4.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục

---