(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Bất phương trình mũ và logarit

Chủ đề Bất phương trình mũ và logarit trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Bất phương trình mũ và logarit

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Giải bất phương trình mũ

1.1. Phương pháp giải

a) Bất phương trình mũ cơ bản

• Bất phương trình mũ cơ bản: a^x > b (hoặc $a^x\ge b,a^x<b,a^x\le b$) với a > 0, a ≠ 1.

• Ta xét bất phương trình có dạng a^x > b:

– Nếu b ≤ 0, thì tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ vì $a^x>0\forall x\in ℝ$.

– Nếu b > 0, thì ta xét 2 trường hợp của cơ số a.

✔ Với a > 1 thì bất phương trình $a^x>b\iff x>{\log }_{a}b$.

✔ Với 0 < a < 1 thì bất phương trình $a^x>b\iff x<{\log }_{a}b$.

Tương tự với bất phương trình có dạng $a^{f\left(x\right)}>b$.

– Nếu b ≤ 0, thì tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của f(x).

– Nếu b > 0, thì ta xét 2 trường hợp của cơ số a.

✔ Với a > 1 thì bất phương trình $a^{f\left(x\right)}>b\iff f\left(x\right)>{\log }_{a}b$.

✔ Với 0 < a < 1 thì bất phương trình $a^{f\left(x\right)}>b\iff f\left(x\right)<{\log }_{a}b$.

b) Bất phương trình mũ dạng: $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}$

– Nếu a > 1 thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)>g\left(x\right)$ (cùng chiều dấu).

– Nếu 0 < a < 1 thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)<g\left(x\right)$ (ngược chiều dấu).

– Nếu a chứa ẩn thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff \left(a-1\right)\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]>0$.

c) Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp lôgarit hóa

Xét phương trình dạng: $a^{f\left(x\right)}>b^{g\left(x\right)}\left(*\right)$ với 1 ≠ a,b > 0.

– Nếu a > 1, lấy lôgarit hai vế ta được: $\left(\ast \right)\iff {\log }_a{a}^{f\left(x\right)}>{\log }_a{b}^{g\left(x\right)}$ $\iff f\left(x\right)>g\left(x\right){\log }_{a}b$.

– Nếu 0 < a < 1, lấy lôgarit hai vế ta được: $\left(\ast \right)\iff {\log }_a{a}^{f\left(x\right)}<{\log }_a{b}^{g\left(x\right)}$ $\iff f\left(x\right)<g\left(x\right){\log }_{a}b$.

⮚ Chú ý: Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự.

d) Phương pháp đặt ẩn phụ

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình mũ.

e) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phương pháp phân tích nhân tử, phương pháp đánh giá

Cho hàm số y = f(t) xác định và liên tục trên D:

Nếu hàm số f(t) luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì f(u) > f(v) ⇔ u > v.

Nếu hàm số f(t) luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì f(u) > f(v) ⇔ u < v.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tập nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>9$ trên tập số thực là

A. (2;+∞).

B. (-∞;-2).

C. (-∞;2).

D. (-2;+∞).

Hướng dẫn giải

Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>9\iff x<{\log }_{\frac{1}{3}}9\iff x<-2$. Vậy tập nghiệm là: S = (-∞;-2). Chọn B.

Ví dụ 2. Số nghiệm nguyên của bất phương trình $3^{\sqrt{x}}+3^{\sqrt{x}-1}-3^{\sqrt{x}-2}<11$ là:

A. 5.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Vậy BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn D.

Ví dụ 3. Tập nghiệm S của bất phương trình $3^{x^2}<2^x$ là:

A. S = (0;+∞).

B. S = (0;log₂3).

C. S =(0;log₃2).

D. S = (0;1).

Hướng dẫn giải

Lấy logarit cơ số 3 cả 2 vế ta có: $x^2<x{\log }_{3}2$ ⇔ $x^2-x{\log }_{3}2<0$ ⇔ $0<x<{\log }_{3}2$. Chọn C.

Ví dụ 4. Số nghiệm nguyên trong khoảng (-20;20) của bất phương trình 16^x - 5.4^x + 4 ≥ 0 là

A. 19.

B. 20.

C. 39.

D. 40.

Hướng dẫn giải

Đặt t = 4^x (t > 0) ta có: $t^2-5t+4\ge 0\iff \left[\begin{array}{l}t\ge 4\\ t\le 1\end{array}\right.$. Suy ra $\left[\begin{array}{l}{4}^x\ge 4\\ 4^x\le 1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le 0\end{array}\right.$.

Kết hợp $\left\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{Z}\\ x\in \left(-20;20\right)\end{array}\right.$ => có 39 nghiệm. Chọn C.

Ví dụ 5. Số nghiệm nguyên của bất phương trình $3^{x^2-x-6}-3^{x+2}+x^2-2x-8\le 0$ là:

A. 3.

B. 5.

C. 7.

D. 9.

Hướng dẫn giải

Vậy BPT có 7 nghiệm nguyên. Chọn C.

