(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Chủ đề Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Tìm tập xác định của hàm lũy thừa

1.1. Phương pháp giải

Hàm số y = x^α, với α ∈ ℝ, được gọi là hàm số lũy thừa.

- Tập xác định của hàm số lũy thừa y = x^α tùy thuộc vào giá trị của α.

- Với α nguyên dương, tập xác định là ℝ;

- Với α nguyên âm hoặc bằng 0, tập xác định là ℝ \ {0};

- Với α không nguyên, tập xác định là (0;+∞).

Mở rộng với hàm số y = u^α, với u = g(x):

- Với α nguyên dương thì hàm số xác định khi u xác định.

- Với α nguyên âm hoặc bằng 0, thì hàm số xác định khi u ≠ 0.

- Với α không nguyên thì hàm số xác định khi u > 0.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tập xác định D của hàm số $y={\left(x^3-27\right)}^{\frac{\pi }{2}}$ là

A. D = (3;+∞).

B. D = [3;+∞).

C. D = ℝ \ {3}.

D. D = ℝ.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định của hàm số: x³ - 27 > 0 ⇔ x > 3.

Do đó tập xác định của hàm số là D = (3;+∞). Chọn A.

Ví dụ 2. Tập xác định của hàm số $y={\left(x^2-3x+2\right)}^{\frac{3}{5}}+{(x-3)}^{-2}$ là

A. D = (-∞;+∞) \ {3}.

B. D = $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )\backslash \left\{3\right\}$.

C. D = (-∞;+∞) \ (1;2).

D. D = $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$.

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định khi .

Vậy tập xác định của hàm số là D = $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )\backslash \left\{3\right\}$. Chọn B.

2. Dạng toán 2: Tìm tập xác định của hàm số mũ, hàm số logarit

2.1. Phương pháp giải

- Hàm số y = a^x xác định với mọi x ∈ ℝ.

- Hàm số y = a^u(x) xác định khi u(x) xác định.

- Hàm số log_ax xác định khi x > 0, a ≠ 0.

- Hàm số log_au(x) xác định khi u(x) > 0, a ≠ 0.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\log \left(x^2-2x-m+1\right)$ có tập xác định là ℝ.

A. m ≤ 2.

B. m > 2.

C. m ≥ 0.

D. m < 0.

Hướng dẫn giải

Để hàm số có tập xác định ℝ khi và chỉ khi x² - 2x - m + 1 > 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ ∆' < 0 ⇔ (-1)² - 1.(-m + 1) < 0 ⇔ m < 0. Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{m{\log }_3^{2}x-4{\log }_{3}x+m+3}$ xác định trên khoảng (0;+∞).

A. $m\in (-\infty ;-4)\cup (1;+\infty )$.

B. m ∈ (1;+∞).

C. m ∈ (-4;1).

D. m ∈ (1;+∞).

Hướng dẫn giải

Để hàm số xác định trên khoảng (0;+∞) thì phương trình $m\cdot {\log }_3^{2}x-4{\log }_{3}x+m+3=0$ vô nghiệm.

TH1: m = 0 thì phương trình trở thành $-4{\log }_{3}x+3=0\iff {\log }_{3}x=\frac{3}{4}\iff x=3^{\frac{3}{4}}$.

Vậy m = 0 không thỏa mãn.

TH2: m ≠ 0 thì đề phương trình vô nghiệm ∆ = (-4)² - 4m(m + 3) < 0

⇔ -4m² - 12m + 16 < 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}m<-4\\ m>1\end{array}\right.$.

Để hàm số xác định trên (0;+∞) thì $m\in (-\infty ;-4)\cup (1;+\infty )$. Chọn A.

Ví dụ 3. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{2m+1-x}}+{\log }_3\sqrt{x-m}$ xác định trên khoảng (2;3)?

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Vì m nguyên dương nên m ∈ {1;2}. Chọn B.

3. Dạng toán 3: Biểu diễn biểu thức logarit này theo các logarit khác

3.1. Phương pháp giải

Cần nắm vững:

(1) Định nghĩa: Cho hai số dương a, b với a ≠ 1. Số α thỏa mãn đẳng thức a^α = b được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là log_ab.

$\alpha ={\log }_{a}b\iff a^{\alpha }=b(a,b>\mathrm{0,}a\ne 1)$.

(2) Tính chất

* Cho hai số dương a và b, a ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây.

log_a1 = 0, log_aa = 1, $a^{{\log }_{a}b}=b, {\log }_a\left(a^{\alpha }\right)=\alpha$.

