(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mũ, phương trình logarit

Chủ đề Phương trình mũ, phương trình logarit trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Phương trình mũ, phương trình logarit

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Giải phương trình logarit

1.1. Phương pháp giải

• Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu logarit.

• Phương trình logarit cơ bản:

Cho a,b > 0, a ≠ 1, phương trình logarit cơ bản có dạng: log_ax = b ⇔ x = a^b.

• Phương pháp giải phương trình logarit

- Đưa về cùng cơ số: ${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right)\iff \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)=g\left(x\right)\end{array}\right.$, với mọi 0 < a ≠ 1.

- Đặt ẩn phụ:

Loại 1. $P\left({\log }_{a}f\left(x\right)\right)=0\stackrel{PP}{\to }$ đặt t = log_af(x).

Loại 2. Sử dụng công thức $a^{{\log }_{b}c}=c^{{\log }_{b}a}$ để đặt $t=a^{{\log }_{b}x}\Rightarrow t=x^{{\log }_{b}a}$.

- Mũ hóa: Nếu a > 0, a ≠ 1:log_af(x) = g(x) ⇔ f(x) = a^g(x).

- Phương pháp hàm số và đánh giá.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình $\left(2x^2-5x+2\right)\left[{\log }_x(7x-6)-2\right]=0$ bằng

A. $\frac{17}{2}$.

B. 9.

C. 8.

D. $\frac{19}{2}$.

Hướng dẫn giải

Kết hợp với điều kiện (*) => x = 6.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2; x = 6 suy ra tổng các nghiệm bằng 8. Chọn C.

Ví dụ 2. Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình ${\log }_{3}x\cdot {\log }_{9}x\cdot {\log }_{27}x\cdot {\log }_{81}x=\frac{2}{3}$ bằng

A. 0.

B. $\frac{80}{9}$.

C. 9.

D. $\frac{82}{9}$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện x > 0.

Phương trình đã cho tương đương với

Ví dụ 3. Tổng các nghiệm của phương trình ${\log }_{\sqrt{3}}(x-2)+{\log }_3{(x-4)}^2=0$ là $S=a+b\sqrt{2}$ (với a, b là các số nguyên). Giá trị của biểu thức Q = a.b bằng

A. 0.

B. 3.

C. 9.

D. 6.

 

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 2 < x ≠ 4.

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương

Ví dụ 4. Tích các nghiệm của phương trình ${\log }_x\left(125x\right)\cdot {\log }_{25}^{2}x=1$.

A. 630.

B. $\frac{1}{125}$.

C. $\frac{630}{625}$.

D. $\frac{7}{125}$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện x > 0; x ≠ 1. Ta có

Ví dụ 5. Cho hai số thực dương m, n thỏa mãn ${\log }_4\left(\frac{m}{2}\right)={\log }_{6}n={\log }_9(m+n)$. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{m}{n}$.

A. P = 2.

B. P = 1.

C. P = 4.

D. P = $\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 6. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ${\log }_{4}a={\log }_{6}b={\log }_9(4a-5b)-1$. Đặt $T=\frac{b}{a}$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 1 < T < 2.

B. $\frac{1}{2}<T<\frac{2}{3}$.

C. -2 < T < 0.

D. $0<T<\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

2. Dạng toán 2: Giải phương trình mũ

2.1. Phương pháp giải

• Phương trình mũ cơ bản: a^x = b(a > 0), a ≠ 1).

- Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b > 0: a^x = b ⇔ log_ab, (b > 0).

- Phương trình vô nghiệm khi b ≤ 0.

• Các phương pháp giải phương trình mũ:

Dạng 1. Biến đổi, quy về cùng cơ số: a^f(x) = a^g(x) ⇔ a = 1 hoặc $\left\{\begin{array}{l}0<a\ne 1\\ f\left(x\right)=g\left(x\right)\end{array}\right.$.

