(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Hàm số lượng giác

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Hàm số y = sin x

• Tập xác định: D = ℝ.

• Tập giá trị: [-1;1], tức là $-1\le \sin x\le 1\forall x\in ℝ$.

• Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

• Hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.

• Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{3\pi }{2}+k2\pi \right),k\in \mathbb{Z}$.

• Đồ thị hàm số y = sin x được biểu diễn như hình dưới đây.

2. Hàm số y = cos x

• Tập xác định: D = ℝ.

• Tập giá trị: [-1;1], tức là $-1\le \cos x\le 1\forall x\in ℝ$.

• Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

• Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π.

• Hàm số y = cos x đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\pi +k2\pi ;k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(k2\pi ;\pi +k2\pi \right),k\in \mathbb{Z}$.

• Đồ thị hàm số y = cos x được biểu diễn như hình dưới đây.

3. Hàm số y = tan x

• Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

• Tập giá trị: ℝ.

• Hàm số y = tan x là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì T = π.

• Hàm số y = tan x đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$.

• Đồ thị hàm số y = tan x được biểu diễn như hình dưới đây.

4. Hàm số y = cot x

• Tập xác định: $D=ℝ\backslash \left\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

• Tập giá trị: ℝ.

• Hàm số y = cot x là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì T = π.

• Hàm số y = cot x nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(k\pi ;\pi +k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$.

• Đồ thị hàm số y = cot x được biểu diễn như hình dưới đây.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Tìm tập xác định hàm số lượng giác

1.1. Phương pháp giải

• Hàm số phân thức: $y=\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\stackrel{\text{ĐKXĐ}}{\to }Q\left(x\right)\ne 0$.

• Hàm số chứa căn thức: $y=\sqrt[2n]{P\left(x\right)}\stackrel{\text{ĐKXĐ}}{\to }P\left(x\right)\ge 0$.

• Hàm số chứa căn thức dưới mẫu số: $y=\frac{P\left(x\right)}{\sqrt[2n]{Q\left(x\right)}}\stackrel{\text{ĐKXĐ}}{\to }Q\left(x\right)>0$.

Lưu ý: Tập xác định của một số hàm lượng giác cơ bản:

a) y = sin[u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định.

b) y = cos[u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định.

c) y = tan[u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và $u\left(x\right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d) y = cot[u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và $u\left(x\right)\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm tập xác định D của hàm số $y=\frac{\tan x-1}{\sin x}+\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$.

A. $D=ℝ\backslash \left\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

B. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.           

C. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

D. D = ℝ.

Hướng dẫn giải

Hàm số $y=\frac{\tan x-1}{\sin x}+\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ xác định khi:

$\left\{\begin{array}{l}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\right.\iff \sin 2x\ne 0$ ⇔ $2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}$, k ∈ ℤ. Chọn B.

Ví dụ 2. Tìm tập xác định D của hàm số y = $\sqrt{5+2{\cot }^{2}x-\sin x}+\cot \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$.

A. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

B. $D=ℝ\backslash \left\{-\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.           

C. D = ℝ.

D. $D=ℝ\backslash \left\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Hướng dẫn giải

Hàm số $y=\sqrt{5+2{\cot }^{2}x-\sin x}+\cot \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$ xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời.

• $5+2{\cot }^{2}x-\sin x\ge 0$, $\cot \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$ xác định và cot x xác định.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}5+2{\cot }^{2}x-\sin x\ge 0\\ 1-\sin 2x\ge 0\Rightarrow 5-\sin x\ge 0\end{array}\right.$ => $5+2{\cot }^{2}x-\sin x\ge \mathrm{0,}\forall x\in ℝ$.

• $\cot \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$ xác định ⇔ $\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\ne 0$ ⇔ $\frac{\pi }{2}+x\ne k\pi$ ⇔ $x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

cot x xác đinh ⇔ $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Do đó hàm số xác định $\left\{\begin{array}{l}x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x\ne k\pi \end{array}\right.\iff x\ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định $D=ℝ\backslash \left\{\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$. Chọn A.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = $\sqrt{3m +\sin x -\sqrt{3}\cos x}$ xác định trên ℝ.

