Nghiệm của phương trình mũ lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Nghiệm của phương trình mũ lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nghiệm của phương trình mũ.

Nghiệm của phương trình mũ lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Nghiệm của phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản có dạng a^x = b (với 0 < a ≠ 1).

+ Nếu b > 0 thì có nghiệm duy nhất x = log_ab.

+ Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm.

Minh họa bằng đồ thị:

Chú ý: Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:

Nếu 0 < a ≠ 1 thì a^u = a^v u = v.

Nhận xét: Với 0 < a ≠ 1, b > 0 thì a^f(x) = b x = log_ab.

2. Ví dụ về nghiệm của phương trình mũ

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) $3^x=\frac{1}{27}$ .

b) 6.10^x = 1.

c) 4^{3x – 2} = 6.

d) 2e^3x = 8.

Hướng dẫn giải

a) $3^x=\frac{1}{27}\iff 3^x=3^{-3}\iff x=-3$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –3.

b) ${6.10}^x=1\iff {10}^x=\frac{1}{6}\iff x=\log \frac{1}{6}=-\log 6$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –log6.

c) $4^{3x–2}=6\iff 3x–2=lo{g}_{4}6\iff x=\frac{{\log }_{4}6+2}{3}$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{{\log }_{4}6+2}{3}$ .

d) $2e^{3x}=8\iff e^{3x}=4\iff 3x=ln4\iff x=\frac{\ln 4}{3}$ .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = $\frac{\ln 4}{3}$ .

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

a) 9^{x – 4} = 3^{3x + 2}.

b) 12^{x + 1} – 2.12^x = 10.

c) 2^2x + 2^{x + 1} – 3 = 0.

Hướng dẫn giải

a) 9^{x – 4} = 3^{3x + 2} $\iff$3^{2(x – 4)} = 3^{3x + 2} $\iff$2x – 8 = 3x + 2 $\iff$x = –10.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –10.

b) 12^{x + 1} – 2.12^x = 10

$\iff$12.12^x – 2.12^x = 10

$\iff$10.12^x = 10

$\iff$12^x = 1

$\iff$ x = log₁₂1 = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0.

c) 2^2x + 2^{x + 1} – 3 = 0

$\iff$(2^x)² + 2.2^x – 3 = 0

$\iff$ (2^x – 1)(2^x + 3) = 0

$\iff$ 2^x – 1 = 0

$\iff$ 2^x = 1

$\iff$ x = log₂1 = 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0.

Ví dụ 3. Dân số được ước tính theo công thức S = A.e^0,0115t, trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc, S là dân số sau t năm. Hỏi sau bao nhiêu năm, dân số sẽ tăng gấp 4 lần dân số của năm lấy làm mốc? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải

Vì dân số sau t năm gấp 4 lần dân số năm lấy làm mốc nên ta có phương trình:

$A.e^{0,0115t}=4A\iff e^{0,0115t}=4\iff 0,0115t=ln4\iff t=\frac{\ln 4}{0,0115}\approx 121$

Vậy sau khoảng 121 năm thì dân số tăng gấp 4 lần dân số của năm lấy làm mốc.

3. Bài tập về nghiệm của phương trình mũ

Bài 1. Giải các phương trình:

a) $4^x=\sqrt[5]{64}$ .

b) 5.e^x = 2.

c) 3^{2x – 3} = 8.

d) 2.10^2x = 6.

Bài 2. Giải các phương trình:

a) 5^{x + 5} = 3^{2x + 3}.

b) 6^{x + 1} + 4.6^x = 10.

c) $4^{x+1}=\frac{1}{4^{1-3x}}$ .

Bài 3. Giải các phương trình:

a) ${\left(e^4\right)}^x.e^{x^2}=e^{x^2+6x}$ .

b) 2,5^{5x – 7} = 0,4^{x + 1}.

c) 3^{x + 1} = 2^2025x.

Bài 4. Dân số thế giới năm 2021 là khoảng 7,9 tỉ người và tăng dân số với tốc độ khoảng 1,05% mỗi năm. Giả sử tốc độ tăng dân số này không đổi. Khi đó, mô hình P(t) = 7,9.1,0105^{t – 2021} có thể dùng để ước tính dân số thế giới (đơn vị: tỉ người) vào năm t. Theo mô hình này thì:

a) Vào năm nào thì dân số thế giới đạt 9 tỉ người?

b) Vào năm nào thì dân số thế giới đạt 9,5 tỉ người?

(Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Bài 5. Giả sử nhiệt độ T (^oC) của một vật giảm dần theo thời gian được cho bởi công thức T = 25 + 70e^–0,5t, trong đó thời gian t được tính bằng phút. Hỏi sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại 35^oC? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Số e và logarit tự nhiên là gì

• Tính logarit bằng MTCT

• Hàm số mũ là gì

• Đồ thị và tính chất của hàm số mũ

• Hàm số logarit là gì

• Đồ thị và tính chất hàm logarit

---