Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác - Toán lớp 11



Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 lượng giác

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Cách giải:

Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không?

Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho coskx (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tanx.

Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.

Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx.

Ví dụ minh họa

Bài 1: 3sin2x + 8sinx.cosx + (8√3-9) cos2x = 0 (1)

Xét cos⁡x = 0 ⇒ sin2x = 1. Ta có (1) ⇔ 3=0 (vô lý)

Xét cos⁡x≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos2x. Ta được :

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 2: sin3x + 2sinx.cos2x + 3cos3x = 0 (2)

Xét cos⁡x = 0. Ta có (2) ⇔ sin⁡x = 0 (vô lí do sin2x + cos2x = 1)

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos3x. Ta được :

(2) ⇔ tan3⁡x + 2 tan⁡x + 3 = 0

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

⇔ x = -π/4 + kπ (k ∈ Z)

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Giải phương trình sin2 x-(√3+1)sinxcosx+√3 cos2 x=0

Lời giải:

sin2⁡x - (√3+1) sin⁡x cos⁡x + √3 cos2⁡x = 0 (1)

Xét cos⁡x = 0. (1) sin2⁡x = 0 → vô lý

Xét cos⁡x≠0. Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x. Ta được :

(1) ⇔ tan2⁡x - (√3+1) tan⁡x + √3 = 0

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 2: Giải phương trình: 2 cos2x – 3sinxcosx + sin2x = 0

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0. Ta có . sin2⁡x = 0 → vô lý

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x. Ta được :

2 - 3 tan⁡x + tan2⁡x = 0

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 3: Giải phương trình: 3cos4x – 4cos2x sin2x + sin4x = 0

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0: Ta có : sin4x = 0 (vô lý)

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos4x. Ta được :

3 - 4 tan2⁡x + tan4x = 0

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 4: Tìm m để phương trình (m + 1)sin2x – sin2x + 2cos2x = 0 có nghiệm.

Lời giải:

Xét cos⁡x = 0. Ta có : (m+1)sin2⁡x = 0 ⇔ m = -1

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x. Ta được :

(m+1)tan2⁡x - 2 tan⁡x + 2 = 0

Δ' = 1-2m-2 = -2m-1

Để pt có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ - 2m-1 ≥ 0 ⇔ m ≤ -1/2

Vậy với m ≤ -1/2 thì pt đã cho có nghiệm

Bài 5: Tìm điều kiện để phương trình a.sin2x + a.sinxcosx + b.cos2x = 0 với a ≠ 0 có nghiệm.

Lời giải:

Xét cos⁡x ≠ 0. Chia cả hai vế của pt cho cos2⁡x. Ta được :

a tan2⁡x + atan⁡x + b = 0

Δ = a2 - 4ab

Để pt có nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔a2 - 4ab ≥ 0 ⇔ a-4b ≥ 0 ⇔ a ≥ 4b

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Lê Thúy Hằng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-trinh-luong-giac.jsp