A. $m\ge \frac{2}{3}$.

B. $m\ge \frac{\sqrt{3}+1}{3}$.           

C. $m\le \frac{\sqrt{3}-1}{3}$.

D. m ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: $3m+\sin x-\sqrt{3}\cos x\ge 0$, $\hspace{0.17em}\forall x\in ℝ\iff 3m\ge \sqrt{3}\cos x-\sin x,\forall x\in ℝ$

⇔ $3m\ge \underset{x\in ℝ}{\max }\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)$

Mà $-2\le \sqrt{3}\cos x-\sin x=2\sin \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\le 2$ nên $3m\ge 2\iff m\ge \frac{2}{3}$. Chọn A.

2. Dạng toán: Tính chẵn - lẻ của hàm số lượng giác

2.1. Phương pháp giải

• Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu: $\left\{\begin{array}{l}\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\\ f\left(-x\right)=f\left(x\right)\end{array}\right.$.              

• Hàm số y = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu: $\left\{\begin{array}{l}\forall x\in D\Rightarrow -x\in D\\ f\left(-x\right)=-f\left(x\right)\end{array}\right.$.

* Lưu ý:

• Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.

• Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O(0;0) làm tâm đối xứng.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. y = sin|2016x| + cos2017x.

B. y = 2016cosx + 2017sinx.           

C. y = cot2015x - 2016sinx.

D. y = tan2016x + cot2017x.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số y = f(x) = sin|2016x| + cos2017x. Tập xác định: D = ℝ.

Với mọi x ∈ D, ta có -x ∈ D.

Ta có f(-x) = sin|2016x| + cos(-2017x) = sin|2016x| + cos2017x = f(x).

Vậy f(x) là hàm số chẵn. Chọn A.

Ví dụ 2. Nhận xét nào sau đây là sai?

A. Đồ thị hàm số y = $\frac{x^2}{\sin x + \tan x}$ nhận trục Oy làm trục đối xứng.

B. Đồ thị hàm số y = $\frac{x^2}{\sin x + \tan x}$ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

C. Đồ thị hàm số $y=\frac{{\sin }^{2008n}x+2009}{\cos x},\left(n\in \mathbb{Z}\right)$ nhận trục Oy làm trục đối xứng.

D. Đồ thị hàm số $y={\sin }^{2009}x+\cos nx,\left(n\in \mathbb{Z}\right)$ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Hướng dẫn giải

• Xét hàm số y = $\frac{\sin x- \tan x}{3cot x}$ tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.

Ta có f(-x) = $\frac{\sin (-x)-\tan (-x)}{3cot(-x)}$ = $\frac{-\sin x+\tan x}{-3cot x}$ = $\frac{\sin x - \tan x}{3cot x}$ = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Suy ra đồ thị hàm số y = $\frac{\sin x - \tan x}{3cot x}$ nhận trục Oy làm trục đối xứng, đúng => loại.

• Xét hàm số y = $\frac{x^2}{\sin x + \tan x}$, tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.

Ta có f(-x) = $\frac{{(-x)}^2}{\sin (-x)-\tan (-x)}$ = $\frac{x^2}{-\sin x - \tan x}$ = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẽ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

Suy ra đồ thị hàm số y = $\frac{x^2}{\sin x + \tan x}$ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, đúng => loại.

• Xét hàm số $y=\frac{{\sin }^{2008n}x+2009}{\cos x},\left(n\in \mathbb{Z}\right)$ có tập xác định của hàm số đã cho là tập đối xứng.

Ta có f(-x) = $\frac{{\sin }^{2008n}\left(-x\right)+2009}{\cos \left(-x\right)}$ = $\frac{{\sin }^{2008n}+2009}{\cos x}$ = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn có đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng.

Suy ra đồ thị hàm số $y=\frac{{\sin }^{2008n}x+2009}{\cos x},\left(n\in \mathbb{Z}\right)$ nhận trục Oy làm trục đối xứng, đúng => loại.

