(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Chủ đề Phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Phương trình thuần nhất đối với sin x và cos x

1.1. Phương pháp giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng: asinz + bcosx = c (a,b ∈ ℝ \ {0}.

Bước 1: Kiểm tra

- Nếu a² + b² < c² phương trình vô nghiệm.

- Nếu a² + b² ≥ c² khi đó phương trình có nghiệm, ta thực hiện tiếp bước 2.

Bước 2: Chia cả 2 vế phương trình (*) cho $\sqrt{a^2+b^2}\ne 0$ ta được:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

⇔ $\sin x\cdot \cos \alpha +\cos x\cdot \sin \alpha =\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ⇔ $\sin \left(x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Phương trình trên là phương trình lượng giác dạng cơ bản nên dễ dàng giải được.

• Dạng đặc biệt:

a) sinx + cosx ⇔ $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) sinx - cosx ⇔ $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình: $\sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x=2$ (1).

Huớng dẫn giải

 (1) ⇔ $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x-\frac{1}{2}\cos 3x=1$ ⇔ $\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=1$ ⇔ $3x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ ⇔ $x=\frac{2\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$.

Vậy phương trình có nghiệm: $x=\frac{2\pi }{9}+\frac{k2\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$.

Ví dụ 2. Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng. Khoảng cách h từ vật đến vị trí cân bằng ở thời điểm t giây được tính theo công thức h = |d| trong đó d = 5sin6t - 4cos6t với d được tính bằng centimet. Ta quy ước rằng d > 0 khi vật ở trên vị trí cân bằng, d < 0 khi vật ở dưới vị trí cân bằng. Hỏi trong giây đầu tiên, có bao nhiêu thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất?

Hướng dẫn giải

Ta có h = |d| = |5sin6t - 4cos6t| = $\sqrt{41}\left|\sin \left(6t+\alpha \right)\right|\le \sqrt{41}$ với $\left\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{5}{\sqrt{41}}\\ \sin \alpha =\frac{4}{\sqrt{41}}\end{array}\right.$.

Do đó vật ở xa vị trí cân bằng nhất $h_{\max }=\sqrt{41}$ khi $\left|\sin \left(6t+\alpha \right)\right|=1$ ⇔ $\cos \left(6t+\alpha \right)=0$

⇔ $6t+\alpha =\frac{\pi }{2}+k\pi$ ⇔ $t=-\frac{\alpha }{6}+\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{6}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Trong giây đầu tiên, $0\le t\le 1$ ⇔ $0\le -\frac{\alpha }{6}+\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{6}\le 1$ ⇔  $\frac{\alpha }{\pi }-\frac{1}{2}\le k\le \frac{6}{\pi }+\frac{\alpha }{\pi }-\frac{1}{2}$ => k ∈ {0;1}.

Vậy có 2 lần vật ở xa vị trí cân bằng nhất.

2. Dạng toán: Phương trình bậc cao của một hàm lượng giác

2.1. Phương pháp giải

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

• Dạng tổng quát: at² + bt + c = 0. Trong đó:

+) t là một trong các hàm số: sinu, cosu, tanu, cotu.

+) Với $a;b;c\in ℝ,a\ne 0$.

• Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều kiện của ẩn phụ. Nếu đặt:

+) t = sinu, t = cosu thì điều kiện: |t| ≤ 1.

+) t = tanu thì điều kiện: $u\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

+) t = cotu thì điều kiện: $u\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

+) t = sin²u, t = cos²u thì điều kiện là 0 ≤ t ≤ 1.

+) t = |sinu|, t = |cosu| thì điều kiện là 0 ≤ t ≤ 1.

Khi tìm được t₁; t₂ thỏa mãn thì phải giải tiếp: sinu = t₁; sinu = t₂...

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình: 2sin²x + sinx - 3 = 0 (1).

Hướng dẫn giải

Đặt t = sinx, điều kiện |t| ≤ 1. Phương trình (1) trở thành: $2t^2+t-3=0\iff \left[\begin{array}{l}t=1\\ t=\frac{3}{2}\end{array}\right.$.

Lấy nghiệm t = 1, ta được: sinx = 1 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Ví dụ 2. Giải phương trình: 3sin²2x + 7cos2x - 3 =  0 (2).

Hướng dẫn giải

(2) ⇔ $3\left(1-{\cos }^{2}2x\right)+7\cos 2x-3=0$ ⇔ $3{\cos }^{2}2x-7\cos 2x=0$

⇔ $\cos 2x\left(3\cos 2x-7\right)=0$ ⇔ $\left[\begin{array}{l}\cos 2x=0\\ 3\cos 2x-7=0\end{array}\right.$.