2. Dạng toán 2: Giải bất phương trình lôgarit

2.1. Phương pháp giải

a) Bất phương trình lôgarit cơ bản

• Bất phương trình lôgarit cơ bản:

${\log }_{a}x>b$ (hoặc ${\log }_{a}x\ge b,{\log }_{a}x<b,{\log }_{a}x\le b$) với a > 0, a ≠ 1.

• Ta xét bất phương trình có dạng ${\log }_{a}x>b$.

– Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}x>b\iff x>a^b$.

– Nếu 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}x>b\iff 0<x<a^b$.

Tương tự với bất phương trình có dạng ${\log }_{a}f\left(x\right)>b$.

– Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>b\iff f\left(x\right)>a^b$.

– Nếu 0 < a < 1 thì .

b) Bất phương trình lôgarit dạng: ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$ (a > 0, a ≠ 1)

– Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$ ⇔ f(x) > g(x) > 0 ⇔ $\left\{\begin{array}{c}g\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)>g\left(x\right)\end{array}\right.$.

– Nếu 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$ ⇔ 0 < f(x) < g(x) ⇔ $\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)>0\\ g\left(x\right)>f\left(x\right)\end{array}\right.$.

– Nếu a chứa ẩn thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$ ⇔ $\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)>\mathrm{0,}g\left(x\right)>0\\ \left(a-1\right)\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]>0\end{array}\right.$.

⮚ Chú ý: Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải tương tự.

c) Phương pháp đặt ẩn phụ

Ta sẽ làm tương tự như các dạng đặt ẩn phụ của phương trình.

d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, phân tích nhân tử, đánh giá…

Cho hàm số y = f(t) xác định và liên tục trên D:

Nếu hàm số f(t) luôn đồng biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì f(u) > f(v) ⇔ u > v.

Nếu hàm số f(t) luôn nghịch biến trên D và $\forall u,v\in D$ thì f(u) > f(v) ⇔ u < v.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Giải bất phương trình ${\log }_2\left(3x-2\right)>{\log }_2\left(6-5x\right)$ được tập nghiệm là (a;b). Hãy tính tổng S = a + b.

A. $S=\frac{26}{5}$.

B. $S=\frac{11}{5}$.

C. $S=\frac{28}{15}$.

D. $S=\frac{8}{3}$.

Hướng dẫn giải

Kết hợp với điều kiện, ta được $1<x<\frac{6}{5}$.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left(1;\frac{6}{5}\right)$. Từ đó, $S=a+b=1+\frac{6}{5}=\frac{11}{5}$.

Ta có thể giải ngắn gọn bài tập trên như sau:

Ví dụ 2. Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2+2x-8)\ge -4$ là:

A. 4.

B. 5.

C. 10.

D. 11.

Hướng dẫn giải

Kết hợp x ∈ ℤ => BPT có 4 nghiệm nguyên. Chọn A.

Ví dụ 3. Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{lo{g}_2^{2}x+3}{{\log }_{2}x+3}>2$ là:

A. $\left(8;+\infty \right)$.

B. $\left(0;\frac{1}{2}\right)\cup \left(8;+\infty \right)$.

C. $\left(\frac{1}{8};\frac{1}{2}\right)\cup \left(8;+\infty \right)$.

D. $\left(0;1\right)\cup \left(8;+\infty \right)$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Giải bất phương trình ${\log }_2\frac{4\left(x+1\right)}{\sqrt{x}+2}>2\left(x-\sqrt{x}\right)$ ta được tập nghiệm $S=\left[a;\frac{b+\sqrt{c}}{2}\right)$ với a, b, c là các số nguyên dương. Tính giá trị biểu thức T = a + b + c.

A. T = 3.

B. T = 5.

C. T = 8.

D. T = 16.

Hướng dẫn giải

3. Dạng toán 3: Giải bất phương trình mũ và logarit chứa tham số m

3.1. Phương pháp giải

Tìm tham số m để f(x;m) ≥ 0 hoặc f(x;m) ≤ 0 có nghiệm trên D.

Bước 1. Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng f(x) ≥ P(m) hoặc f(x) ≤ P(m).

Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D.

Bước 3. Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị của tham số P(m) để bất phương trình có nghiệm:

• P(m) ≤ f(x) có nghiệm trên D ⇔ $P\left(m\right)\le \underset{x\in D}{\max }f\left(x\right)$.

• P(m) ≥ f(x) có nghiệm trên D ⇔ $P\left(m\right)\ge \underset{x\in D}{\min }f\left(x\right)$.

Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán trên:

• Bất phương trình P(m) ≤ f(x) nghiệm đúng $\forall x\in D\iff P\left(m\right)\le \underset{x\in D}{\min }f\left(x\right)$.

• Bất phương trình P(m) ≥ f(x) nghiệm đúng $\forall x\in D\iff P\left(m\right)\ge \underset{x\in D}{\max }f\left(x\right)$.

• Nếu $f\left(x;m\right)\ge 0;\forall x\in ℝ$ hoặc $f\left(x;m\right)\le 0;\forall x\in ℝ$ với f(x;m) là tam thức bậc hai, ta sẽ sử dụng dấu của tam thức bậc hai.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình ${\left(\frac{2}{e}\right)}^{x^2+2m\text{x}+1}\le {\left(\frac{e}{2}\right)}^{2\text{x}-3m}$ nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ?