• Xét hàm số $y={\sin }^{2009}x+\cos nx,\left(n\in \mathbb{Z}\right)$ có tập xác định là ℝ.

Ta có f(-x) = sin²⁰⁰⁹(-x) + cos(n(-x) = -sin²⁰⁰⁹x + cos nx.

Nhận xét f(-x) ≠ f(x) và f(-x) ≠ -f(x).

Vậy hàm số $y={\sin }^{2009}x+\cos nx,\left(n\in \mathbb{Z}\right)$ không có tính chẵn, lẻ.

Suy ra đồ thị hàm số $y={\sin }^{2009}x+\cos nx,\left(n\in \mathbb{Z}\right)$ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, sai. Chọn D.

3. Dạng toán: Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất

3.1. Phương pháp giải

Sử dụng một số bất đẳng thức sau:

• Bất đẳng thức lượng giác:

• Bất đẳng thức về điều kiện có nghiệm hàm số thuần nhất:

$-\sqrt{A^2+B^2}\le A\sin x+B\cos x\le \sqrt{A^2+B^2},\forall x\in ℝ$.

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki: $\left|ax+by\right|\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{x^2+y^2}$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: ay = bx.

• Sử dụng phương pháp đồ thị hàm số lượng giác.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3cosx + 2 trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$.

Hướng dẫn giải

Ta có y = 3cosx + 2 trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$.

Khi $x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ thì 0 ≤ cos x ≤ 1 nên 2 ≤ 3cos x + 2 ≤ 5 ⇔ 2 ≤ y ≤ 5.

Vậy min y = 2 khi $x=\pm \frac{\pi }{2},\max y=5$ khi x = 0.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin⁶x + cos⁶x.

Hướng dẫn giải

Ta có $y={\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=1-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x$.

Do $0\le {\sin }^{2}2x\le 1\iff -\frac{3}{4}$. $0\ge -\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x\ge -\frac{3}{4}$ ⇔ $1\ge 1-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x\ge 1-\frac{3}{4}$ ⇔ $1\ge y\ge \frac{1}{4}$.

Vậy $\min y=\frac{1}{4}$ khi ${\sin }^{2}2x=1\iff \cos 2x=0$ ⇔ $2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

        max y = 1 khi ${\sin }^{2}2x=0\Rightarrow \sin 2x=0$ ⇔ $2x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

Ví dụ 3. Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (h) được cho bởi công thức $h=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+12$. Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

Hướng dẫn giải

Ta có $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ suy ra $h=3\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)+12\le 15$

Mực nước của kênh cao nhất khi và chỉ khi

$\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=1$ ⇔ $\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=k2\pi \iff t=-2+12k,k\in \mathbb{Z}$.

Vì t > 0 => $-2+12k>0\iff k>\frac{1}{6}$.

Thời gian ngắn nhất chọn k = 1 => t = 10h.

4. Dạng toán: Tính tuần hoàn và đồ thị hàm lượng giác

4.1. Phương pháp giải

• Tính tuần hoàn của hàm số

Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có: $x\pm T\in D$ và f(x + T) = f(x).

Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì T.

• Các hàm số $\left\{\begin{array}{l}y=m\sin \left(ax+b\right)+n\\ y=m\cos \left(ax+b\right)+n\end{array}\right.$.

- Có chu kỳ $T=\frac{2\pi }{\left|a\right|}$.

- Biên độ: |m|.

- Cực đại: |m| + n.

- Cực tiểu: -|m| + n.             

• Hàm số f(x) = a sin ux + b cos vx + c (với u,v ∈ ℤ) là hàm tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{\left|\left(u,v\right)\right|}$ ((u,v) là ước chung lớn nhất).

• Hàm số f(x) = a tan ux + b cot vx + c (với u,v ∈ ℤ) là hàm tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{\left|\left(u,v\right)\right|}$ ((u,v) là ước chung lớn nhất).

4.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2π?

