Các dạng bài tập Hàm số bậc nhất chọn lọc có lời giải

Các dạng bài tập Hàm số bậc nhất chọn lọc có lời giải

Phần dưới là Chuyên đề tổng hợp Lý thuyết và Bài tập Toán 10 Đại số Hàm số bậc nhất có đáp án. Bạn vào tên bài hoặc Xem chi tiết để theo dõi các chuyên đề Toán lớp 10 Đại số tương ứng.

• Dạng 1: Xác định hàm số y = ax + b và sự tương giao của đồ thị hàm số Xem chi tiết
• Dạng 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất Xem chi tiết
• Dạng 3: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Xem chi tiết
• Dạng 4: Ứng dụng của hàm số bậc nhất trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất Xem chi tiết
• Bài tập tổng hợp: Bài tập về hàm số bậc nhất Xem chi tiết

Cách xác định hàm số y = ax + b và sự tương giao của đồ thị hàm số

1. Phương pháp giải.

+ Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau:

Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0). Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b từ đó suy ra hàm số cần tìm.

+ Cho hai đường thẳng d₁: y = a₁x + b₁ và d₂: y = a₂x + b₂. Khi đó:

a) d₁ và d₂ trùng nhau

b) d₁ và d₂ song song nhau

c) d₁ và d₂ cắt nhau ⇔ a₁ ≠ a₂. Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:

d) d₁ và d₂ vuông góc nhau ⇔ a₁.a₂ = -1

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d. Tìm hàm số đó biết:

a) d đi qua A(1; 3), B(2; -1).

b) d đi qua C(3; -2) và song song với Δ: 3x - 2y + 1 = 0.

c) d đi qua M (1; 2) và cắt hai tia Ox, Oy tại P, Q sao cho S_ΔOPQ nhỏ nhất.

d) d đi qua N (2; -1) và d ⊥d' với d': y = 4x + 3.

Hướng dẫn:

Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b (a ≠ 0).

a) Vì A ∈ d; B ∈ d nên ta có hệ phương trình:

Vậy hàm số cần tìm là y = -4x + 7.

b) Ta có Δ:y = 3x/2 + 1/2. Vì d // Δ nên

Mặt khác C ∈ d ⇒ -2 = 3a + b (2)

Từ (1) và (2) suy ra

Vậy hàm số cần tìm là y = 3x/2 - 13/2.

c) Đường thẳng d cắt tia Ox tại P((-b)/a; 0) và cắt tia Oy tại Q(0; b) với b > 0; a < 0.

(Do cắt tia Ox, Oy nên hoành độ và tung độ giao điểm đều dương).

Ta có M ∈ d ⇒ 2 = a + b ⇒ b = 2 - a, thay vào (3) ta được:

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si ta có:

⇒ S_OPQ ≥ 2 + 2 = 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

Vậy hàm số cần tìm là y = -2x + 4.

d) Đường thẳng d đi qua N(2; -1) nên -1 = 2a + b

Và d ⊥ d' ⇒ 4.a = -1 ⇒ a = (-1)/4

⇒ b = -1 - 2a = (-1)/2

Vậy hàm số cần tìm là y = (-1)x/4 - 1/2.

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d: y = x + 2m; d': y = 3x + 2 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d, d’ cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng

b) Tìm m để ba đường thẳng d, d’ và d’’: y = -mx + 2 phân biệt đồng quy.

Hướng dẫn:

a) Ta có a_d = 1 ≠ a_d' = 3 suy ra hai đường thẳng d, d’ cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d, d’ là nghiệm của hệ phương trình

suy ra d,d’ cắt nhau tại M(m - 1; 3m - 1)

b) Vì ba đường thẳng d, d’, d’’ đồng quy nên M ∈ d" ta có:

3m - 1 = -m(m - 1) + 2 ⇔ m² + 2m - 3 = 0

Với m = 1 ta có ba đường thẳng là d: y = x + 2, d': y = 3x + 2; d'': y = -x + 2 phân biệt đồng quy tại M(0; 2).

Với m = -3 ta có d' ≡ d'' suy ra m = -3 không thỏa mãn

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

1. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) y = 3x + 6

b) y = - 1x/2 + 3/2

Hướng dẫn:

a) TXĐ: R, a = 3 > 0 nên hàm số đồng biến trên R.

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số y = 3x + 6 đi qua A(-2; 0), B(0; 6).

b) TXĐ: D = R, a = (-1)/2 < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên R

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số y = -1x/2 + 3/2 đi qua A(3; 0), B(0; 3/2)

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C) (hình vẽ)

a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên [-3; 3]

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên [-4; 2]

Hướng dẫn:

a) Bảng biến thiên của hàm số trên [-3; 3]

d) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có:

Cách vẽ Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Phương pháp giải.

Vẽ đồ thị (C) của hàm số y = | ax + b | ta làm như sau

Cách 1: Vẽ (C₁ ) là đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn x ≥ (-b)/a , Vẽ (C₂ ) là đường thẳng y = -ax - b lấy phần đồ thị sao cho x < (-b)/a. Khi đó (C) là hợp của hai đồ thị (C₁ ) và (C₂ ).

Cách 2: Vẽ đường thẳng y = ax + b và y = -ax - b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là (C).

Chú ý:

+ Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C₁ ): y = f(|x|) là gồm phần :

    - Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung;

    - Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên phải trục tung qua trục tung.

+ Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C₂ ): y = |f(x)| là gồm phần:

    - Giữ nguyên đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

    - Lấy đối xứng đồ thị (C) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.

2. Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)

b) y = |-3x + 3|

Hướng dẫn:

a) Với x ≥ 0 đồ thị hàm số y = 2x là phần đường thẳng đi qua hai điểm A (1; 2) và O(0; 0) nằm bên phải của đường thẳng trục tung.

Với x < 0 đồ thị hàm số y = - x là phần đường thẳng đi qua hai điểm B(-1; 1),

C (-2; 2) nằm bên trái của đường thẳng trục tung.

b) Vẽ hai đường thẳng y = -3x + 3 và y = 3x - 3 và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành.

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = |x| - 2

b) y = ||x| - 2|

Hướng dẫn:

a) Cách 1: Ta có

Vẽ đường thẳng y = x – 2 đi qua hai điểm A (0; -2), B (2; 0) và lấy phần đường thẳng bên phải của trục tung

Vẽ đường thẳng y = - x – 2 đi qua hai điểm A (0; -2), B (- 2; 0) và lấy phần đường thẳng bên trái của trục tung.

Cách 2: Đường thẳng d: y = x – 2 đi qua A (0; -2), B (2; 0).

Khi đó đồ thị của hàm số y = |x| - 2 là phần đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung

b) Đồ thị y = ||x| - 2| là gồm phần:

- Giữ nguyên đồ thị hàm số y = |x| - 2 ở phía trên trục hoành

- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y= |x| - 2 ở phía dưới trục hoành.

Xem thêm các dạng bài tập chương Hàm số bậc nhất và bậc hai khác:

• Chủ đề: Đại cương về hàm số
• Chủ đề: Hàm số bậc hai
• Bài tập chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai (Bài tập tự luận)
• Bài tập chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai (Bài tập trắc nghiệm - phần 1)
• Bài tập chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai (Bài tập trắc nghiệm - phần 2)
• Bài tập chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai (Bài tập trắc nghiệm - phần 3)

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---