* Cho ba số dương a, b₁, b₂ với a ≠ 1, ta có

Lưu ý: log₁₀b thường được viết là logb hoặc lgb.

             log_eb được viết là lnb.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Đặt log₃2 = a khi đó log₁₆27 bằng

A. $\frac{3a}{4}$.

B. $\frac{3}{4a}$.

C. $\frac{4}{3a}$.

D. $\frac{4a}{3}$.

Hướng dẫn giải

Ta có ${\log }_{16}27=\frac{3}{4}{\log }_{2}3=\frac{3}{4\cdot {\log }_{3}2}=\frac{3}{4a}$. Chọn B.

Ví dụ 2. Đặt $a={\log }_2\mathrm{3,}b={\log }_{5}3$. Hãy biểu diễn log₆45 theo a và b.

A. ${\log }_{6}45=\frac{2a^2-2ab}{ab}$.

B. ${\log }_{6}45=\frac{a+2ab}{ab+b}$.

C. ${\log }_{6}45=\frac{2a^2-2ab}{ab+b}$.

D. ${\log }_{6}45=\frac{a+2ab}{ab}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Cho ${\log }_{3}5=a,{\log }_{3}6=b,{\log }_{3}22=c$. Tính $P={\log }_3\left(\frac{90}{11}\right)$ theo a, b, c?

A. P = 2a - b + c.

B. P = 2a + b + c.

C. P = 2a + b - c.

D. P = a + 2b - c.

Hướng dẫn giải

Ta có log₃6 = b ⇔ log₃2 + 1 = b ⇔ log₃2 = b - 1,

log₃22 = c ⇔ log₃2 + log₃11 = c ⇔ log₃11 = c - log₃2 = c - b + 1.

Khi đó $P={\log }_3\left(\frac{90}{11}\right)$ = log₃90 - log₃11 = 2 + log₃2 + log₃5 - log₃11 = 2b + a - c. Chọn D.

4. Dạng toán 4: Nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa, mũ và logarit

4.1. Phương pháp giải

• Hàm số lũy thừa

- Hàm số lũy thừa y = x^α với α ∈ ℝ có đạo hàm với mọi x > 0 và ${\left(x^{\alpha }\right)}^{\text{'}}=\alpha .x^{\alpha -1}$.

- Đồ thị hàm số y = x^α trên khoảng (0;+∞).

- Đồ thị hàm số y = x^α luôn đi qua điểm I(1;1).

• Hàm số logarit

Cho số thực $\left\{\begin{array}{c}a>0\\ a\ne 1\end{array}\right.$. Hàm số y = log_ax được gọi là hàm số logarit cơ số a. Ta có:

Một số chú ý:

- Hàm số $y={\log }_a\left(P\left(x\right)\right)$ => điều kiện xác định là: P(x) > 0.

- Đạo hàm hàm hợp ${\left({\log }_{a}u\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u\ln a}$. Đặc biệt: ${\left({\log }_a\left|u\right|\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u\ln a}$.

• Hàm số mũ

Cho số thực $\left\{\begin{array}{c}a>0\\ a\ne 1\end{array}\right.$ . Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a. Ta có:

⮚ Chú ý: Đạo hàm hàm hợp ${\left(a^u\right)}^{\text{'}}=a^u\ln a\cdot u^{\text{'}}$. Đặc biệt ${\left({\text{e}}^x\right)}^{\text{'}}={\text{e}}^x$ và ${\left({\text{e}}^u\right)}^{\text{'}}={\text{e}}^u\cdot u^{\text{'}}$.

4.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho điểm H(4;0) đường thẳng x = 4 cắt hai đồ thị hàm số y = log_ax và y = log_bx lần lượt tại hai điểm A, B và sao cho AB = 2BH. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. b = 3a.

B. a = b³.

C. a = 3b.

D. b = a³.

Hướng dẫn giải

Ta có AB = 2BH ⇔ $\left|{\log }_a^4\right|=3\left|{\log }_b^4\right|\iff \left|{\log }_4^b\right|=3\left|{\log }_4^a\right|$.

Từ đồ thị hàm số ta có $\left|{\log }_4^b\right|=3\left|{\log }_4^a\right|\Rightarrow {\log }_4^b=3{\log }_4^a\Rightarrow b=a^3$. Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = a^x và y = b^x có đồ thị như hình vẽ. Đường thẳng y = 3 cắt trục tung, đồ thị hàm số y = a^x và y = b^x lần lượt tại M, N, P. Biết rằng MN = 2NP. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. 3a = 2b.

B. a³ = b².

C. a² = b³.

D. 2a = 3b.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng y = 3 cắt trục tung, đồ thị hàm số y = a^x và y = b^x lần lượt tại M, N, P nên ta có M(0;3), N(log₃3;3), P(log_b3;3) và 0 < x_N < x_P.