A. y = cos³x.

B. y = $\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$.

C. y = sin²(x + 2).

D. y = ${\cos }^2\left(\frac{x}{2}+1\right)$.

Hướng dẫn giải

Hàm số y = cos³x = $\frac{1}{3}$(cos 3x + 3 cos x) có chu kì là 2π.

Hàm số y = $\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2}\sin x$ có chu kì là 2π.

Hàm số y = sin²(x + 2) = $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos (2x+4)$ có chu kì là π.

Hàm số y = ${\cos }^2\left(\frac{x}{2}+1\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos (x+2)$ có chu kì là 2π.

Chọn C.

Ví dụ 2. Tìm chu kì của hàm số f(x) = $\sin \frac{x}{2}+2\cos \frac{3x}{2}$.

A. π.

B. $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

C. 4π.

D. 2π.

Lời giải

Chu kỳ của $\sin \frac{x}{2}$ là $T_1=\frac{2\mathrm{\pi }}{\left|{\displaystyle \frac{1}{2}}\right|}=4\mathrm{\pi }$ và chu kỳ của $\cos \frac{3x}{2}$ là $T_2=\frac{2\mathrm{\pi }}{\left|{\displaystyle \frac{3}{2}}\right|}=\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$.

Chu kì của hàm ban đầu là bội chung nhỏ nhất của hai chu kì T₁ và T₂ vừa tìm được ở trên.

Chu kì của hàm ban đầu T = 4π.

Ví dụ 3. Tìm chu kì T của hàm số y = tan 3x + cot x.

A. T = 4π.

B. T = π.

C. T = 3π.

D. T = $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

Lời giải

Hàm số y = cot(ax + b) tuần hoàn với chu kì T = $\frac{\mathrm{\pi }}{\left|a\right|}$.

Áp dụng: Hàm số y = tan 3x tuần hoàn với chu kì T₁ = $\frac{\mathrm{\pi }}{3}$.

Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì T₂ = π.

Suy ra hàm số y = tan 3x + cot x tuần hoàn với chu kì T = π.

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{2025\tan 2x}{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}$.

A. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

B. $D=ℝ\backslash \left\{k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

C. D = ℝ.

D. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{1-\sin 2x}}$.

A. $D=ℝ\backslash \left\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

B. D = ℝ.

C. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

D. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Câu 3. Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{\tan x}{\sqrt{15-14\cos 13x}}$.

A. $D=ℝ\backslash \left\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

B. D = ℝ.

C. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

D. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Câu 4. Tìm tập xác định của hàm số $y=\sqrt{\frac{2+\sin x}{1-\cos x}}$.

A. $D=ℝ\backslash \left\{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

B. $D=ℝ\backslash \left\{k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

C. $D=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

D. $D=ℝ\backslash \left\{k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Câu 5. Hàm số y = 1 + 2x² - cos 3x là

A. hàm số lẻ.

B. hàm số chẵn.

C. hàm số không chẵn, không lẻ.

D. hàm số vừa chẵn, vừa lẻ.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho hàm số $y=2{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}2x$. Gọi giá trị lớn nhất của hàm số là M, giá trị nhỏ nhất của hàm số là m. Khi đó $\frac{M}{m}$ có giá trị bằng bao nhiêu?

Điền đáp án

Câu 17. Số giờ có ánh sáng mặt trời của Thủ đô Hà Nội năm 2018 được cho bởi công thức $y=3\sin \left(\frac{\pi }{180}\left(x+60\right)\right)+13$ với 1 ≤ x ≤ 365 là số ngày trong năm. Vào ngày thứ bao nhiêu trong năm 2018 thì số giờ có ánh sáng mặt trời của Hà Nội lớn nhất?

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai

Câu 19. Chiều cao so với mực nước biển trung bình tại thời điểm t (giây) của mỗi cơn sóng được cho bởi hàm số $h\left(t\right)=75\sin \left(\frac{\pi t}{8}\right)$, trong đó h(t) được tính bằng centimét.

a) Chiều cao của sóng tại thời điểm 5 giây bằng 69,3 (cm).

b) Chiều cao của sóng tại thời điểm 20 giây bằng 75 (cm).

c) Trong 30 giây đầu tiên (kể từ mốc t = 0 giây), thời điểm để sóng đạt chiều cao lớn nhất 6 giây.