A. 8.

B. 5.

C. 6.

D. 7.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left[-10;10\right]$ để bất phương trình $4{\log }_2^2\sqrt{x}+{\log }_{2}x+m\ge 0$ nghiệm đúng với mọi x ∈ (1;64)?

A. 11.

B. 3.

C. 8.

D. 16.

Hướng dẫn giải

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình $5^{3x+1}\ge \frac{1}{25}$ là

A. $x\in \left[1;+\infty \right)$.

B. $x\in \left[-1;+\infty \right)$.

C. $x\in \left(-\infty ;-3\right]$.

D. $x\in \left(-\infty ;3\right]$.

Câu 2. Tập nghiệm của bất phương trình ${16}^x-{5.4}^x+4\ge 0$ là

A. $S=\left(-\infty ;1\right)\cup (4;+\infty )$.

B. $S=\left(-\infty ;1\right]\cup \left[4;+\infty \right)$.

C. $S=\left(-\infty ;0\right)\cup (1;+\infty )$.

D. $S=\left(-\infty ;0\right]\cup \left[1;+\infty \right)$.

Câu 3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ${(2+\sqrt{3})}^{3-x}>7-4\sqrt{3}$.

A. $S=(-\infty ;5)$.

B. $S=(5;+\infty )$.

C. $S=(1;+\infty )$.

D. $S=(-\infty ;1)$.

Câu 4. Giải bất phương trình $4^{\frac{1}{x}-1}-2^{\frac{1}{x}-2}-3\le 0$ được tập nghiệm $S=\left(-\infty ;a\right)\cup \left(b;+\infty \right)$, với a, b là các số thực và a < b. Tính a + 2b.

A. a + 2b = -4.

B. a + 2b = 1.

C. a + 2b = 7.

D. a + 2b = 9.

Câu 5. Tập nghiệm của bất phương trình ${2.7}^{x+2}+{7.2}^{x+2}\le 351.\sqrt{{14}^x}$ có dạng S = [a;b]. Giá trị b - 2a thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(3;\sqrt{10})$.

B. (-4;2).

C. $(\sqrt{7};4\sqrt{10})$.

D. $\left(\frac{2}{9};\frac{49}{5}\right)$.

Câu 6. Giải bất phương trình $\log \left(3x^2+1\right)>\log \left(4x\right)$.

A. $x<\frac{1}{3}$ hoặc x > 1.

B. $0<x<\frac{1}{3}$ hoặc x > 1.

C. 0 < x < 1.

D. $\frac{1}{3}<x<1$.

Câu 7. Giải bất phương trình $2{\log }_3\left(4x-3\right)+{\log }_{\frac{1}{9}}{\left(2x+3\right)}^2\le 2$

A. $x>\frac{3}{4}$.

B. $\frac{3}{4}<x\le 3$.

C. Vô nghiệm.

D. $-\frac{3}{8}\le x\le 3$.

Câu 8. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình $\ln x^2<2\ln \left(4x+4\right)$.

A. $S=\left(-\frac{4}{5};+\infty \right)$.

B. $S=\left(-1;+\infty \right)\backslash \left\{0\right\}$.

C. $S=\left(-\frac{4}{5};+\infty \right)\backslash \left\{0\right\}$.

D. $S=\left(-\frac{4}{3};+\infty \right)\backslash \left\{0\right\}$.

Câu 9. Bất phương trình ${\log }_3\left(3^x-1\right)\left[1+{\log }_3\left(3^x-1\right)\right]=6$ có hai nghiệm x₁ < x₂ và tỉ số $\frac{x_1}{x_2}=\log \frac{a}{b}$ trong đó a,b ∈ ℕ* và a,b có ước chung lớn nhất bằng 1. Tính a + b.

A. a + b = 38.

B. a + b = 37.

C. a + b = 56.

D. a + b = 55.

Câu 10. Giải bất phương trình ${\log }_2\left(\sqrt{3x+1}+6\right)-1\ge {\log }_2\left(7-\sqrt{10-x}\right)$.

A. x ≤ 1.

B. $x\le \frac{369}{49}$.

C. $x\ge \frac{369}{49}$.

D. $1\le x\le \frac{369}{49}$.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cô Liên gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Liên không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền cô Liên có được cả gốc và lãi nhiều hơn 150 triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Điền đáp án

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10] để bất phương trình ${\log }_2^2\left(2\text{x}\right)-2\left(m+1\right){\log }_{2}x-2<0$ có nghiệm thuộc khoảng $\left(\sqrt{2};+\infty \right)$?

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho bất phương trình $4^{x^2+5}\ge {\left(\frac{1}{8}\right)}^{x-x^2}$.

a) Ta có: $4^{x^2+5}=2^{2\left(x^2+5\right)};{\left(\frac{1}{8}\right)}^{x-x^2}=2^{-3\left(x-x^2\right)}$.

b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình $2\left(x^2+5\right)\ge -3\left(x-x^2\right)$.

c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 6.

d) Tích nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là -4.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục

---