Ví dụ 3. Gọi A, B là các điểm lần lượt nằm trên các đồ thị hàm số $y={\log }_{\sqrt{2}}x$ và $y=\log \frac{1}{2}x$ sao cho điểm M(2;0) là trung điểm của đoạn thẳng AB. Diện tích tam giác OAB là bao nhiêu biết rằng là gốc tọa độ?

A. $S=4{\log }_2\left(\frac{\sqrt{17}+1}{2}\right)$.

B. $S=8{\log }_2\left(\frac{\sqrt{17}-1}{2}\right)$.

C. $S=4{\log }_2\left(\frac{\sqrt{17}-1}{2}\right)$.

D. $S=8{\log }_2\left(\frac{\sqrt{17}-1}{2}\right)$.

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ các điểm $A\left(a;2{\log }_{2}a\right),B\left(b,-{\log }_{2}b\right)$. Vì M(2;0) là trung điểm đoạn thẳng AB nên:

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tìm tập xác định của $y={\left(x^2-3x+2\right)}^{\frac{-1}{3}}$.

A. $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$.

B. ℝ \ {1;2}.

C. $y^{\text{'}}=\frac{2x}{\left(x^2+2\right)\ln 5}$.

D. ℝ.

Câu 2. Tập xác định của hàm số $y={\left(x^2-3x+2\right)}^{\pi }$ là

A. (1;2).

B. $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$.

C. ℝ \ {1;2}.

D. $(-\infty ;1]\cup [2;+\infty )$.

Câu 3. Tìm tập xác định D của hàm số $y={\left(x^2-3x-4\right)}^{\sqrt{2-\sqrt{3}}}$.

A. D = ℝ \ {-1;4}.

B. D = $(-\infty ;-1]\cup [4;+\infty )$.

C. D = ℝ.

D. D = $(-\infty ;-1)\cup (4;+\infty )$.

Câu 4. Tìm tập xác định D của hàm số $y={\left(x^2-6x+9\right)}^{\frac{\pi }{2}}$.

A. D = ℝ \ {0}.

B. D = (3;+∞).

C. D = ℝ \ {3}.

D. D = ℝ.

Câu 5. Tìm tập xác định của hàm số $y={\left(x^2-3x+2\right)}^{\frac{1}{3}}$ là

A. ℝ \ {1;2}.

B. $(-\infty ;1)\cup (2;+\infty )$.

C. (1;2).

D. ℝ.

Câu 6. Hàm số y = ln(x² + mx + 1) xác định với mọi giá trị của x khi

A. $\left[\begin{array}{l}m<-2\\ m>2\end{array}\right.$.

B. m > 2.

C. -2.

D. m < 2.

Câu 7. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = log₂₀₂₄(mx - m + 2) xác định trên [1;+∞)

A. m ≤ 0.

B. m ≥ 0.

C. m ≥ -1.

D. m ≤ -1.

Câu 8. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn log₃a = x, log₃b = y. Tính $P={\log }_3\left(3a^4{b}^5\right)$.

A. P = 3x⁴y⁵.

B. P = 3 + x⁴ + y⁵.

C. P = 60xy.

D. P = 1 + 4x + 5y.

Câu 9. Biết log₆3 = a, log₆5 = b. Tính log₃5 theo a, b.

A. $\frac{b}{a}$.

B. $\frac{b}{1+a}$.

C. $\frac{b}{1-a}$.

D. $\frac{b}{a-1}$.

Câu 10. Cho log₁₂3 = a. Tính log₂₄18 theo a.

A. $\frac{3a-1}{3-a}$.

B. $\frac{3a+1}{3-a}$.

C. $\frac{3a+1}{3+a}$.

D. $\frac{3a-1}{3+a}$.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho log₃5 = a, log₃6 = b, log₃22 = c. Biết $P={\log }_3\left(\frac{90}{11}\right)=ma+nb+pc$. Tính m + n + p.

Điền đáp án

Câu 17. Cho hàm số y = a^x và y = b^x có đồ thị như hình vẽ.

Đường thẳng y = 3 cắt trục tung, đồ thị hàm số y = a^x và y = b^x lần lượt tại M, N, P. Biết rằng MN = 2NP. Mối quan hệ giữa a, b có dạng a^m = bⁿ. Tính m ∙ n.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho hàm số y = 2^x

a) Hàm số có tập xác định D = ℝ.

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞).

c) Đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4).

d) Đồ thị hàm số có hình sau bên:

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục

---