(Tất cả kết quả được làm tròn đến hàng phần mười)

................................

................................

................................

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình lượng giác cơ bản

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Phương trình sin x = m (1)

1.1. Phương pháp giải

• Với |m| > 1, phương trình (1) vô nghiệm.

• Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ sao cho sinα = m.

Khi đó, ta có: sinx = m ⇔ sinx = sinα ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\mathrm{\pi }\\ x=\mathrm{\pi }-\mathrm{\alpha }+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }\end{array}\right.(k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$.

⮚ Chú ý:

– Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình sinx = m:

– Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho sinx = sina^o như sau: sinx = sina^o = $\left[\begin{array}{l}x=a^o+k{360}^o\\ x={180}^o-a^o+k{360}^o\end{array}\right.(k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$.

– Tổng quát: f(x) = sin g(x) ⇔ $\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)+k2\pi \\ f\left(x\right)=\pi -g\left(x\right)+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm các giá trị nguyên của m để phương trình $3\sin 2x-m^2+5=0$ có nghiệm?

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\sin 2x=\frac{m^2-5}{3}$.

Vì sin 2x ∈ [-1;1] nên $\frac{m^2-5}{3}\in \left[-1;1\right]$ ⇔ $m^2\in \left[2;8\right]\iff \left[\begin{array}{l}-2\sqrt{2}\le m\le -\sqrt{2}\\ \sqrt{2}\le m\le 2\sqrt{2}\end{array}\right.$.

Vậy có 2 giá trị nguyên của m là: -2;2 thì phương trình trên có nghiệm.

Ví dụ 2. Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ 40° bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số: $d\left(t\right)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+\mathrm{12,}t\in \mathbb{Z}$ và 0 ≤ t ≤ 365. Vào ngày nào trong năm thì thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất?

A. 80.

B. 171.

C. 262.

D. 353.

Hướng dẫn giải

Ta có $d\left(t\right)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]+12\le 3+12=15$.

Dấu bằng xảy ra khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)\right]=1$ ⇔ $\frac{\pi }{182}\left(t-80\right)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ ⇔ t = 171 + 364k.

Mặt khác t ∈ (0;365] nên $0<171+364k\le 365$ ⇔ $-\frac{171}{364}<k\le \frac{194}{364}$.

Mà k ∈ ℤ nên k = 0. Vậy t = 171. Chọn B.

Ví dụ 3. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình $\sin \left[\frac{\pi }{4}\left(3x-\sqrt{9x^2-16x-80}\right)\right]=0$.

Hướng dẫn giải

* Lưu ý: Đây là dạng phương trình lạ và khó đòi hỏi học sinh phải thực hiện theo 2 bước.

• Bước 1: Giải phương trình của sin tìm nghiệm theo k.

• Bước 2: Biện luận để k thỏa mãn điều kiện nghiệm nguyên dương.

2. Dạng toán: Phương trình cos x = m (2)

2.1. Phương pháp giải

• Với  |m| > 1, phương trình (2) vô nghiệm.

• Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn [0;π] sao cho cosα = m.

Khi đó, ta có: cosx = m ⇔ cosx = cosα ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\mathrm{\pi }\\ x=\mathrm{\pi }-\mathrm{\alpha }+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }\end{array}\right.(k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$.

⮚ Chú ý:

– Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình cosx = m:

– Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cosx = cosa^o như sau: cosx = cosa^o = $\left[\begin{array}{l}x=a^o+k{360}^o\\ x=-a^o+k{360}^o\end{array}\right.(k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$.

– Tổng quát: cos f(x) = cos g(x) ⇔ $\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)+k2\pi \\ f\left(x\right)=-g\left(x\right)+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho phương trình $\cos \left(x+\pi \right)=\frac{m+2}{m-1}$, m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Tìm x₀ là nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\cos \left(5x-45°\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Hướng dẫn giải

So sánh hai nghiệm ta được nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x = 57°.

