Phương pháp loại nghiệm, hợp nghiệm trong phương trình lượng giác - Toán lớp 11



Phương pháp loại nghiệm, hợp nghiệm trong phương trình lượng giác

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giác. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện.

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ

        ♦ Điểm biểu diễn cung α và α+k2π,k ∈ Z là trùng nhau

        ♦ Để biểu diễn cung α+k2π/n lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường chọn k = 0, 1, 2,…,n – 1)) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn.

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án, trong đó m, n ∈ Z đã biết, còn k, l ∈ Z là các chỉ số chạy.

Ta xét phương trình :

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Với a,b,c là các số nguyên.

Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên

                ax + by = c (1)

Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau:

        ♦ Phương trình (1) có nghiệm ⇔ d = (a,b) là ước của c

        ♦ Nếu phương trình (1) có nghiệm (xo,yo) thì (1) có vô số nghiệm

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Phương pháp 3: Thử trực tiếp

Phương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để kiểm tra.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình:cot3x = cotx

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

PT ⇔ cos3x.sinx - sin3x.cosx = 0 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x = (k π)/2,k ∈ Z.

Biểu diễn các nghiệm của hệ phương trình điều kiện và nghiệm của phương trình lên vòng tròn lượng giác ta được:

Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung kπ/3 ta có các điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6.

Biểu diễn các điểm cuối của cung nπ/2 ta có các điểm B1, B2, B3, B4.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Ta thấy A1 ≡ B1, A4 ≡ B3 .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x= π/2 + mπ .

Cách 2:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Do đó ta cần loại những giá trị n chẵn.

Vậy nghiệm của phương trình là: x= π/2 + mπ .

Bài 2: Giải phương trình: cot4x.cot7x = 1

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vì 22n-14m là số chẵn còn 7 là số lẻ nên phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình: |sinx| = cos2x.

Lời giải:

Với sinx ≥ 0 (*) thì phương trình đã cho tương đương với

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*)

Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm A1, A2 , A3. Trong đó chỉ có hai điểm A1, A2 nằm phía trên Ox.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hai điểm này ứng với các cung x=π/6+k2 π,x=5π/6+ k2 π.

Với sinx < 0 (**) thì phương trình đã cho tương đương với

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Dễ thấy (3) không thỏa (**)

Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B1, B2, B3. Trong đó chỉ có hai điểm B2,B3 nằm dưới Ox (sinx < 0)

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Hai điểm đó ứng với cung: x = (-π)/6 + k2 π, x = -5π/6 + k2 π .

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = ±π/6 + k π, (k ∈ Z).

Bài 2: Giải phương trình: cos3x.tan4x = sin5x.

Lời giải:

Điều kiện: cos4x ≠ 0

Phương trình

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 3: Giải phương trình:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Giải pt (2) ta có các nghiệm:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vì các nghiệm của phương trình phải thỏa điều kiện (1) nên ta tìm cách biểu diễn các nghiệm qua sinx.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 4: Giải phương trình: tanx + cotx = 2.

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Biểu diễn các điểm trên vòng tròn lượng giác:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 5: Giải phương trình:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-trinh-luong-giac.jsp