Dạng 2. Đặt ẩn phụ:

Biến đổi quy về dạng: $f\left[a^{g\left(x\right)}\right]=\mathrm{0,}(0<a\ne 1)$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}t=a^{g\left(x\right)}>0\\ f\left(t\right)=0\end{array}\right.$

Ta thường gặp các dạng:

Dạng 3. Logarit hóa

- Phương trình $a^{f\left(x\right)}=b\iff \left\{\begin{array}{l}0<a\ne \mathrm{1,}b>0\\ f\left(x\right)={\log }_{a}b\end{array}\right.$.

- Phương trình a^f(x) = b^g(x) ⇔ log_aa^f(x) = log_ab^g(x) ⇔ f(x) = g(x).log_ab.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tập nghiệm của phương trình $5^{x^2-4x+3}+5^{x^2+7x+6}=5^{2x^2+3x+9}+1$ là

A. {1;-1;3}.

B. {-1;1;3;6}.

C. {-6;-1;1;3}.

D. {1;3}.

Hướng dẫn giải

Tập nghiệm của phương trình là {-6;-1;1;3}. Chọn C.

Ví dụ 2. Phương trình 9^x - 6^x = 2^2x+1 có bao nhiêu nghiệm âm?

A. 2.

B. 3.

C. 0.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm. Chọn C.

Ví dụ 3. Gọi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình ${(2-\sqrt{3})}^x+{(2+\sqrt{3})}^x=4$. Khi đó $x_1^2+2x_2^2$ bằng

A. 2.

B. 3.

C. 5.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Nghiệm của phương trình ${25}^x-2(3-x)5^x+2x-7=0$ nằm trong khoảng nào sau đây?

A. (5; 10).

B. (0; 2).

C. (1; 3).

D. (0; 1).

Hướng dẫn giải

Đặt t = 5^x, t > 0.

Phương trình trở thành: $t^2-2(3-x)t+2x-7=0$ ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=-1\left(L\right)\\ t=-2x+7\end{array}\right.$.

Với t = -2x + 7 ta có: 5^x = -2x + 7 ⇔ 5^x + 2x - 7 = 0.

Phương trình có một nghiệm x = 1.

Với x > 1: 5^x + 2x - 7 > 5 + 2 - 7 ⇔ 5^x + 2x - 7 = 0 => phương trình vô nghiệm.

Với x < 1: 5^x + 2x - 7 < 5 + 2 - 7 ⇔ 5^x + 2x - 7 < 0 => phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 1 ∈ (0;2). Chọn B.

Ví dụ 5. Tính tích các nghiệm thực của phương trình $2^{x^2-1}=3^{2x+3}$.

A. $-3{\log }_{2}3$.

B. $-{\log }_{2}54$.

C. -1.

D. $1-{\log }_{2}3$.

Hướng dẫn giải

Phương trình ⇔ ${\log }_2{2}^{x^2-1}={\log }_2{3}^{2x+3}$ ⇔ $x^2-1=(2x+3){\log }_{2}3$ ⇔ $x^2-2x\cdot {\log }_{2}3-1-3{\log }_{2}3=0$.

Do 1 ∙ $\left(-1-3{\log }_{2}3\right)<0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm thực phân biệt x₁, x₂.

Theo Vi-et ta có x₁x₂ = $-1-3{\log }_{2}3=-{\log }_{2}2-{\log }_{2}27=-{\log }_{2}54$. Chọn B.

Ví dụ 6. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn 2^x = 3^y = 6^z. Giá trị của biểu thức M = xy + yz + xz là

A. 0.

B. 6.

C. 3.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Chọn A.

3. Dạng toán 3: Phương trình mũ - logarit có chứa tham số m

3.1. Phương pháp giải

• Bước 1: Chú ý tìm điều kiện có nghĩa của phương trình mũ – logarit đã cho.

• Bước 2: Dùng các phương pháp như đặt ẩn phụ, đưa về cùng cơ số để chuyển phương trình đã cho về phương trình bậc 2, 3 của ẩn mới với m là tham số.