3. Dạng toán: Phương trình tan x = m

3.1. Phương pháp giải

Gọi α là số thực thuộc khoảng $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{2};\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)$ sao cho tan α = m. Khi đó, ta có:

tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ ℤ).

⮚ Chú ý:

– Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho tan x = tan a^o như sau: tan x = tan a^o ⇔ x = a^o + k180° (k ∈ ℤ).

– Tổng quát: tan f(x) = tan g(x) ⇔ f(x) = g(x) = kπ (k ∈ ℤ) (trong trường hợp phương trình đã xác định).

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình: $3\tan \left(5x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Tính tổng các nghiệm trong đoạn [0;30] của phương trình: tanx = tan3x (1).

Huớng dẫn giải

4. Dạng toán: Phương trình cot x = m

4.1. Phương pháp giải

Gọi α là số thực thuộc khoảng (0;π) sao cho cot α = m. Khi đó, ta có:

cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ ℤ).

⮚ Chú ý:

– Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cot x = cot a^o như sau: cot x = cot a^o ⇔ x = a^o + k180° (k ∈ ℤ).

– Tổng quát: cot f(x) = cot g(x) ⇔ f(x) = g(x) = kπ (k ∈ ℤ) (trong trường hợp phương trình đã xác định).

4.2. Ví dụ

Ví dụ 2. Giải phương trình: $\tan \left(\frac{4\pi }{9}+x\right)+2\cot \left(\frac{\pi }{18}-x\right)=\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Giải phương trình: $\cot \left(\frac{\pi }{4}\sin 4x\right)=1$

Hướng dẫn giải

Ta có $\frac{-\pi }{4}\le \frac{\pi }{4}\sin 4x\le \frac{\pi }{4}$. Phương trình xác định với $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$.

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Nghiệm của phương trình $\cot x+\sqrt{3}=0$ là:

A. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Câu 2. Phương trình sin2x = cosx có nghiệm là

Câu 3. Biểu diễn họ nghiệm của phương trình sin2x = 1 trên đường tròn đơn vị ta được bao nhiêu điểm?

A. 1.

B. 8.

C. 4.

D. 2.

Câu 4. Tập giá trị của tham số m để phương trình 2cosx + 3m - 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left(0;\frac{3\pi }{2}\right)$ là m ∈ (a;b). Khi đó 6a + b bằng?

A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Câu 5. Phương trình cosx - m = 0 vô nghiệm khi m là:

A. $\left[\begin{array}{l}m<-1\\ m>1\end{array}\right.$.

B. m > 1.

C. -1 ≤ m ≤ 1.

D. m < -1.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình $x=2\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)$. Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

Điền đáp án

Câu 17. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos(sinx) = 1 trên [0;2π] có dạng mπ. Xác định giá trị của m.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thi sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho phương trình lượng giác $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (*).

a) Phương trình (*) tương đương $\cot 3x=\cot \left(\frac{-\pi }{6}\right)$.

b) Phương trình (*) có nghiệm $x=\frac{\pi }{9}+k\frac{\pi }{3}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) Tổng các nghiệm của phương trình trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ bằng $\frac{-5\pi }{9}$.

d) Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng $\frac{2\pi }{9}$.

................................

................................

................................

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Phương trình thuần nhất đối với sin x và cos x

1.1. Phương pháp giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng: asinz + bcosx = c (a,b ∈ ℝ \ {0}.

Bước 1: Kiểm tra

- Nếu a² + b² < c² phương trình vô nghiệm.

- Nếu a² + b² ≥ c² khi đó phương trình có nghiệm, ta thực hiện tiếp bước 2.

Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (*) cho $\sqrt{a^2+b^2}\ne 0$ ta được:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

⇔ $\sin x\cdot \cos \alpha +\cos x\cdot \sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ⇔ $\sin \left(x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Phương trình trên là phương trình lượng giác dạng cơ bản nên dễ dàng giải được.