* TH1: $\cos 2x=0\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ ⇔ $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

* TH2: $3\cos 2x-7=0$ ⇔ $\cos 2x=\frac{7}{3}>1$ (vô nghiệm).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

3. Dạng toán: Phương trình lượng giác đẳng cấp

3.1. Phương pháp giải

Dạng tổng quát: a.sin²x + b.sinxcosx + c.cos²x = d (1) $\forall a,b,c,d\in ℝ$.

* Cách 1:

- Bước 1. Kiểm tra cosx = 0 có là nghiệm hay không, nếu có thì nhận nghiệm này.

- Bước 2. Nếu cosx ≠ 0 thì chia cả hai vế cho cos²x đưa về phương trình bậc hai theo tanx:

(1) ⇔ $a\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+b\frac{\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}+c\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{d}{{\cos }^{2}x}$

⇔ $a{\tan }^{2}x+b\tan x+c=d\left(1+{\tan }^{2}x\right)$

- Bước 3. Đặt t = tanx đưa về phương trình bậc hai để giải toán.

* Cách 2: Dùng công thức hạ bậc: ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$; ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$; $\sin x\cdot \cos x=\frac{\sin 2x}{2}$.

Đưa phương trình đã cho về phương trình: bsin2x + (c - a)cos2x = d - c - a.

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin à côsin ta đã biết cách giải.

* Lưu ý: Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc 3 và bậc 4:

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình sau: $2\sqrt{3}{\cos }^{2}x+6\sin x\cdot \cos x=3+\sqrt{3}$ (1).

Hướng dẫn giải

Cách 1: Thử với cosx = 0 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ vào phương trình (1) ta có: $0=3+\sqrt{3}$ => phương trình vô nghiệm.

Với cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos²x ta được

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

Ví dụ 2. Cho phương trình: $2{\sin }^{2}x-\sin x\cos x-{\cos }^{2}x=m$ (2). Tìm m để phương trình (2) có nghiệm.

Hướng dẫn giải

- Nếu cosx = 0 => Phương trình có dạng: 2sin²x = m.

Để phương trình có nghiệm thì: ⇔ m = 2 (*).

4. Dạng toán: Phương trình lượng giác đối xứng

4.1. Phương pháp giải

Dạng tổng quát: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0, trong đó: a,b,c ∈ ℝ.

Đặt: t = sinx + cosx = $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$. Điều kiện $\left|t\right|\le \sqrt{2}$.

Do ${\left(\sin x+\cos x\right)}^2=1+2\sin x\cos x$ => $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$.

Khi đó phương trình được viết lại: bt² + 2at - b + 2c = 0.

Đó là phương trình bậc hai đã biết cách giải.

Lưu ý: Cách giải trên có thể áp dụng cho phương trình: a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0, bằng cách đặt: t = sinx - cosx => $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2}$.

4.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải phương trình sau: sinx + cosx - 2sinxcosx + 1 = 0 (1).

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Giải phương trình sau: ${\sin }^{3}x+{\cos }^{3}x+1=\frac{3}{2}\sin 2x$ (2).

Hướng dẫn giải

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\left[\begin{array}{l}x=\pi +k2\pi \\ x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$.

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Từ phương trình $\left(1+\sqrt{5}\right)\left(\sin x-\cos x\right)+\sin 2x-1-\sqrt{5}=0$ ta tìm được $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ có giá trị bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

D. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Câu 2. Phương trình $2\sin 2x-3\sqrt{6}\left|\sin x+\cos x\right|+8=0$có nghiệm là

A. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=5\pi +k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{4}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$.

D. $\left[\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{3}+k\pi \\ x=\frac{5\pi }{3}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Câu 3. Giải phương trình ${\sin }^{2}x+{\sin }^{2}3x-2{\cos }^{2}2x=0$.

A. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $x=k\pi ,x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. $x=k\pi ,x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Câu 4. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos3x + sin2x - sin4x = 0.

A. $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{2\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

B. $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$.

C. $x=k\frac{\pi }{3};x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$; $;x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

D. $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3};x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Câu 5. Giải phương trình $\frac{\tan x}{\sin x}-\frac{\sin x}{\cot x}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

A. $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=\pm \frac{\pi }{4}+k\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi ,\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình sin2x + 2sinx - cosx - cos²x = msin²x có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng [0;2π]?

Câu 17. Xác định giá trị lớn nhất của m để phương trình cosx + sin²⁰²⁴5x + m = 0 có nghiệm.

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở câu sau, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 20. Cho phương trình $4\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\cdot \cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ = $m^2+\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$.

a) Với m = 0 thì phương trình có nghiệm.

b) Với m = 3 thì phương trình vô nghiệm.

c) Có 5 giá trị nguyên của m ∈ [-2;2] để phương trình có nghiệm.

d) Tổng các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm nghiệm bằng -1.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

---