• Bước 3: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình đã cho.

Chú ý: Để phương trình f(x) = A(m) có nghiệm trên miền xác định D thì

${\min }_{x\in D}f\left(x\right)\le A\left(m\right)\le {\max }_{x\in D}f\left(x\right)$

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4^x - 2^x+1 + m = 0 có hai nghiệm thực phân biệt.

A. $m\in (0;+\infty )$.

B. $m\in (-\infty ;1)$.

C. $m\in (0;1]$.

D. $m\in (0;1)$.

Hướng dẫn giải

Phương trình 4^x - 2^x+1 + m = 0 ⇔ ${\left(2^x\right)}^2-{2.2}^x+m=0$, (1).

Đặt t = 2^x > 0. Phương trình (1) trở thành: t² - 2t + m = 0, (2).

Phương trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt và lớn hơn . Chọn D.

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình ${{\log }_2}^{2}x-{\log }_2{x}^2+3=m$ có nghiệm x ∈ [1;8].

A. 6 ≤ m ≤ 9.

B. 2 ≤ m ≤ 3.

C. 2 ≤ m ≤ 6.

D. 3 ≤ m ≤ 6.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 0.

Phương trình đã cho ⇔ ${\left({\log }_{2}x\right)}^2-2{\log }_{2}x+3=m$.

Đặt t = log₂x, với x ∈ [1;8] thì t ∈ [0;3].

Phương trình trở thành: t² - 2t + 3 = m (2)

Để phương trình (1) có nghiệm x ∈ [1;8] ⇔ phương trình (2) có nghiệmt ∈ [0;3]

⇔ ${\min }_{[0;3]}f\left(t\right)\le m\le {\max }_{[0;3]}f\left(t\right)$, trong đó f(t) = t² - 2t + 3

⇔ 2 ≤ m ≤ 6 (bấm máy tính). Chọn C.

Ví dụ 3. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình 9^x - 2,3^x+1 + m = 0 có hai nghiệm thực x₁,x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = 1.

A. m = 3.

B. m = 1.

C. m = 6.

D. m = -3.

Hướng dẫn giải

Ta có 9^x - 2.3^x+1 + m = 0 ⇔ 3^2x + m = 0 ⇔ 3^2x - 6.3^x + m = 0.

Phương trình có hai nghiệm thực x₁,x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = 1 => $\left\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\text{'}}=9-m>0\\ 3^{x_1}+3^{x_2}=6>0\\ 3^{x_1+x_2}=3=m\end{array}\iff m=3\right.$. Chọn A.

Ví dụ 4. Cho phương trình ${\log }_9{x}^2-{\log }_3(6x-1)=-{\log }_{3}m$ (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 7.

B. 6.

C. 5.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình ${\log }_9{x}^2-{\log }_3(6x-1)=-{\log }_{3}m$.

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{6}\\ m>0\end{array}\right.$.

Khi đó: ${\log }_9{x}^2-{\log }_3(6x-1)=-{\log }_{3}m$ ⇔ ${\log }_{3}x+{\log }_{3}m={\log }_3(6x-1)$

⇔ mx = 6x - 1 ⇔ x(6 - m) = 1 (1).

+) Với m = 6, phương trình (1) trở thành 0 = 1 (vô lý).

+) Với m ≠ 6, phương trình (1) có nghiệm $x=\frac{1}{6-m}$

=> $\frac{1}{6-m}>\frac{1}{6}$ ⇔ $\frac{1}{6-m}-\frac{1}{6}>0$ ⇔ $\frac{m}{6-m}>0$ ⇔ 0 < m < 6.

Vậy 0 < m < 6. Mà m ∈ ℤ => m ∈ {1;2;3;4;5}.

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Chọn C.

Ví dụ 5. Cho phương trình $\left(2{\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x-2\right)\sqrt{3^x-m}=0$ (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. Vô số.