• Dạng đặc biệt:

a) sinx + cosx ⇔ $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) sinx - cosx ⇔ $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x=2$ (1).

Huớng dẫn giải

 (1) ⇔ $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x-\frac{1}{2}\cos 3x=1$ ⇔ $\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=1$ ⇔ $3x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ ⇔ $x=\frac{2\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$.

Vậy phương trình có nghiệm: $x=\frac{2\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$.

Ví dụ 2. Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng. Khoảng cách h từ vật đến vị trí cân bằng ở thời điểm t giây được tính theo công thức h = |d| trong đó d = 5sin6t - 4cos6t với d được tính bằng centimet. Ta quy ước rằng d > 0 khi vật ở trên vị trí cân bằng, d < 0 khi vật ở dưới vị trí cân bằng. Hỏi trong giây đầu tiên, có bao nhiêu thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất?

Hướng dẫn giải

Ta có h = |d| = |5sin6t - 4cos6t| = $\sqrt{41}\left|\sin \left(6t+\alpha \right)\right|\le \sqrt{41}$ với $\left\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{41}}\\ \sin \alpha =\frac{4}{\sqrt{41}}\end{array}\right.$.

Do đó vật ở xa vị trí cân bằng nhất $h_{\max }=\sqrt{41}$ khi $\left|\sin \left(6t+\alpha \right)\right|=1$ ⇔ $\cos \left(6t+\alpha \right)=0$

⇔ $6t+\alpha =\frac{\pi }{2}+k\pi$ ⇔ $t=-\frac{\alpha }{6}+\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{6}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Trong giây đầu tiên, $0\le t\le 1$ ⇔ $0\le -\frac{\alpha }{6}+\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{6}\le 1$ ⇔  $\frac{\alpha }{\pi }-\frac{1}{2}\le k\le \frac{6}{\pi }+\frac{\alpha }{\pi }-\frac{1}{2}$ => k ∈ {0;1}.

Vậy có 2 lần vật ở xa vị trí cân bằng nhất.

2. Dạng toán: Phương trình bậc cao của một hàm lượng giác

2.1. Phương pháp giải

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

• Dạng tổng quát: at² + bt + c = 0. Trong đó:

+) t là một trong các hàm số: sinu, cosu, tanu, cotu.

+) Với $a;b;c\in ℝ,a\ne 0$.

• Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều kiện của ẩn phụ. Nếu đặt:

+) t = sinu, t = cosu thì điều kiện: |t| ≤ 1.

+) t = tanu thì điều kiện: $u\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

+) t = cotu thì điều kiện: $u\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

+) t = sin²u, t = cos²u thì điều kiện là 0 ≤ t ≤ 1.

+) t = |sinu|, t = |cosu| thì điều kiện là 0 ≤ t ≤ 1.

Khi tìm được t₁; t₂ thỏa mãn thì phải giải tiếp: sinu = t₁; sinu = t₂...

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình: 2sin²x + sinx - 3 = 0 (1).

Hướng dẫn giải

Đặt t = sinx, điều kiện |t| ≤ 1. Phương trình (1) trở thành: $2t^2+t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{3}{2}\end{array}\right.$.

Lấy nghiệm t = 1, ta được: sinx = 1 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ví dụ 2. Giải phương trình: 3sin²2x + 7cos2x - 3 =  0 (2).

Hướng dẫn giải

(2) ⇔ $3\left(1-{\cos }^{2}2x\right)+7\cos 2x-3=0$ ⇔ $3{\cos }^{2}2x-7\cos 2x=0$

⇔ $\cos 2x\left(3\cos 2x-7\right)=0$ ⇔ $\left[\begin{array}{l}\cos 2x=0\\ 3\cos 2x-7=0\end{array}\right.$.

* TH1: $\cos 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ ⇔ $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

* TH2: $3\cos 2x-7=0$ ⇔ $\cos 2x=\frac{7}{3}>1$ (vô nghiệm).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

3. Dạng toán: Phương trình lượng giác đẳng cấp

3.1. Phương pháp giải

Dạng tổng quát: a.sin²x + b.sinxcosx + c.cos²x = d (1) $\forall a,b,c,d\in ℝ$.

* Cách 1:

- Bước 1. Kiểm tra cosx = 0 có là nghiệm hay không, nếu có thì nhận nghiệm này.

- Bước 2. Nếu cosx ≠ 0 thì chia cả hai vế cho cos²x đưa về phương trình bậc hai theo tanx:

(1) ⇔ $a\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+b\frac{\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}+c\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{d}{{\cos }^{2}x}$

⇔ $a{\tan }^{2}x+b\tan x+c=d\left(1+{\tan }^{2}x\right)$

- Bước 3. Đặt t = tanx đưa về phương trình bậc hai để giải toán.

* Cách 2: Dùng công thức hạ bậc: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$; ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$; $\sin x\cdot \cos x=\frac{\sin 2x}{2}$.

Đưa phương trình đã cho về phương trình: bsin2x + (c - a)cos2x = d - c - a.

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin à côsin ta đã biết cách giải.

* Lưu ý: Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc 3 và bậc 4:

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình sau: $2\sqrt{3}{\cos }^{2}x+6\sin x\cdot \cos x=3+\sqrt{3}$ (1).

Hướng dẫn giải

Cách 1: Thử với cosx = 0 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ vào phương trình (1) ta có: $0=3+\sqrt{3}$ => phương trình vô nghiệm.

Với cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos²x ta được

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

Ví dụ 2. Cho phương trình: $2{\sin }^{2}x-\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=m$ (2). Tìm m để phương trình (2) có nghiệm.

Hướng dẫn giải

- Nếu cosx = 0 => Phương trình có dạng: 2sin²x = m.

Để phương trình có nghiệm thì: ⇔ m = 2 (*).

4. Dạng toán: Phương trình lượng giác đối xứng

4.1. Phương pháp giải

Dạng tổng quát: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0, trong đó: a,b,c ∈ ℝ.

Đặt: t = sinx + cosx = $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$. Điều kiện $\left|t\right|\le \sqrt{2}$.

Do ${\left(\sin x+\cos x\right)}^2=1+2\sin x\cos x$ => $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$.

Khi đó phương trình được viết lại: bt² + 2at - b + 2c = 0.

Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải.

Lưu ý: Cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình: a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0, bằng cách đặt: t = sinx - cosx => $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$.

4.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình sau: sinx + cosx - 2sinxcosx + 1 = 0 (1).

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Giải phương trình sau: ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+1=\frac{3}{2}\sin 2x$ (2).

Hướng dẫn giải

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\left[\begin{array}{l}x=\pi +k2\pi \\ x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$.

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Từ phương trình $\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sin x-\cos x\right)+\sin 2x-1-\sqrt{5}=0$ ta tìm được $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ có giá trị bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

D. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Câu 2. Phương trình $2\sin 2x-3\sqrt{6}\left|\sin x+\cos x\right|+8=0$có nghiệm là

A. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=5\pi +k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$.

D. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{3}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Câu 3. Giải phương trình ${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}3x-2{\cos }^{2}2x=0$.

A. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $x=k\pi ,x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. $x=k\pi ,x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Câu 4. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos3x + sin2x - sin4x = 0.

A. $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

B. $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

C. $x=k\frac{\pi }{3};x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$; $;x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

D. $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3};x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Câu 5. Giải phương trình $\frac{\tan x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cot x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

A. $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình sin2x + 2sinx - cosx - cos²x = msin²x có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng [0;2π]?

Câu 17. Xác định giá trị lớn nhất của m để phương trình cosx + sin²⁰²⁴5x + m = 0 có nghiệm.

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở câu sau, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 20. Cho phương trình $4\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\cdot \cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ = $m^2+\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$.

a) Với m = 0 thì phương trình có nghiệm.

b) Với m = 3 thì phương trình vô nghiệm.

c) Có 5 giá trị nguyên của m ∈ [-2;2] để phương trình có nghiệm.

d) Tổng các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm nghiệm bằng -1.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

---