B. 81.

C. 79.

D. 80.

Hướng dẫn giải

Do đó, phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi và chi khi xảy ra các trường hợp sau:

TH1: (3) có nghiệm $x={\log }_{3}m\le 0\iff 0<m\le 1$ (4).

Kết hợp điều kiện (*) và (4) ta được m = 1 thì (1) có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ và x = 4.

TH2: m > 1, khi đó $(*)\iff x\ge {\log }_{3}m>0$.

Và do $4>\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\frac{1}{\sqrt{2}}\le {\log }_{3}m<4$ ⇔ $3^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\le m<3^4$.

Mà m nguyên dương nên ta có $m\in \{3;4;\dots ;80\}$, có 78 giá trị của m.

Vậy có 79 giá trị nguyên dương của m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt. Chọn C.

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $4^x+(4m-1)\cdot 2^x+3m^2-1=0$ có hai nghiệm thực x₁,x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = 3là

A. $m<-\frac{1}{\sqrt{3}}$.

B. $m=\sqrt{3}$.

C. $m=-\sqrt{3}$.

D. $m=\pm \sqrt{3}$.

Câu 2. Cho phương trình $(mx-36)\sqrt{2-{\log }_{3}x}=0\left(1\right)$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-100;100] để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt?

A. 197.

B. 96.

C. 196.

D. 97.

Câu 3. Cho phương trình $3^{x^2}{.4}^{x+1}-\frac{1}{3^x}=0$ có hai nghiệm x₁,x₂.Tính T = x₁ - x₂ + x₁ + x₂.

A. T = log₃4.

B. T = -log₃4.

C. T = -1.

D. T = 1.

Câu 4. Tổng các nghiệm của phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}^{2}x-7{\log }_{2}x+12=0$ bằng

A. 7.

B. 24.

C. 20.

D. 25.

Câu 5. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình ${\log }_3^{2}x-(m+2){\log }_{3}x+3m-1=0$ có hai nghiệm phân biệt x₁,x₂ sao cho x₁,x₂ = 27.

A. m = 1.

B. m = 25.

C. m = $\frac{28}{3}$.

D. m = $\frac{14}{3}$.

Câu 6. Giải phương trình 16^-x = 8^2(1-x).

A. x = 3.

B. x = 0.

C. x = 2.

D. x = -3.

Câu 7. Số nghiệm của phương trình $4.{\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^{-2x}+{25.2}^x=100+{100}^{\frac{x}{2}}$là

A. 2.

B. vô nghiệm.

C. 3.

D. 1.

Câu 8. Phương trình log²x - logx - 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (1;100)?

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Câu 9. Nghiệm của phương trình ${25}^x-2(3-x)5^x+2x-7=0$ nằm trong khoảng nào sau đây?

A. (0;2).

B. (1;3).

C. (0;1).

D. (5;10).

Câu 10. Số nghiệm của phương trình ${\log }_{2}x\cdot {\log }_3(2x-1)=2{\log }_{2}x$.

A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_{9}a={\log }_{6}b={\log }_4\frac{a+b}{6}$. Tính tỷ số $\frac{a}{b}$.

Điền đáp án

Câu 17. Phương trình $3^x{.5}^{\frac{2x-1}{x}}=15$ có một nghiệm dạng $x=-{\log }_{a}b$, với a, b là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8. Giá trị của biểu thức P = a + 2b bằng bao nhiêu?

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho phương trình ${\log }_3\left(x+6\right)={\log }_3\left(x-1\right)+1$ (*).

a) Điều kiện xác định của phương trình: x > 1.

b) Phương trình (*) có chung tập nghiệm với phương trình $\frac{x^2-11x+9}{x-1}=0$.

c) Gọi x = a là nghiệm của phương trình (*), khi đó $\underset{x\to a}{\lim }\left(x-3\right)=\frac{5}{2}$.

d) Nghiệm của phương trình (*) là hoành độ giao điểm của đường thẳng d₁: 2x - y - 8 = 0 với đường thẳng d₂ : y = 0.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục

---